Büyük alfa ve beta içeren bir beta dağıtımı için yaklaşık değerleri sayısal olarak nasıl hesaplayabilirim

Büyük tamsayı alfa, beta (örn. Alfa, beta> 1000000) için bir beta dağılımının değerlerini hesaplamanın sayısal olarak kararlı bir yolu var mı ?

Aslında, bir şekilde sorunu daha kolay hale getirirse, mod çevresinde sadece% 99 güven aralığına ihtiyacım var.

Ekle : Üzgünüm, sorum düşündüğüm kadar net bir şekilde ifade edilmedi. Yapmak istediğim şu: Konveyör banttaki ürünleri kontrol eden bir makinem var. Bu ürünlerin bir kısmı makine tarafından reddedilir. Şimdi makine operatörü bir denetim ayarını değiştirirse, ona tahmini reddetme oranını ve mevcut tahminin ne kadar güvenilir olduğuna dair bazı ipuçları göstermek istiyorum.

Bu yüzden gerçek reddetme oranına rastgele bir değişken X olarak davrandığımı ve reddedilen nesnelerin N ve kabul edilen nesnelerin M sayısına göre rasgele değişken için olasılık dağılımını hesapladığımı düşündüm. X için düzgün bir önceki dağılım varsayarsak, bu N ve M'ye bağlı olarak beta dağıtımı Bu dağıtımı doğrudan kullanıcıya gösterebilir veya [l, r] aralığı bulabilir, böylece gerçek reddetme oranı p> = 0.99 (shabbychef terminolojisini kullanarak) ile bu aralıkta olur ve bunu görüntüler Aralık. Küçük M, N için (yani parametre değişikliğinden hemen sonra), dağılımı doğrudan hesaplayabilir ve [l, r] aralığına yaklaşabilirim. Ancak büyük M, N için bu saf yaklaşım, yetersiz akış hatalarına yol açar, çünkü x ^ N * (1-x) ^ M, çift hassasiyetli bir şamandıra olarak temsil edilmek üzere küçüktür.

Sanırım en iyi bahisim, küçük M, N için saf beta dağılımımı kullanmak ve M, N bir eşiği aşar aşmaz aynı ortalama ve varyansla normal bir dağılıma geçmek. bu mantıklı mı?

Normal bir yaklaşım, özellikle kuyruklarda son derece iyi çalışır . Ortalama bir ve varyansını kullanın . Örneğin, gibi zorlu bir durumda kuyruk olasılığındaki mutlak göreceli hata (çarpıklık söz konusu olabilir) civarında zirve yapar ve siz daha azdır. ortalamadan 1 SD'den fazla. (Bunun nedeni beta'nın çok büyük olması değildir : ile mutlak göreli hatalar ile sınırlıdırα $\alpha/(\alpha+\beta)$ α=106,β=1080.000260.00006α=β=106$\frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^{2} (1+\alpha+\beta)}$$\alpha = 10^6, \beta = 10^8$$0.00026$$0.00006$$\alpha = \beta = 10^6$$0.0000001$.) Bu nedenle, bu yaklaşım esasen% 99'luk aralıkları içeren herhangi bir amaç için mükemmeldir.

Sorudaki düzenlemeler ışığında, bir kişinin integrali gerçekte entegre ederek beta integrallerini hesaplamadığını unutmayın: tabii ki deşarjlar alacaksınız (gerçekten önemli olmasa da, integrale kayda değer katkıda bulunmadıkları için) . Johnson & Kotz'da (İstatistiklerde Dağılımlar) belgelendiği gibi, integrali hesaplamanın veya yaklaşık olarak hesaplamanın birçok, birçok yolu vardır. Çevrimiçi hesap makinesi http://www.danielsoper.com/statcalc/calc37.aspx adresinde bulunabilir . Aslında bu integralin tersine ihtiyacınız var. Tersi hesaplamak için bazı yöntemler http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/InverseBetaRegularized/ adresindeki Mathematica sitesinde belgelenmiştir.. Kod Sayısal Tarifler'de (www.nr.com) verilmektedir. Gerçekten güzel bir çevrimiçi hesap makinesi Wolfram Alpha sitesidir (www.wolframalpha.com): inverse beta regularized (.005, 1000000, 1000001)sol uç nokta ve inverse beta regularized (.995, 1000000, 1000001)sağ uç nokta için girin ( ,% 99 aralık).$\alpha=1000000, \beta=1000001$

