Tahmini sipariş istatistikleriyle yüzdelik dilime yakınsamaları göster

Let $X_1, X_2, \ldots, X_{3n}$ , bir örneklenmiş Rasgele değişkenlerin bir dizisi alfa sabit dağılımı parametreleri ile, $\alpha = 1.5, \; \beta = 0, \; c = 1.0, \; \mu = 1.0$ .

Şimdi dizisini düşünün $Y_1, Y_2, \ldots, Y_{n}$ , burada $Y_{j+1} = X_{3j+1}X_{3j+2}X_{3j+3} - 1$ , $j=0, \ldots, n-1$ .

$0.01-$ yüzdelik değeri tahmin etmek istiyorum .

Benim fikrim bir çeşit Monte-Carlo simülasyonu yapmak:

l = 1;
while(l < max_iterations)
{
  Generate $X_1, X_2, \ldots, X_{3n}$ and compute $Y_1, Y_2, \ldots, Y_{n}$;
  Compute $0.01-$percentile of current repetition;
  Compute mean $0.01-$percentile of all the iterations performed;
  Compute variance of $0.01-$percentile of all the iterations performed;
  Calculate confidence interval for the estimate of the $0.01-$percentile;

  if(confidence interval is small enough)
    break;

}

Tüm ortalama çağrılması örnek $0.01-$ Yüzdelik olmaya bilgisayarlı $\hat{\mu}_n$ ve bunların varyans , uygun güven aralığını hesaplamak için ben başvurmak, Merkezi Limit Teoremi Güçlü formda : $\hat{\sigma}^{2}_{n}$ $\mu$

Let ile Rasgele değişkenlerin bir dizisi ve . Numunenin ortalamasını belirleyin . Daha $X_1, X_2, \ldots$ $E \left[ X_i \right] = \mu$ $0 < V \left[ X_i \right] = \sigma^2 < \infty$ $\hat{\mu}_n = (1/n) \sum_{i=1}^n X_i$ sınırlayıcı bir standart normal dağılım, yani var $(\hat{\mu}_n - \mu) / \sqrt{\sigma^{2}/n}$
$\frac{{\hat{μ}}_{n} - μ}{\sqrt{σ^{2} / n}} \overset{n \to \infty}{⟶} N (0, 1) .$ $\frac{\hat{\mu}_n - \mu}{\sqrt{\sigma^{2}/n}} \overset{n \rightarrow \infty} \longrightarrow N(0,1).$

ve Slutksy teoremi sonucuna

\sqrt{n} \frac{{\hat{μ}}_{n} - μ}{\sqrt{{\hat{σ}}_{n}^{2}}} \overset{n \to \infty}{⟶} N- (0, 1) .

$\sqrt{n} \frac{\hat{\mu}_n - \mu}{\sqrt{\hat{\sigma}^{2}_{n}}} \overset{n \rightarrow \infty} \longrightarrow N(0,1).$

Daha sonra, bir -confidence aralığı için olan $(1-\alpha)\times 100\%$ $\mu$

burada,standart normal dağılımınkantilidir.

I_{α} = [{\hat{μ}}_{n} - z_{1 - α / 2} \sqrt{\frac{{\hat{σ}}_{n}^{2}}{n}}, {\hat{μ}}_{n} + z_{1 - α / 2} \sqrt{\frac{{\hat{σ}}_{n}^{2}}{n}}],

$I_{\alpha} = \left[\hat{\mu}_n - z_{1- \alpha / 2} \sqrt{\frac{\hat{\sigma}^{2}_{n}}{n}} , \hat{\mu}_n + z_{1- \alpha / 2} \sqrt{\frac{\hat{\sigma}^{2}_{n}}{n}} \right],$

z_{1 - α / 2}

$z_{1- \alpha / 2}$

(1 - α / 2)

$(1- \alpha / 2)$

Sorular:

1) Yaklaşımım doğru mu? CLT uygulamasını nasıl gerekçelendirebilirim? Yani, varyansın sonlu olduğunu nasıl gösterebilirim? ( varyansına bakmak zorunda mıyım? Çünkü bunun sınırlı olduğunu düşünmüyorum ...) $Y_j$

2) nasıl numunenin bütün ortalama olduğunu gösterebilir Yüzdelik gerçek değeri yakınlaşıyor bilgisayarlı yüzdelik? (Sipariş istatistiklerini kullanmalıyım ama nasıl ilerleyeceğimden emin değilim; referanslar takdir ediliyor.) $0.01-$ $0.01-$

— Maya
kaynak

Stats.stackexchange.com/questions/45124 adresindeki örnek medyanlara uygulanan tüm yöntemler diğer persantiller için de geçerlidir. Aslında, sorunuz bu soru ile aynıdır, ancak yalnızca 50. persentili 1. (veya belki 0.01?) Persentil ile değiştirir.

