Çok düzeyli karma efektler modeli için matematiksel denklemi yazma

CV Sorusu

Karma efektler modelinin (a) ayrıntılı ve özlü matematiksel temsilini vermeye çalışıyorum. lme4Paketi R'de kullanıyorum . Modelim için doğru matematiksel gösterim nedir?

Veri, Bilim Sorusu ve R Kodu

Veri setim farklı bölgelerdeki türlerden oluşuyor. Bir türün yaygınlığının bir yokolmaya yol açan sürede değişip değişmediğini (yok olmaların kalıcı olması gerekmez; yeniden kolonileştirebilir) veya bir kolonizasyonun ardından test ediyorum.

lmer(prevalence ~ time + time:type + (1 + time + type:time | reg) + (1 + time + type:time | reg:spp))

Prevalans , bir bölge yılında bir türün işgal ettiği tabakaların oranıdır
Zaman , yok olma veya kolonileşme süresini belirten sürekli bir değişkendir; her zaman olumlu
Tür , iki düzeyli kategorik bir değişkendir. Bu iki seviye “-” ve “+” dır. Tür - olduğunda, bir kolonizasyon (varsayılan düzey). Tür + olduğunda, bu bir yok olmadır.
Reg , bölgeyi gösteren dokuz seviyeli kategorik bir değişkendir
Spp kategorik bir değişkendir; seviye sayısı bölgeler arasında ve 48 seviye ile 144 seviye arasında değişir.

Kelimeler: cevap değişkeni yaygınlıktır (işgal edilen tabakaların oranı). 1) ve kesişme, 2) olaydan itibaren süre ve 3) olaydan zamana etkileşim ve olay türü (kolonizasyon veya yok olma) arasındaki etkileşim dahil olmak üzere sabit etkiler. Bu 3 sabit etkinin her biri bölgeler arasında rastgele farklılık göstermiştir. Bir bölgede, etkilerin her biri türler arasında rasgele değişmiştir.

Model için matematiksel denklemi nasıl yazacağımı anlamaya çalışıyorum. R kodunda neler olduğunu anladığımı düşünüyorum (her ne kadar eminim bazı bilgi boşluklarım var ve umarım resmi matematiksel ifadeyi yazmak benim anlayışımı geliştirecektir).

Web'de ve bu forumlarda biraz araştırma yaptım. Emin olmak için tonlarca yararlı bilgi buldum (ve belki de bu soruya yapılan bir düzenlemede bunlardan bazılarına bağlantı vereceğim). Ancak, ben gerçekten R-kod "Rosetta Stone" matematik (tercüme ile daha rahat) gerçekten bu denklemleri doğru var doğrulamak bana yardımcı olacaktır tercüme tercüme bulamadı. Aslında, zaten bazı boşluklar olduğunu biliyorum, ama buna ulaşacağız.

Girişim

Matris notasyonunda karışık efektler modelinin temel formu (anlayışım için):

Y = X β + Z γ + ϵ

$Y = X \beta + Z \gamma + \epsilon$

X = [\begin{matrix} 1 & Δ t & Δ t_{+} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 1 & Δ t_{n} & Δ t_{+, n} \end{matrix}]

$X = \begin{bmatrix} 1 & \Delta t & \Delta t_{+} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 & \Delta t_n & \Delta t_{+,n} \end{bmatrix}$

β^{^{'}} = [\begin{matrix} β_{0} & β_{1} & β_{2} \end{matrix}]

$\beta^{'} = \begin{bmatrix} \beta_0 & \beta_1 & \beta_2 \end{bmatrix}$

Z = [\begin{matrix} 1 I (r_{1}) & Δ t I (r_{1}) & Δ t_{+} I (r_{1}) & \dots & 1 I (r_{9}) & Δ t I (r_{9}) & Δ t_{+} I (r_{9}) \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 1 I (r_{1, n}) & Δ t_{n} I (r_{1, n}) & Δ t_{+, n} I (r_{1, n}) & \dots & 1 I (r_{9, n}) & Δ t I (r_{9, n}) & Δ t_{+, n} I (r_{9, n}) \end{matrix}]

