Varyans standart sapmadan daha temel bir kavram mıdır?

18

[A] derin bir varyans standart sapmadan daha temel bir kavramdır.

Site, varyansın neden standart sapmadan daha temel olduğu anlamına gelmiyor, ancak bu sitede benzer şeyler okuduğumu hatırlattı.

Örneğin, bu yorumda @ kjetil-b-halvorsen "standart sapmanın yorumlama, raporlama için iyi olduğunu. Teori geliştirmek için varyansın daha iyi olduğunu" yazıyor.

Bu iddiaların birbiriyle bağlantılı olduğunu hissediyorum, ama onları gerçekten anlamıyorum. Örnek varyansın kare kökünün, popülasyon standart sapmasının tarafsız bir tahmincisi olmadığını anlıyorum, ancak bundan daha fazlası olmalı.

Belki de "temel" terimi bu site için çok belirsizdir. Bu durumda, belki de varyasyonun istatistiksel teori geliştirme açısından standart sapmadan daha önemli olup olmadığını sorarak işlevselleştirebiliriz. Neden / neden olmasın?

variance standard-deviation

— user1205901 - Monica'yı eski durumuna döndür
kaynak

Onlar sadece aynı şey değil mi? 1 + 1, 2 * 1 ile aynı mı?

— SmallChess

2

Varyans ikinci kümülatördür,

. Kümülantların üzerine Wikipedia makalesi

κ_{2}

$\kappa_2$ rastgele değişkenlerin çalışma için değil, aynı zamanda fizik ve kombinasyon hesaplarının değil, ne kadar doğal ve önemli olan herkesin etkilemek gerekir. Çok doğrusallık özelliğinin (hesaplamaların yapılması için temel olan) ve ayrıca kümülanların çok değişkenli dağılımlara genişletilmesinin standart sapması yoktur.

— whuber

16

Robert ve Bey'in cevapları hikayenin bir bölümünü veriyor (yani anlar dağılımların temel özellikleri olarak görülüyor ve geleneksel olarak standart sapma, tersi yönde değil, ikinci merkezi moment açısından tanımlanıyor), ancak bunların ne ölçüde işler gerçekten temeldir , kısmen terimle ne demek istediğimize bağlıdır.

Örneğin, sözleşmelerimiz başka bir yoldan giderse aşılmaz bir sorun olmayacaktı - diyelim ki, olağan anların yerine geleneksel olarak başka miktarları tanımlayan bizi durduracak hiçbir şey yok. için $E[(X-\mu)^p]^{1/p}$ ( $p=1,2,3,...$ $\mu$ hem moment dizisine hem de ilk terime uyuyor) ve sonra momentleri - ve momentlerle ilgili her türlü hesaplamayı - bunlar açısından tanımlamak. Bu miktarların hepsinin, orijinal birimlerde ölçüldüğüne dikkat edin; bu, anlardan ( orijinal birimlerin güçlerinde olan ve yorumlanması daha zor olan) bir avantajdır . Bu, popülasyon standart sapmasını, tanımlanmış miktar ve onun cinsinden tanımlanan varyansı yapar. $p$

Bununla birlikte, anı üreten fonksiyon (veya yukarıda tanımlanan yeni miktarlarla ilgili bir miktar eşdeğer) gibi miktarları daha az "doğal" yapar, bu da işleri biraz daha garip hale getirir (ancak bazı sözleşmeler biraz böyle). MGF'nin diğer taraftan o kadar uygun olmayacağı bazı uygun özellikleri var.

Daha temel, zihnime göre (ancak onunla ilgili), varyansın özellikleri olarak yazıldığında, standart sapmanın özellikleri olarak yazıldığından (örneğin, bağımsız toplamların varyansı) daha uygun olan bir dizi temel varyans özelliğinin olmasıdır. rastgele değişkenler varyansların toplamıdır).

Bu katkı, diğer dağılım ölçütleri ile paylaşılmayan bir özelliktir ve bir takım önemli sonuçları vardır.

[Bu nedenle diğer kümülantların arasındaki benzer ilişkiler vardır bir biz daha genel anlara ilişkin şeyleri tanımlamak isteyebileceğiniz duygusu.]

Tüm bu nedenler tartışmalı olarak konvansiyon veya rahatlıktır, ancak bir dereceye kadar bu bir bakış açısı meselesidir (örneğin, bazı açılardan anlar oldukça önemli niceliklerdir, diğerlerinden hepsi o kadar önemli değildir). "Derin seviyede" bir bitin, kjetil'in "teoriyi geliştirirken" dışında bir şey ifade etmesi amaçlanmış olabilir.

Sorunuzda dile getirdiğiniz kjetil'in noktasına katılıyorum; bir dereceye kadar bu cevap sadece bunun dalgalı bir tartışmasıdır.

— Glen_b-Monica'yı eski durumuna döndür
kaynak

Her ikisinin de kendi eşlik eden kolaylıklara sahip olduğu gibi, eşit bir istikrar içinde olduklarını söyleyebilirim.