— whuber

@whuber, bu soruya verdiğiniz yanıt son derece iyi. Bununla birlikte, Glen_b görevinin sonunda (kabul edilen cevap), yaklaşık normallik "aşırı kantiller için geçerli değildir, çünkü CLT orada tekme atmaz (Z'lerin ortalaması asemptotik olarak normal olmayacaktır) "Aşırı değerler için farklı teoriye ihtiyacınız var" + + msgid ". Bu ifade hakkında ne kadar endişelenmeliyim?

— Maya

O gerçekten ortalama aşırı vermedi inanıyoruz quantiles , ama sadece uç kendileri. (Aslında, aynı cümlenin sonundaki atlamayı düzeltti ve onlara "aşırı değerler" olarak atıfta bulundu.) Ayrım, .01 persentil ( dağıtım), sınırda, stabilize olacaktır çünkü bir numunedeki giderek daha fazla veri hala altına düşecek ve daha fazla ve bu yüzdelik değerin üzerine düşecektir. Artık böyle bir aşırı (maksimum veya minimum gibi) ile.

— whuber

Bu genel olarak ampirik süreç teorisi kullanılarak çözülmesi gereken bir sorundur. Eğitim seviyenizle ilgili bazı yardımlar faydalı olacaktır.

— AdamO

varyansı sonlu değildir. $Y$ Bir alfa-kararlı değişken olmasıdır ile (a Holtzmark dağılımı ) sınırlı bir beklenti var ancak varyans sonsuzdur. Eğer sonlu varyans vardı bağımsızlığını istismar ederek daha sonra, ve biz hesaplayabilirdi Varyans tanımını $X$ $\alpha=3/2$ $\mu$ $Y$ $\sigma^2$ $X_i$

\begin{aligned} σ^{2} = Var (Y) & = E (Y^{2}) - E (Y)^{2} \\ = E (X_{1}^{2} X_{2}^{2} X_{3}^{2}) - E (X_{1} X_{2} X_{3})^{2} \\ = E (X^{2})^{3} - {(E (X)^{3})}^{2} \\ = {(Var (X) + E (X)^{2})}^{3} - μ^{6} \\ = {(Var (X) + μ^{2})}^{3} - μ^{6} . \end{aligned}

$\eqalign{ \sigma^2 = \operatorname{Var}(Y) &= \mathbb{E}(Y^2) - \mathbb{E}(Y)^2 \\ &= \mathbb{E}(X_1^2X_2^2X_3^2) - \mathbb{E}(X_1X_2X_3)^2 \\ &= \mathbb{E}(X^2)^3 - \left(\mathbb{E}(X)^3\right)^2 \\ &= \left(\operatorname{Var}(X) + \mathbb{E}(X)^2\right)^3 - \mu^6 \\ &= \left(\operatorname{Var}(X) + \mu^2\right)^3 - \mu^6. }$

Bu kübik denklem en az bir gerçek çözümü vardır (ve en fazla üç çözümleri, ama artık kadar), ima sonlu olacak - ama değil. Bu çelişki iddiayı ispatlamaktadır. $\operatorname{Var}(X)$ $\operatorname{Var}(X)$

İkinci soruya bakalım.

Herhangi bir örnek kantil, örnek büyüdükçe gerçek kantil ile birleşir. Sonraki birkaç paragraf bu genel noktayı ispatlamaktadır.

