Merkezi Limit Teoreminin dinamik sistem görünümü?

(Başlangıçta MSE'de yayınlanmıştır .)

Klasik merkezi limit teoreminin pek çok sezgisel tartışmasının, normal dağılımdan (veya kararlı dağılımlardan herhangi birinden) olasılık yoğunlukları alanında bir "cazibe" olarak bahsettiğini gördüm. Örneğin, Wikipedia'nın tedavisinin en üstünde şu cümleleri düşünün :

Daha genel kullanımda, merkezi bir sınır teoremi olasılık teorisindeki bir dizi zayıf yakınsaklık teoremlerinden biridir. Bunların hepsi alternatif birçok bağımsız aynen dağılma (iid) rastgele değişkenler veya bağımlılık belirli türleri ile rastgele değişkenler, bir toplamı küçük bir set birine göre dağıtılacak eğiliminde olacaktır gerçeğini ifade çekicinin dağılımları . İid değişkenlerinin varyansı sonlu olduğunda, çekim dağılımı normal dağılımdır.

Bu dinamik sistem dili çok düşündürücüdür. Feller ayrıca ikinci cildinde (dilin kaynağı olup olmadığını merak ediyorum) CLT tedavisinde "cazibe" den söz eder ve bu nottaki Yuval Flimus "cazibe havzası" ndan bile söz eder. (Gerçekten " cazibe havzasının kesin şekli önceden çıkarılabilir" anlamına gelmediğini düşünmüyorum , daha ziyade " çekicinin kesin biçimi önceden çıkarılabilir"; yine de dil orada.) Sorum şu: bunlar olabilir mi? dinamik analojiler kesinleştirilebilir mi?İçinde bulundukları bir kitap bilmiyorum - birçok kitap normal dağılımın evrişimdeki istikrarı (Fourier dönüşümü altındaki istikrarı) için özel olduğunu vurgulamakta olsa da. Bu bize normalin önemli olduğunu çünkü sabit bir nokta olduğunu söylüyor. CLT daha da ileri giderek, bunun sadece sabit bir nokta değil, aynı zamanda bir çekim olduğunu söyler.

Bu geometrik resmi kesinleştirmek için, faz uzayını uygun bir sonsuz boyutlu fonksiyon alanı (olasılık yoğunlukları alanı) olarak almak ve evrim operatörünün başlangıç ​​koşulu ile konvolüsyonu tekrarlamasını hayal ediyorum. Ama bu resmi işe ya da peşinden koşmaya değip değmeyeceği konusunda teknik bir fikrim yok.

Bu yaklaşımı açıkça takip eden bir tedavi bulamadığım için, yapılabileceğine ya da ilginç olacağına dair yanlış bir şey olması gerektiğini tahmin ediyorum. Durum buysa, nedenini duymak isterim.

EDIT : Math Stack Exchange ve MathOverflow genelinde okuyucuların ilgisini çekebilecek üç benzer soru var:

• Bazı dağıtım alanlarında (MO) sabit nokta olarak Gauss dağılımları
• Maksimal entropi (MO) ile merkezi limit teoremi
• Bazı sabit nokta teoremi aracılığıyla merkezi limit teoreminin bir kanıtı var mı? (MSE)

Literatürde Kjetil'in cevabı ile teşvik edilen bir miktar kazı yaptıktan sonra, Y. Sinai'nin kitabının yanı sıra CLT'ye geometrik / dinamik sistem yaklaşımını ciddiye alan birkaç referans buldum. İlgilenebilecek başkaları için bulduğum şeyi yayınlıyorum, ancak umarım yine de bir uzmandan bu bakış açısının değeri hakkında bir şeyler duymayı umuyorum.

En önemli etki Charles Stein'ın çalışmalarından gelmiş gibi görünüyor. Ancak sorumun en doğrudan cevabı, Hamedani ve Walter'ın, dağıtım fonksiyonlarının alanına bir metrik koyan ve evrişimin, benzersiz sabit nokta olarak normal dağılımı veren bir daralma oluşturduğunu gösteren gibi görünüyor.

• M. Anshelevich, Serbest olasılık teorisinde merkezi limit operatörünün doğrusallaştırılması , arXiv: math / 9810047v2.
• LHY Chen, L. Goldstein ve Q. Shao, Stein'ın Yöntemiyle Normal Yaklaşım , Springer, 2011.
• JA Goldstein, merkezi limit teoreminin yarı-grup-teorik kanıtları ve diğer analiz teoremleri , Semigroup Forum 12 (1976), no. 3, 189-206.
• GG Hamedani ve GG Walter, Bir sabit nokta teoremi ve merkezi limit teoremine uygulanması , Arch. Matematik. (Basel) 43 (1984), no. 3, 258-264.
• S. Swaminathan, Merkezi Limit Teoreminin Sabit Nokta Teorik Kanıtları, Sabit Nokta Teorisi ve Uygulamaları (Marsilya, 1989), Pitman Res. Notlar Matematik. Ser., Cilt. 252, Longman Sci. Tech., Harlow, 1991, sayfa 391-396. Alıntılanan Karl Stromberg, Analistler için Olasılık, sayfa 114 .

19 Ekim 2018 EKLENDİ .

Bu bakış açısının bir diğer kaynağı Oliver Knill'in Olasılık ve Uygulamalarla Stokastik Süreçler , s. 11 (vurgu eklendi):

$P$$f_y$$f_{\overline{Y+X}}$$\overline{Y+X}$$Y + X$$0$$1$$f= 1$$P^n(f_X)$$S^{*}_n$$n$$X_i$$1$$0$$P$ $\mathcal{L}^1$. Bu diğer durumlarda da işe yarar. Örneğin daire değerli rastgele değişkenler için, muntazam dağılım entropiyi en üst düzeye çıkarır. Bu nedenle, daire değerli rassal değişkenler için sınır dağılım olarak eşit dağılımlı merkezi bir sınır teoremi olması şaşırtıcı değildir.

Y Sinai'nin (Springer) “Olasılık Teorisi Bir Giriş Kursu” metni CLT'yi bu şekilde tartışıyor.

http://www.springer.com/us/book/9783662028452

Fikir (bellekten ...)

$A(x_1,x_2) = \frac{x_1+x_2}{\sqrt{2}}$