Aritmetik ortalama geometrik ortama çok yakın olduğu zaman veriler hakkında ne söylenebilir?

Geometrik ortalama ve aritmetik ortalama hakkında birbirlerine çok yakın düşen önemli bir şey var mı, yani ~% 0.1? Böyle bir veri seti hakkında ne gibi varsayımlar yapılabilir?

Bir veri setini analiz etmeye çalışıyorum ve ironik bir şekilde değerlerin çok, çok yakın olduğunu fark ettim. Tam değil, ama yakın. Ayrıca, aritmetik ortalama-geometrik ortalama eşitsizliği ile ilgili hızlı bir kontrol ve veri kazanımının gözden geçirilmesi, değerlerimin nasıl gerçekleştiğiyle ilgili olarak veri setimin bütünlüğü hakkında balıksal bir şey olmadığını ortaya koymaktadır.

descriptive-statistics mean geometric-mean

— user12289
kaynak

Küçük not: Öncelikle verilerinizin olumlu olduğunu kontrol edin; hatta eşit sayıda negatif değer sizi pozitif bir ürüne bırakabilir ve bazı paketler potansiyel sorunu işaretlemeyebilir (AM-GM eşitsizliği tüm değerlerin pozitif olmasına dayanır). Örneğin bakınız (R cinsinden):x=c(-5,-5,1,2,3,10); prod(x)^(1/length(x))

$\:\quad$ [1] 3.383363 (aritmetik ortalama 1 iken)

— Glen_b -Reinstate Monica

@ Glen_b'in noktasını ele almak için,

veri kümesinin

{- x, 0, x}

$\{-x,0,x\}$ her zaman eşit aritmetik ve geometrik ortalamaları vardır, yani sıfır. Ancak bu üç değeri dilediğimiz kadar uzağa yayabiliriz.

— hardmath

Hem aritmetik hem de geometrik araçlar aynı genelleştirilmiş formüle sahiptir ;

p = 1

$p=1$ birinciyi verirken,

p \to 0

$p \rightarrow 0$ ise ikincisini verir. Daha sonra,

veri değerleri

x

$x$ gittikçe eşitleştiklerinde, sabit olarak yaklaşırken , ikisinin birbirine daha da yakınlaştığı sezgisel olarak anlaşılır hale gelir .

— ttnphns

Yanıtlar:

Aritmetik ortalama, şunları ifade eden Aritmetik-Ortalama-Geometrik-Ortalama (AMGM) eşitsizliği yoluyla geometrik ortalamayla ilgilidir:

\frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}}{n} \geq \sqrt[n]{x_{1} x_{2} \dots x_{n}},

$\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n} n \geq \sqrt[n]{x_1 x_2\cdots x_n},$

eşitlik sağlandığı yerlerde iff . Bu yüzden muhtemelen veri noktalarınız birbirine çok yakındır. $x_1=x_2=\cdots=x_n$

— Alex R.
kaynak

Bu doğru. Tipik olarak, değerlerin varyansı ne kadar küçükse, iki araç o kadar yakındır.

— Michael M

Varyansın, gözlemlerin boyutlarına göre BY COMPARISON tarafından küçük olması gerekir. Bu nedenle küçük olması gereken

değişkenlik katsayısıdır .

σ / μ

$\sigma/\mu$

$\qquad$

— Michael Hardy,

AMGM herhangi bir şeyi temsil ediyor mu? Eğer öyleyse, hecelenmesi iyi olurdu.

— Richard Hardy,

@RichardHardy: AMGM 'aritmetik ortalama - geometrik ortalama' anlamına gelir

@ user1108, teşekkürler, aslında, diğer yazıları okuduktan sonra anladım. Sadece cevabın hecelendiğini düşünüyorum (sadece yorumlarda değil).

— Richard Hardy,

@Alex R'nin cevabını detaylandırarak, AMGM eşitsizliğini görmenin bir yolu da Jensen'in eşitsizlik etkisidir. By Jensen'in eşitsizliği : Ardından her iki tarafın da üstel atın:

\log (\frac{1}{n} \sum_{i} x_{i}) \geq \frac{1}{n} \sum_{i} \log x_{i}

$\log\left( \frac{1}{n} \sum_i x_i \right) \geq \frac{1}{n} \sum_i \log x_i$

\frac{1}{n} \sum_{i} x_{i} \geq \exp (\frac{1}{n} \sum_{i} \log x_{i})

$\frac{1}{n} \sum_i x_i \geq \exp\left( \frac{1}{n} \sum_i \log x_i \right)$

Sağ taraf şu yana verilen geometrik ortalamadır $\left(x_1 \cdot x_2 \cdot \ldots \cdot x_n \right)^{1/n} = \exp\left(\frac{1}{n} \sum_i \log x_i \right)$

AMGM eşitsizliği ne zaman eşitlikle ilgilidir? Jensen eşitsizliği etkisi küçük olduğunda. Jensen'ın buradaki eşitsizlik etkisini yönlendiren şey tutarlılık, logaritmanın eğriliğidir. Verileriniz logaritmanın eğrili olduğu bir alana yayılmışsa, etki büyük olacaktır. Verileriniz logaritmanın temelde afin olduğu bir bölgeye yayılmışsa, etki küçük olacaktır.

