Quantile (ters CDF) fonksiyonunu anlamama yardım et

Kuantil fonksiyon hakkında okuyorum ama bana göre belli değil. Aşağıda sunulandan daha sezgisel bir açıklama yapabilir misiniz?

Cdf monoton olarak artan bir fonksiyon olduğu için tersi vardır; Bunu gösterelim . Eğer KTL olan , daha sonra arasında bir değerdir , öyle ki ; buna kuantili denir . Değeri sağdaki soldaki olasılık kütlesinin yarısı ve yarısı, dağılımın medyan. Değerleri ve , alt ve üst dörtte birlik vardır. $F$ $F^{−1}$ $F$ $X$ $F^{−1}(\alpha)$ $x_\alpha$ $P(X \le x_\alpha) = \alpha$ $\alpha$ $F$ $F^{−1}(0.5)$ $F^{−1}(0.25)$ $F^{−1}(0.75)$

— Inder Gill
kaynak

Matematiksel işaretlemeyi kullanmayı öğrenmelisin, düzenlemelerime bakın!

— kjetil b halvorsen

Bu, belirli bir düzeyde özlü bir açıklama modelidir ve zaten bir örnek içerir. Ne düzeyde bir açıklama istediğin belli değil. Bir cevap bilmediğinize bağlı olarak bundan 10 kat daha uzun olabilir. Örneğin bir cdf olduğunu biliyor musunuz? 'Monoton olarak artan' ne demek biliyor musunuz? Ters fonksiyonun ne olduğunu biliyor musun? İlk cümlenin sadece bir kısmı. Sorunuz, bunu anlamadığınız bir ifadeye eşittir ve sizden şüphelenmek için bir nedenimiz olmasa da, bu kesin bir soru değildir.

— Nick Cox

Tüm bunlar ilk başta karmaşık görünebilir, ancak aslında çok basit bir şeyle ilgilidir.

Kümülatif dağılım fonksiyonu olarak, bazı değerlerine eşit veya daha küçük olma ihtimalini döndüren işlevi belirtiriz , $X$ $x$

Pr (X \leq x) = F (x) .

$\Pr(X \le x) = F(x).$

Bu işlev $x$ girişini alır ve $[0, 1]$ aralığındaki (olasılıklar) değerleri döndürür --let bunları $p$ olarak gösterir . Ters kümülatif dağılım fonksiyonu (veya kuantil işlevinin) söyler $x$ yapacak $F(x)$ bazı değer döndürür $p$ ,

F^{- 1} (p) = x .

$F^{-1}(p) = x.$

Bu, normal kümülatif dağılım fonksiyonunu (ve tersini) örnek olarak kullanan aşağıdaki diyagramda gösterilmiştir.

Örnek

Basit bir örnek olarak, standart bir Gumbel dağıtımını alabilirsiniz. Kümülatif dağılım fonksiyonu

F (x) = e^{- e^{- x}}

$F(x) = e^{-e^{-x}}$

ve kolayca tersine çevrilebilir: doğal logaritma fonksiyonunu hatırlayın üstel fonksiyonun tersidir , bu nedenle Gumbel dağılımının kuantil fonksiyonunun anında olduğu açıktır.

F^{- 1} (p) = - \ln (- \ln (p))

$F^{-1}(p) = -\ln(-\ln(p))$

Gördüğünüz gibi, nicel işlev, alternatif adına göre, kümülatif dağılım işlevinin davranışını "tersine çevirir".

Genelleştirilmiş ters dağılım fonksiyonu

Her fonksiyonun bir tersi yoktur. Bu nedenle bahsettiğiniz alıntı "monoton olarak artan işlev" diyor. Fonksiyonun tanımından her bir giriş değerine tam bir çıkış ataması gerektiğini hatırlayın . Sürekli rastgele değişkenler için kümülatif dağılım fonksiyonları monoton bir şekilde arttığı için bu özelliği tatmin eder. Kesikli rassal değişkenler için kümülatif dağılım fonksiyonları sürekli ve artmaz, bu yüzden azalmaması gereken genelleştirilmiş ters dağılım fonksiyonlarını kullanırız . Daha resmi olarak, genelleştirilmiş ters dağılım fonksiyonu;

F^{- 1} (p) = inf {x \in R : F (x) \geq p} .