İlişkili olasılığı (veya ile arasında başka bir değer hariç) olsun. Yazın , böylece dağılım fonksiyonu için bir bir dağılım. $q=0.01$ $0$ $1$ $F$ $Z_q=F^{-1}(q)$ $q^{\text{th}}$

Tüm varsaymamız gereken, (kuantil fonksiyon) sürekli olduğudur. Bu güvence veriyor bize biri için yapılacak olasılıkları vardır ve kendisi için $F^{-1}$ $\epsilon\gt 0$ $q_-\lt q$ $q_+\gt q$

F (Z_{q} - ϵ) = q_{-}, F (Z_{q} + ϵ) = q_{+},

$F(Z_q - \epsilon) = q_-,\quad F(Z_q + \epsilon) = q_+,$

ve olarak aralığının sınırı dır . $\epsilon\to 0$ $[q_-, q_+]$ $\{q\}$

boyutunda herhangi bir iid örneği düşünün . Daha az olan, bu örneğin elemanların sayısı bir binom sahiptir her bir elemanı, bağımsız bir şekilde, bir şans olduğundan, dağıtım daha az olma $n$ $Z_{q_-}$ $(q_-, n)$ $q_-$ . Merkezi Limit Teoremi (! Olağan bir) yeterince büyük için ima, az elemanların sayısı ortalama bir normal dağılım verilirve varyans $Z_{q_-}$ $n$ $Z_{q_-}$ $nq_-$ nedenle keyfi olarak (keyfi olarak iyi bir yaklaşımla). Standart Normal dağılımın . Bu miktarın değerini aşma şansı $nq_-(1-q_-)$ $\Phi$ $nq$

1 - Φ (\frac{n q - n q_{-}}{\sqrt{n q_{-} (1 - q_{-})}}) = 1 - Φ (\sqrt{n} \frac{q - q_{-}}{\sqrt{q_{-} (1 - q_{-})}}) .

$1-\Phi\left(\frac{nq - nq_-}{\sqrt{nq_-(1-q_-)}}\right) = 1-\Phi\left(\sqrt{n}\frac{q - q_-}{\sqrt{q_-(1-q_-)}}\right).$

Çünkü sağ taraftaki argümanı sabit bir kat $\Phi$ , o kadar keyfi büyük büyürbüyür. Yanabir CDF olup, değeri yakın keyfi yaklaşımlar $\sqrt{n}$ $n$ $\Phi$ $1$ , bu olasılık sınır değeri sıfırdır gösteren.

Kelimelerle: sınırda, örnek elemanların dan daha az olmadığı neredeyse kesindir . Benzer bir argüman , örnek elemanların dan daha büyük olmadığı neredeyse kesin olarak kanıtlanmıştır. $nq$ $Z_{q_-}$ $nq$ $Z_{q_+}$ . Birlikte, bu anlamına yeterince büyük bir örnek quantile arasında uzanacak şekilde son derece olasıdır ve . $q$ $Z_q-\epsilon$ $Z_q+\epsilon$

Simülasyonun işe yarayacağını bilmek için tek ihtiyacımız olan bu. İstediğiniz herhangi bir doğruluk derecesini ve güven seviyesi seçebilir ve yeterince büyük bir örneklem büyüklüğü $\epsilon$ $1-\alpha$ $n$ en yakın, sıra istatistiği o numunedeki şansı en az olacak dahilinde olma arasında gerçek kantil . $nq$ $1-\alpha$ $\epsilon$ $Z_q$

Bir simülasyonun işe yarayacağını tespit ettikten sonra gerisi kolaydır. Güven limitleri Binom dağılımı limitlerinden elde edilebilir ve sonra geri dönüştürülebilir. Daha fazla açıklama ( kantil için, ancak tüm kantillere genelleme için) örnek medyanlar için Merkezi limit teoremindeki cevaplarda bulunabilir . $q=0.50$

arasında quantile $q=0.01$ negatiftir. Örnekleme dağılımı oldukça çarpıktır. Çarpıklığı azaltmak için, bu şekil, değerinde1.000 simüle edilmiş numuneninnegatiflerinin logaritmalarınınbir histogramını göstermektedir. $Y$ $n=300$ $Y$

library(stabledist)
n <- 3e2
q <- 0.01
n.sim <- 1e3

Y.q <- replicate(n.sim, {
  Y <- apply(matrix(rstable(3*n, 3/2, 0, 1, 1), nrow=3), 2, prod) - 1
  log(-quantile(Y, 0.01))
})
m <- median(-exp(Y.q))
hist(Y.q, freq=FALSE, 
     main=paste("Histogram of the", q, "quantile of Y for", n.sim, "iterations" ),
     xlab="Log(-Y_q)",
     sub=paste("Median is", signif(m, 4), 
               "Negative log is", signif(log(-m), 4)),
     cex.sub=0.8)
abline(v=log(-m), col="Red", lwd=2)

— whuber
kaynak