$Z = \begin{bmatrix} 1 I(r_1) & \Delta t I(r_1) & \Delta t_{+} I(r_1) & \dots & 1 I(r_9) & \Delta t I(r_9) & \Delta t_{+} I(r_9) \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 I(r_{1,n}) & \Delta t_n I(r_{1,n}) & \Delta t_{+,n} I(r_{1,n}) & \dots & 1 I(r_{9,n}) & \Delta t I(r_{9,n}) & \Delta t_{+,n} I(r_{9,n}) \\ \end{bmatrix}$

γ^{^{'}} = [\begin{matrix} γ_{0, 1} & γ_{1, 1} & γ_{2, 1} & \dots & γ_{0, 9} & γ_{1, 9} & γ_{2, 9} \end{matrix}]

$\gamma^{'} = \begin{bmatrix} \gamma_{0,1} & \gamma_{1,1} &\gamma_{2,1} & \dots & \gamma_{0,9} & \gamma_{1,9} &\gamma_{2,9} \end{bmatrix}$

ϵ \sim N (0, Σ)

$\epsilon \sim \mathcal{N}(0,\Sigma)$

$X$ $\Delta t$ time $\Delta t_{+}$ time:type
$Z$
$\beta$ $\gamma$
$\epsilon$ $\Sigma$

Şimdiye kadar olan şeylerin doğru olduğunu varsayarsak, bu üst seviyede iyi olduğum anlamına gelir. Bununla birlikte, her bölge içinde yer alan parametreler üzerindeki türe özgü varyasyonu açıklamak beni daha da fazla güldü.

Ama belki mantıklı bir şeye çatladım ...

$\gamma$ $\gamma$

- $U_{p,r}$ $r$ $p$ $b_{p,r}$ $S$ $\eta_{p,r}$

$\gamma_{p,r}$

γ_{0, r} = U_{0, r} b_{0, r} + η_{0, r}

$\gamma_{0,r} = U_{0,r} b_{0,r} + \eta_{0,r}$

γ_{0, r} = [\begin{matrix} 1 I (s_{1}) \dots 1 I (s_{S}) \end{matrix}] + [\begin{matrix} b_{0, 1} \\ ⋮ \\ b_{0, S} \end{matrix}] + η_{0, r}

$\gamma_{0,r} = \begin{bmatrix} 1 I(s_1) \dots 1 I(s_S) \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} b_{0,1}\\ \vdots \\ b_{0,S} \end{bmatrix} + \eta_{0,r}$

γ_{1, r} = U_{1, r} b_{1, r} + η_{1, r}

$\gamma_{1,r} = U_{1,r} b_{1,r} + \eta_{1,r}$

γ_{1, r} = [\begin{matrix} Δ t I (s_{1}) \dots Δ t I (s_{S}) \end{matrix}] + [\begin{matrix} b_{1, 1} \\ ⋮ \\ b_{1, S} \end{matrix}] + η_{1, r}

$\gamma_{1,r} = \begin{bmatrix} \Delta t I(s_1) \dots \Delta t I(s_S) \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} b_{1,1}\\ \vdots \\ b_{1,S} \end{bmatrix} + \eta_{1,r}$

γ_{2, r} = U_{2, r} b_{2, r} + η_{2, r}

$\gamma_{2,r} = U_{2,r} b_{2,r} + \eta_{2,r}$

γ_{2, r} = [\begin{matrix} Δ t_{+} I (s_{1}) \dots Δ t_{+} I (s_{S}) \end{matrix}] + [\begin{matrix} b_{2, 1} \\ ⋮ \\ b_{2, S} \end{matrix}] + η_{2, r}

$\gamma_{2,r} = \begin{bmatrix} \Delta t_+ I(s_1) \dots \Delta t_+ I(s_S) \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} b_{2,1}\\ \vdots \\ b_{2,S} \end{bmatrix} + \eta_{2,r}$

$\eta \sim \mathcal{N}(0,\Sigma_{\eta})$ $\epsilon$ $\Sigma$ $G$

Düzenleme: biraz yardımcı olan diğer Q / A'lar

Bu Soru-Cevap güzeldi, ancak bazı şeyleri tam matris biçiminde yazmadı

r mixed-model multilevel-analysis lme4-nlme

— rbatt
kaynak

Bu makalenin sorunuzun "cevabına" sahip olduğundan şüpheliyim ama bana HMM model denklemleri için bir astar olarak iyi hizmet etti. SAS köklü olduğunu unutun, bu model sınıfına mükemmel bir genel bakış. Judith Singer, SAS Proc'u Çok Düzeyli Modellere, Hiyerarşik Modellere ve Bireysel Büyüme Modellerine Sığdırmak İçin Kullanma, JEBS , Kış 1998, cilt. 4, sayfa 323-355.