$F^{-1}(p) = \inf \big\{x \in \mathbb{R}: F(x) \ge p \big\}.$

Düz İngilizceye çevrilmiş olan tanım, verilen olasılık değeri için, bazı aradığımızı , in büyük ya da eşit bir değerle sonuçlandığını , ancak bunu karşılayan birden fazla değeri olabileceğini söylüyor. durum (örn için geçerlidir herhangi biz en küçük almak, böylece) olanların. $p$ $x$ $F(x)$ $p$ $x$ $F(x) \ge 0$ $x$ $x$

Tersi olmayan işlevler

Genel olarak, farklı girdiler için aynı değeri döndürebilen fonksiyonlar için tersler yoktur, örneğin yoğunluk fonksiyonları (örneğin, standart normal yoğunluk fonksiyonu simetriktir, bu nedenle ve için aynı değerleri verir ). Normal dağılım bir nedenden ötürü ilginç bir örnektir; kapalı formda bir tersi olmayan kümülatif dağılım fonksiyonlarından biridir . Her kümülatif dağılım fonksiyonunun kapalı bir form tersine sahip olması gerekmez ! Umarım bu gibi durumlarda, ters yöntemlerle sayısal yöntemler bulunabilir. $-2$ $2$

Kullanımı-case

Nicel fonksiyon , ters dönüşüm yöntemi nasıl çalışır? Bölümünde açıklandığı gibi rastgele üretimler için kullanılabilir.

— Tim
kaynak

Bu cevap, son paragrafa kadar işe yarar. Oraya varıncaya kadar, her sürekli CDF'nin bir tersi olduğunu iddia ettiniz, ancak daha sonra Normal dağılımını bu ifadeye karşı bir örnek olarak sunduğunuz anlaşılıyor. Bu potansiyel olarak çok kafa karıştırıcıdır.

— whuber

@whuber haklısın, daha net olması için bir cümle eklendi.

— Tim

Tim, ve daha net hale getirmek için bir kelime daha ekledim :)

— Amip Reinstate Monica

@Tim harika cevap ama ters cdf tanımına biraz ışık tutabilir misiniz ? Bahsettiğiniz gibi, yapacağı şeyi soruyoruz . kısmını aşağıdaki gibi anlıyorum . Cdf monoton arttığından, hepsi sağlayan birçok değer vardır, ancak en büyük alt sınırı verir; Bu mantıklı mı ?

F^{- 1} (u) = inf {x : F (x) \geq u}

$F^{-1}(u)=\inf\{x:F(x) \ge u\}$

x

$x$

F (x) = p

$F(x)=p$

inf

$\inf$

F (x) \geq u

$F(x) \ge u$

inf

$\inf$

— Alexander Cska

@AlexanderCska Evet, temel olarak, birden fazla F (x) değeri u'dan büyüktür, bu nedenle alt sınırı alırız, "bu koşulu karşılayan en küçük değer".

— Tim

Tim'in çok kapsamlı bir cevabı vardı. Aferin!

Bir not daha eklemek istiyorum. Monotonik olarak artan her fonksiyonun ters fonksiyonu yoktur. Aslında sadece kesinlikle tekdüze artan / azalan işlevler ters işlevlere sahiptir.

Monotonik olarak artan monotonik olarak artan monotonik olmayan cdf için, ters kümülatif dağılım işlevi de denilen nicel bir işleve sahibiz. Daha fazla ayrıntıyı burada bulabilirsiniz .

Hem ters fonksiyonlar (cdf'yi kesinlikle artıranlar için) hem de nicel fonksiyonlar (monotonik olarak artan fakat kesinlikle monotonik olarak artan olmayan cdfs için) bazen kafa karıştırıcı olabilen olarak ifade edilebilir . $F^{-1}$

— Tingguang Li
kaynak