Normal değişkenlerin maksimum oranının beklenen değeri

Varsayalım gelen iid ve izin ifade 'den inci en küçük elemanı . iki ardışık eleman arasındaki oranın beklenen maksimum oranını nasıl daha üst sınırlara ? Yani, bir üst sınırı nasıl hesaplayabilirsiniz: $X_1,...,X_n$ $N(\mu,\sigma^2)$ $X_{(i)}$ $i$ $X_1,...,X_n$ $X_{(i)}$

E [max_{i = 1, . . ., n - 1} (\frac{X_{(i + 1)}}{X_{(i)}})]

$E\left[\max\limits_{i=1,...,n-1}\left(\frac{X_{(i+1)}}{X_{(i)}}\right)\right]$

Bulabildiğim literatür çoğunlukla iki rasgele değişken arasındaki orana odaklanıyor ve bu da ilişkisiz iki normal dağılım için pdf'nin burada verildiği bir oran dağılımı ile sonuçlanıyor: https://en.wikipedia.org/wiki/ Ratio_distribution # Gaussian_ratio_distribution . Bu beklenen ortalama oran UPPERBOUND beni sağlayacak iken değişkenleri ben beklenen maksimum oranını bulmaya şu olgusunun yaygınlaşması nasıl göremez değişkenleri. $n$ $n$

— maksimum
kaynak

Whuber'ın aşağıda belirttiği gibi, iki ardışık sipariş istatistikinin oranı beklentisi yakınlaşmaz. Ama eğer öyleyse veya farklarıyla ilgileniyorsanız, ... sorun aslında iki EN BÜYÜK sipariş istatistiğinin oranını (veya duruma göre farkı) bulmayı basitleştirmelidir, yani ... sadece Normal kuyruk şeklinden.

E [max_{i = 1, . . ., n - 1} (X_{(i + 1)} - X_{(i)})]

$E\left[\max\limits_{i=1,...,n-1}\left(X_{(i+1)} - X_{(i)} \right)\right]$

E [X_{(n)} - X_{(n - 1)}]

$E[X_{(n)} -X_{(n-1)}]$

— wolfies

Beklenti tanımsız.

, aşağıdaki özelliğe sahip herhangi bir dağıtım göre olsun : pozitif bir sayısı ve pozitif bir ki $X_i$ $F$ $h$ $\epsilon$

\begin{matrix} (1) & F (x) - F (0) \geq h x \end{matrix}

$F(x) - F(0) \ge h x\tag{1}$

tüm . Bu özellik, yoğunluğu herhangi bir sürekli dağılımı, böyle bir normal dağılım için de geçerlidir sürekli ve sıfır olmayan daha sonra da, bize sağlayan, ile arasındaki herhangi bir sabit değeri için alır . $0 \lt x \lt \epsilon$ $f$ $0$ $F(x) - F(0) = f(0)x + o(x)$ $h$ $0$ $f(0)$

Analizi basitleştirmek için , her ikisi de tüm Normal dağılımlar için geçerli olan ve olduğunu varsayacağım . (İkincisi, gerekirse yeniden ölçeklendirerek sağlanabilir . Birincisi, yalnızca bir olasılığın basit bir şekilde hafife alınmasına izin vermek için kullanılır.) $F(0) \gt 0$ $1-F(1) \gt 0$ $F$

Bırakın ve oranın hayatta kalma işlevini şu şekilde tahmin edelim: $t \gt 1$

\begin{aligned} Pr (\frac{X_{(i + 1)}}{X_{(i)}} > t) & = Pr (X_{(i + 1)} > t X_{(i)}) \\ > Pr (X_{(i + 1)} > 1, X_{(i)} \leq 1 / t) \\ > Pr (X_{(i + 1)} > 1, 1 / t \geq X_{(i)} > 0, 0 \geq X_{(i - 1)}) . \end{aligned}

$\eqalign{ \Pr\left(\frac{X_{(i+1)}}{X_{(i)}} \gt t\right) &= \Pr(X_{(i+1)} \gt t X_{(i)}) \\ &\gt \Pr(X_{(i+1)}\gt 1,\ X_{(i)} \le 1/t) \\ &\gt \Pr(X_{(i+1)}\gt 1,\ 1/t \ge X_{(i)} \gt 0,\ 0 \ge X_{(i-1)}).}$

Bu ikinci olasılık tam olarak şans arasında aşan aralığı içinde tam olarak bir yalan, ve geri kalan (eğer varsa) pozitif olmayan bulunmaktadır. Açısından şans olduğu çok terimli ifade ile $n-i$ $X_j$ $1$ $(0,1/t]$ $i-1$ $F$

(\binom{n}{n - i, 1, i - 1}) (1 - F (1))^{n - i} (F (1 / t) - F (0)) F (0)^{i - 1} .

$\binom{n}{n-i,1,i-1}(1-F(1))^{n-i}(F(1/t)-F(0))F(0)^{i-1}.$

Zaman , eşitsizlik bir alt içerir orantılı olduğu için bu bağlanmış gösteren, $t \gt 1/\epsilon$ $(1)$ $1/t$

Sağkalım fonksiyonu arasında gibi asimptotik davranan bir kuyruğu vardır :, bir pozitif bir sayı için . $S(t)$ $X_{(i+1)}/X_{(i)}$ $1/t$ $S(t) = a/t + o(1/t)$ $a$

Tanım olarak, herhangi bir rastgele değişkenin beklentisi pozitif kısmının beklentisi artı negatif kısmının beklentisi . Yana varsa - - beklenti pozitif kısmının hayatta kalma fonksiyonunun integrali olan (den için ) ve $\max(X,0)$ $-\max(-X,0)$ $0$ $\infty$

\int_{0}^{x} S (t) d t = \int_{0}^{x} (1 / t + Ö (1 / t)) d t α günlük (x),

$\int_0^x S(t) dt = \int_0^x (1/t + o(1/t))dt\; \propto\; \log(x),$

beklentisinin pozitif kısmı ayrışmaktadır. $X_{(i+1)}/X_{(i)}$

değişkenlerine uygulanan aynı argüman , beklenti negatif kısmını gösterir . Böylece, oranın beklentisi bile sonsuz değildir: tanımsızdır. $-X_i$

— whuber
kaynak

+1 Sadece 'basit' bir vakasını deniyordum ve beklentileri değerlendirmeye çalışıyordum ... ve aynı sonuca vardım: beklenti integrali birbirine yaklaşmıyor. Belki de OP, soruyu oranlardan ziyade farklılıklar gibi farklı bir biçimde yeniden

n = 3

$n = 3$

— yayınlayacaktır