Toplam ve iki kovaryans matrisinin bir ürünü de kovaryans matrisidir?

12

Varsayalım ki ve kovaryans matrisleri var . Bu seçeneklerden hangisi aynı zamanda kovaryans matrisleridir? $X$ $Y$

$X+Y$
$X^2$
$XY$

Bir şeyin bir kovaryans matrisi olması için tam olarak neyin gerekli olduğunu anlamakta biraz zorluk çekiyorum. Örneğin, ve doğru olması için o olması gerektiği anlamına geliyor. ; burada ve , diğer bazı rastgele değişkenlerdir. Ancak, bunun üç seçenekten herhangi biri için neden geçerli olduğunu göremiyorum. Herhangi bir içgörü çürütülebilirdi. $X=\operatorname{cov}(X_1,X_2)$ $Y=\operatorname{cov}(Y_1,Y_2)$ $\operatorname{cov}(X_1,X_2) + \operatorname{cov}(Y_1,Y_2) = \operatorname{cov}(Z_1, Z_2)$ $Z_1$ $Z_2$

covariance covariance-matrix

— rbm
kaynak

12

Arka fon

Rastgele değişkenlerin bir vektörü için bir kovaryans matrisi , bu rastgele değişkenlerin herhangi bir doğrusal kombinasyonunun varyansını hesaplamak için bir prosedür içerir. Kural, herhangi bir katsayı vektörü için , $\mathbb{A}$ $X=(X_1, X_2, \ldots, X_n)^\prime$ $\lambda = (\lambda_1, \ldots, \lambda_n)$

\begin{matrix} (1) & Var (λ X) = λ A λ^{'} . \end{matrix}

$\operatorname{Var}(\lambda X) = \lambda \mathbb{A} \lambda ^\prime.\tag{1}$

Başka bir deyişle, matris çarpma kuralları varyans kurallarını tanımlar.

iki özelliği anında ve açıktır: $\mathbb{A}$

Varyanslar kare değerlerin beklentileri olduğundan, asla negatif olamazlar. Böylece, tüm vektörler için ,Kovaryans matrisleri, negatif olmayan tanımlı olmalıdır. $\lambda$
$0 \leq Var (λ X) = λ A λ^{'} .$ $0 \le \operatorname{Var}(\lambda X) = \lambda \mathbb{A} \lambda ^\prime.$
Varyanslar sadece sayılardır - veya matris formüllerini tam anlamıyla okursanız, matrisidir. Böylece, onları aktardığınızda değişmezler. Transpozing , Bu tüm , kendi devrik eşit olmalıdır : kovaryans matrisleri simetrik olmalıdır. $1\times 1$ $(1)$
$λ A λ^{'} = Var (λ X) = Var (λ X)^{'} = {(λ A λ^{'})}^{'} = λ A^{'} λ^{'} .$ $\lambda \mathbb{A} \lambda ^\prime = \operatorname{Var}(\lambda X) = \operatorname{Var}(\lambda X) ^\prime = \left(\lambda \mathbb{A} \lambda ^\prime\right)^\prime = \lambda \mathbb{A}^\prime \lambda ^\prime.$ $\lambda$ $\mathbb{A}$ $\mathbb{A}^\prime$

Daha derin sonuç , negatif olmayan herhangi bir simetrik matris bir kovaryans matrisidir. $\mathbb{A}$ Bu demektir ki orada aslında bazı vektör değerli rastgele değişken ile onun kovaryans olarak. Bunu açıkça gösterebiliriz . Bunun bir yolu, özelliğine sahip (çok değişkenli) yoğunluk işlevinin , kovaryansı için sahiptir . ( ters çevrilemediğinde miktar incelik gerekir - ancak bu sadece teknik bir ayrıntıdır.) $X$ $\mathbb{A}$ $X$ $f(x_1,\ldots, x_n)$

\log (f) \propto - \frac{1}{2} (x_{1}, \dots, x_{n}) A^{- 1} (x_{1}, \dots, x_{n})^{'}

$\log(f) \propto -\frac{1}{2} (x_1,\ldots,x_n)\mathbb{A}^{-1}(x_1,\ldots,x_n)^\prime$