— Mike Hunter

Bölüm 2.3'ü burada okudunuz mu?

— Robert Long

Onları okudum ve bunun gibi kaynaklar beni bu kadar ileri götürdü. Sadece denemeye devam etmem gerekebilir, ama şu anki yaklaşımımda bana yeterince güven verecek kadar karmaşık bir örnek bulamadım.

— 16:50, rbatt

Anladığım kadarıyla, "yuvalama" sadece lmer modellerinde etkileşimdir. Bu kavram, aynı sözdiziminin kullanılmasıyla güçlendirilir. Bu yüzden reg: spp, tek bir kategorik değişken ve Z'de sadece başka bir blok kümesi tarafından ele alınabileceğine inanıyorum.

— deasmhumnha

Ayrıca lmer'in mükemmel doğrusallıktan kaçınacağını ve sadece ek değişken içindeki gereksiz etkileşimleri içereceğini varsayacağım.

— deasmhumnha

Kodu doğru anladıysam, neden sadece

y_{ben} = (α + ν_{j [ben]}^{(α)} + η_{k [ben]}^{(α)}) + (β + ν_{j [ben]}^{(β)} + η_{k [ben]}^{(β)}) T_{ben} + (δ + ν_{j [ben]}^{(δ)} + η_{k [ben]}^{(δ)}) (T_{ben} * Z_{ben}) + ε_{ben}

$y_{i} = \Big(\alpha + \nu_{j[i]}^{(\alpha)} + \eta_{k[i]}^{(\alpha)}\Big) + \Big(\beta + \nu_{j[i]}^{(\beta)} + \eta_{k[i]}^{(\beta)}\Big)T_{i} + \Big(\delta + \nu_{j[i]}^{(\delta)} + \eta_{k[i]}^{(\delta)}\Big)(T_{i} * Z_{i}) + \epsilon_i$

\begin{aligned} [ν_{j}^{(α)}, ν_{j}^{(β)}, ν_{j}^{(δ)}] & ~ Çok Normal (0, Σ_{ν}) \\ [η_{j}^{(α)}, η_{j}^{(β)}, η_{j}^{(δ)}] & ~ Çok Normal (0, Σ_{η}) \\ ε_{ben} & ~ Normal (0, σ_{ε}) \end{aligned}

$\begin{aligned} \Big[\nu_{j}^{(\alpha)}, \nu_j^{(\beta)}, \nu_j^{(\delta)}\Big] &\sim \text{Multi-Normal}(\mathbf 0, \boldsymbol \Sigma_\nu) \\ \Big[\eta_{j}^{(\alpha)}, \eta_j^{(\beta)}, \eta_j^{(\delta)}\Big] &\sim \text{Multi-Normal}(\mathbf 0, \boldsymbol \Sigma_\eta)\\ \epsilon_i & \sim \text{Normal}(0, \sigma_\epsilon) \end{aligned}$

y_{i} = α_{j [i], k [i]} + β_{j [i], k [i]} T_{i} + δ_{j [i], k [i]} (T_{i} * Z_{i}) + ϵ_{i}

$y_{i} = \alpha_{j[i],k[i]} + \beta_{j[i],k[i]}T_{i} + \delta_{j[i],k[i]}(T_i * Z_i) + \epsilon_i$

\begin{aligned} α_{j [i], k [i]} & = α + ν_{j}^{(α)} + η_{k}^{(α)} \\ β_{j [i], k [i]} & = β + ν_{j}^{(β)} + η_{k}^{(β)} \\ δ_{j [i], k [i]} & = δ + ν_{j}^{(δ)} + η_{k}^{(δ)} \end{aligned}

$\begin{aligned} \alpha_{j[i],k[i]} &= \alpha + \nu_{j}^{(\alpha)} + \eta_{k}^{(\alpha)} \\ \beta_{j[i],k[i]}&=\beta + \nu_{j}^{(\beta)} + \eta_{k}^{(\beta)}\\ \delta_{j[i],k[i]}&=\delta + \nu_{j}^{(\delta)} + \eta_{k}^{(\delta)}\\ \end{aligned}$

— baruuum
kaynak