Örneğin, verilerin çok az çeşitliliği varsa, yeterince küçük bir mahallede bir araya toplanırsa, o zaman logaritma o bölgedeki bir afin işlevi gibi gözükecektir (bir hesaplama teması, düzgün, sürekli bir işlevi yeterince yakınlaştırırsanız, bir çizgi gibi görünecek). Birbirine yeterince yakın olan veriler için, verinin aritmetik ortalaması geometrik ortalamaya yakın olacaktır.

— Matthew Gunn
kaynak

Diyelim aralığını araştırmak aritmetik ortalaması (PM), küçük bir çok göz önüne alındığında bu ile (geometrik ortalama (GM) ve ). Soruda, ama biz bilmiyoruz . $x_1\le x_2 \le \cdots \le x_n$ $1+\delta$ $\delta \ge 0$ $\delta\approx 0.001$ $n$

Bu araçların oranı ölçüm birimleri değiştirildiğinde değişmediğinden GM'nin olduğu bir birim seçin . Böylece, en üst düzeye çıkarmak için aramaya kısıtlama tabi ve . $1$ $x_n$ $x_1+x_2+\cdots+x_n = n(1+\delta)$ $x_1\cdot x_2\cdots x_n = 1$

Bu, , say ve yaparak yapılacaktır . Böylece $x_1=x_2=\cdots=x_{n-1}=x$ $x_n=z \ge x$

n (1 + δ) = x_{1} + \dots + x_{n} = (n - 1) x + z

$n(1+\delta) = x_1 + \cdots + x_n = (n-1)x + z$

1 = x_{1} \cdot x_{2} \dots x_{n} = x^{n - 1} z .

$1 = x_1\cdot x_2 \cdots x_n = x^{n-1}z.$

Çözelti arasında bir kök olduğu ve arasında $x$ $0$ $1$

(1 - n) x^{n} + n (1 + δ) x^{n - 1} - 1.

$(1-n)x^n + n(1+\delta)x^{n-1} - 1.$

Kolayca yinelemeli bulunur. Sağdan sola için bir fonksiyonu olarak optimal ve grafikleri : $x$ $z$ $\delta$ $n=6, 20, 50, 150$

En kısa sürede herhangi bir kayda değer bir boyuta ulaştığında, hatta çok küçük bir oranı, büyük bir uzak ile tutarlıdır (üst kırmızı eğrileri) ve kümelenmiş sıkı bir grup (alt mavi eğri). $n$ $1.001$ $x_n$ $x_i$

Diğer uçta eşit olduğunu varsayalım (basitlik için). Yarım zaman minimum aralık elde edilir , bir değer ile aynı ve diğer yarısı başka bir değer eşit . Şimdi çözüm (kolayca kontrol edilir) $n=2k$ $x_i$ $x \le 1$ $z \ge 1$

x^{k} = 1 + δ \pm \sqrt{δ^{2} + 2 δ} .

$x^k = 1+\delta \pm \sqrt{\delta^2 + 2\delta}.$

Minik için , biz göz ardı edebilir yaklaşık bir değer olarak hem de tahmin vererek birinci sırasına kök $\delta$ $\delta^2$ $k^\text{th}$

x \approx 1 + \frac{δ - \sqrt{2 δ}}{k}; z \approx 1 + \frac{δ + \sqrt{2 δ}}{k} .

$x \approx 1 + \frac{\delta-\sqrt{2\delta}}{k};\ z \approx 1 + \frac{\delta+\sqrt{2\delta}}{k}.$

Menzil yaklaşık . $\sqrt{32\delta}/n$

$n$ $\delta$

$x_i$

— whuber
kaynak

n = 150, δ = 0.002, x \approx 0.9954, z \approx 1.983, k = 75

$n=150, \delta=0.002, x\approx 0.9954, z \approx 1.983, k=75$

x \approx 0.99918, z \approx 1.00087

$x \approx 0.99918, z\approx 1.00087$

n = 150

$n=150$

x^{149} z = 1

$x^{149} z=1$

149 x + z = 150 (1.002) = 150.3

$149x + z=150(1.002)=150.3$

x = 0.995416

$x=0.995416$

z = 1.98308

$z=1.98308$

z \approx 1 + \frac{δ + \sqrt{2 δ}}{k} = 1 + \frac{0.002 + \sqrt{2 \times 0.002}}{75} \approx 1.00087

$z \approx 1 + \dfrac{\delta+\sqrt{2\delta}}{k} = 1+\dfrac{0.002+\sqrt{2\times 0.002} }{75} \approx 1.00087$

x

$x$

x

$x$

z

$z$

75 x + 75 z \approx 150.3

$75x+75z\approx 150.3$

x^{75} z^{75} \approx 1

$x^{75}z^{75}\approx 1$