Hızlı bir grafik deneyi, alfa ve beta'nın her ikisi de çok büyük olduğunda beta dağılımının normal bir dağılıma benzediğini gösterir. "Beta dağıtım limiti normal" i arayarak http://nrich.maths.org/discus/messages/117730/143065.html?1200700623 , bir el yıkama 'kanıtı' buldum .

Beta dağıtımı için wikipedia sayfası ortalama, modunu (v büyük alfa ve beta için ortalamaya yakın) ve varyansı verir, böylece bir tahmin elde etmek için aynı ortalama ve varyansla normal bir dağılım kullanabilirsiniz. Bunun amaçlarınız için yeterince iyi olup olmadığı amaçlarınızın ne olduğuna bağlıdır.

Beta RV'den rastgele bir çekilme olasılığı 0.99 ile aralıkta olacak şekilde bir aralık isteyeceksiniz , ve için bonus noktaları mod etrafında simetrik olacaktır. Tarafından Gauss Eşitsizliği veya Vysochanskii-Petunin eşitsizliği, bu aralığı içeren aralıkları gerçekleştirebilmesi ve oldukça iyi yaklaşımlar olacaktır. Yeterince büyük , ve farklı sayılar olarak temsil ederken bile sayısal yetersizlik sorunlarınız olacaktır , bu nedenle bu rota yeterince iyi olabilir.l r [ l , r ] α , β l $[l,r]$$l$$r$$[l,r]$$\alpha, \beta$ $l$$r$

Eğer beta dağıtılmış bir değişkendir, o zaman yaklaşık olarak normal olarak dağıtılan (yani: log-olasılıklarıdır . Bu, gibi yüksek derecede eğimli beta dağılımları için bile geçerlidirp l o g ( p / ( 1 - p ) ) m i n ( α , β ) > $p$$p$$log(p/(1-p))$$min(\alpha,\beta) > 100$

Örneğin

f <- function(n, a, b) {
    p <- rbeta(n, a, b)
    lor <- log(p/(1-p))
    ks.test(lor, 'pnorm', mean(lor), sd(lor))$p.value
}
summary(replicate(50, f(10000, 100, 1000000)))

tipik olarak

özet (kopya (50, f (10000, 100, 1000000))) Min. 1. Qu. Ortalama Ortalama 3. Qu. Maks. 0.01205 0.10870 0.18680 0.24810 0.36170 0.68730

yani tipik p değerleri 0.2 civarındadır.

Bu nedenle, 10000 numunede bile Kolmogorov-Smirnov testi, ile yüksek derecede çarpık bir beta dağıtılmış değişkenin log olasılık oranı dönüşümünü ayırt etme gücünden yoksundur .$\alpha=100, \beta=100000$

Dağılımı üzerinde Ancak benzer bir test kendisi$p$

f2 <- function(n, a, b) {
    p <- rbeta(n, a, b)
    ks.test(p, 'pnorm', mean(p), sd(p))$p.value
}
summary(replicate(50, f2(10000, 100, 1000000)))

gibi bir şey üretir

summary(replicate(50, f2(10000, 100, 1000000)))
     Min.   1st Qu.    Median      Mean   3rd Qu.      Max. 
2.462e-05 3.156e-03 7.614e-03 1.780e-02 1.699e-02 2.280e-01 

0,01 civarında tipik p değerleri olan

R qqnormişlevi ayrıca, log-odds dağılımı için yaklaşık normallik gösteren çok düz görünümlü bir grafik oluşturarak, beta dsitribute değişkeninin dağılımının normallik olmadığını belirten ayırt edici bir eğri üretir.

Bu nedenle , her ikisi de 100'ün üzerinde olduğu sürece yüksek çarpık değerleri için bile günlük olasılık alanında bir Gauss yaklaşımı kullanmak mantıklıdır .$\alpha,\beta$