A

$\mathbb{A}$

A

$\mathbb{A}$

Çözümler

Let ve kovaryans matrisi olabilir. Açıkçası onlar kare; ve eğer toplamları herhangi bir anlam ifade ediyorsa, aynı boyutlara sahip olmaları gerekir. Sadece iki özelliği kontrol etmemiz gerekiyor. $\mathbb{X}$ $\mathbb{Y}$

Toplam.
- Simetri gösterileri toplam simetriktir. $(X + Y)^{'} = X^{'} + Y^{'} = (X + Y)$ $(\mathbb{X}+\mathbb{Y})^\prime = \mathbb{X}^\prime + \mathbb{Y}^\prime = (\mathbb{X} + \mathbb{Y})$
- Negatif olmayan kesinlik. Let herhangi bir vektör olabilir. Sonra , matris çarpımının temel özelliklerini kullanarak noktayı ispatlar. $\lambda$ $λ (X + Y) λ^{'} = λ X λ^{'} + λ Y λ^{'} \geq 0 + 0 = 0$ $\lambda(\mathbb{X}+\mathbb{Y})\lambda^\prime = \lambda \mathbb{X}\lambda^\prime + \lambda \mathbb{Y}\lambda^\prime \ge 0 + 0 = 0$
Bunu bir egzersiz olarak bırakıyorum.
Bu zor. Zorlu matris problemlerini düşünmek için kullandığım yöntemlerden biri matris ile bazı hesaplamalar yapmaktır . Bu boyutta, ve ile gibi bazı yaygın, tanıdık kovaryans matrisleri vardır . Endişe yani olabilir olmayan varyans işlem zaman negatif bir değer üretmek olabilir olduğunu: Belirli olabilir mi? Olursa, matriste bazı negatif katsayılarımız olsa iyi olur. Bu, için düşünmenizi önerir . İlginç bir şey elde etmek için başlangıçta matrislere yönelebiliriz $2\times 2$
$(\begin{matrix} a & b \\ b & a \end{matrix})$ $\pmatrix{a & b \\ b & a}$ $a^2 \ge b^2$ $a \ge 0$ $\mathbb{XY}$ $X = (\begin{matrix} a & - 1 \\ - 1 & a \end{matrix})$ $\mathbb{X} = \pmatrix{a & -1 \\ -1 & a}$ $a \ge 1$ $\mathbb{Y}$ farklı görünümlü yapılara sahip. Çapraz matrisler akla gelir, örneğin ile . ( ve gibi bazı katsayıları nasıl özgürce seçebileceğimize dikkat edin , çünkü herhangi bir kovaryans matrisindeki tüm girdileri temel özelliklerini değiştirmeden yeniden ölçeklendirebiliriz. Bu, ilginç örneklerin aranmasını kolaylaştırır.) $Y = (\begin{matrix} b & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})$ $\mathbb{Y} = \pmatrix{b & 0 \\ 0 & 1}$ $b\ge 0$ $-1$ $1$
i hesaplamanızı ve ve izin verilen değerleri için her zaman bir kovaryans matrisi olup olmadığını test etmenizi istiyorum . $\mathbb{XY}$ $a$ $b$

— whuber
kaynak

13

Gerçek bir matris, yalnızca simetrik pozitif yarı-tanımlıysa ve bir kovaryans matrisidir.

İpuçları:

1) ve simetrik ise, simetrik midir? Eğer herhangi biri için ve herhangi , ne hakkında sonuca varabiliriz ? $X$ $Y$ $X+Y$ $z^TX z \ge 0$ $z$ $z^TY z \ge 0$ $z$ $z^T(X+Y)z$

2) simetrik ise, simetrik midir? özdeğerleri negatif değilse, özdeğerleri hakkında ne sonuçlandırabilirsiniz ? $X$ $X^2$ $X$ $X^2$

3) ve simetrik ise, simetrik olduğu sonucuna varabilir misiniz , yoksa karşı bir örnek bulabilir misiniz? $X$ $Y$ $XY$

— Mark L. Stone
kaynak