— JM bir istatistikçi değil

2

Varyans, dağılımın ilk ve ikinci momentleri tarafından tanımlanır . Aksine, standart sapma bir andan çok "norm" gibidir. Anlar bir dağılımın temel özellikleridir, oysa normlar sadece bir ayrım yapmanın yollarıdır.

2

Varyans standart sapmadan daha esastır, çünkü standart sapma 'varyansın kare kökü' olarak tanımlanır, örneğin tanımı tamamen varyansa bağlıdır.

Varyans ise - tamamen bağımsız olarak - 'bir numune ile ortalama arasındaki kare farkın beklentisi' olarak tanımlanır.

— Robert de Graaf
kaynak

3

Bunu daha çok, temelde neyin bir yansıması olarak değil, örneğin öğretimde terimleri (sıklıkla) kullanma şeklimiz hakkında bir rapor olarak görüyorum. Varyanstan bahsetmeden standart sapmayı tanıtmak mükemmel bir şekilde mümkündür (henüz) ve birçok metin ve ders, tam olarak, Pythagoras'ın teoremi hakkında, kare miktarlar için herhangi bir özel ad kullanmaya gerek kalmadan konuşabildiğiniz gibi tam olarak bunu yapar. Tarihsel olarak, istatistiksel anlamda varyans terimi standart sapmanınkinden sonra gelir, bu nedenle bu kelimeler bile birkaç on yıl boyunca imkansızdı.

— Nick Cox

Glen'in şimdi silinmiş yorumuna bir yanıt formüle etmeye çalışırken, varyanstan önce bir etiket olarak ortaya çıkan standart sapmanın farkına vardım - o zaman, daha eski terimin daha yeni terim olarak yaygın olarak tanımlandığı gerçeğini yansıttım. yeni terimin zayıflatmak yerine daha temel olduğu iddiaları.

— Robert de Graaf

1

Her türlü açıklama bulunabilir. SD'yi tanıtıcı öğretimde (hepsi matematiksel olarak güçlü olmayan coğrafyacılara), varyans terimini hiç kullanmıyorum . SD'nin normal (Gaussian) dağılımlar için, ortalama ile yoğunluk fonksiyonu arasındaki herhangi bir bükülme arasındaki mesafe olarak doğal bir ölçek ölçüsü olduğuna dikkat çekiyorum. Bunun kendi eğlence ve zevkim için öğrencilerinkinden daha fazla olduğundan şüpheleniyorum.

— Nick Cox

0

$n$ $X$ $\mathrm{Var}[X] = \sigma^2$ $S^2$ $\sigma^2$ $S$ $\sigma$

E [S^{2}] = σ^{2}, E [S] \neq σ,

$\mathrm{E}[S^2] = \sigma^2\,,\ \mathrm{E}[S]\neq \sigma\,,$

— StijnDeVuyst
kaynak

2

Aksine, bir örneklemden örnek sapması

n

$n$ bölen olarak tanımlanmadığı sürece tarafsız bir tahmin edici değildir

n - 1

$n - 1$ . Bunu yapabilirsiniz, ama sonra tüm argüman döngüselliğe yaklaşır, tarafsız olarak tanımlanan bir tahmin edicinin gerçekten tarafsız olduğunu gösterir. Ayrıca, buradaki argüman tarafsız olmanın kesinlikle önyargılı olmayı tercih ettiği varsayımında tartışmalıdır. Örneğin, çoğunun tarafsız tahmin ediciler kullanmanın genellikle önyargılı tahmin edicilere yol açtığı daha derin ve daha genel bir ilke olarak kabul edeceği maksimum olasılığı kullanmak.

— Nick Cox

Doğru doğru. Tarafsız her zaman daha iyi değildir, asla başka türlü önermek istemedim. Kayıt için, buradaki herkesle standart geliştirici ile çalışmak için hiçbir matematiksel itiraz olmayacağına katılıyorum. varyans yerine temel kavram olarak. Güzellik bakanın gözlerindedir. Peki ya glen_b 'in yararlı özellikleri hakkında açıklama

V a r []

$\mathrm{Var}[]$ , örneğin

V a r [\sum_{i} X_{i}] = \sum_{i} V a r [X_{i}]

$\mathrm{Var}[\sum_i X_i] = \sum_i \mathrm{Var}[X_i]$ bağımsız için

X_{i}

$X_i$ ? Bu oldukça "doğal" gibi görünüyor.

— StijnDeVuyst

1

Gerçekten de, bağımsız varyansların eklenebilirliği temel bir özelliktir, ancak bu sizin argümanınız değildir.

— Nick Cox

Belki ilginç olan ortalama olarak, belirli bir dağılım belirtmeden varyans yansız tahmin edicisi inşa edebilir, yani (standart sapma tarafsız tahminleri dağılımı özeldir.)

— Scortchi - Eski Monica