Bilim adamları normal dağılım olasılık yoğunluğu fonksiyonunun şeklini nasıl buldular?

36

Bu muhtemelen amatör bir sorudur, ancak bilim insanlarının normal dağılım olasılık yoğunluğu işlevinin şeklini nasıl buldukları ile ilgileniyorum? Temel olarak beni rahatsız eden şey, birisi için normalde dağıtılmış verilerin olasılık fonksiyonunun bir çan eğrisi yerine bir ikizkenar üçgen biçimine sahip olması daha sezgisel olacağı ve böyle bir insana olasılık yoğunluğu fonksiyonunun nasıl çalıştığını kanıtlayacağınızdır. Tüm normal dağılıma ait verilerin zil şekli var mı? Deneme yoluyla mı? Ya da bazı matematiksel türev tarafından?

Sonuçta normal olarak dağıtılmış veri olarak ne düşünüyoruz? Normal dağılımın olasılık modelini takip eden veri mi, yoksa başka bir şey mi?

Temelde benim sorum, normal dağılım olasılık yoğunluğu fonksiyonunun neden bir zil şekli olduğu değil mi? Bilim adamları normal dağılımın hangi gerçek yaşam senaryolarına uygulanabileceğini, deney yaparak veya çeşitli verilerin doğasını inceleyerek nasıl buldular?

Bu yüzden, bu bağlantının normal dağılım eğrisinin işlevsel biçiminin türetilmesini açıklamakta ve böylece “Normal dağılım neden başka bir şey yapmıyor gibi görünmüyor?” Sorusunu cevaplamakta gerçekten yararlı olduğunu buldum . Gerçekten de akıllara durgunluk veren akıl yürütme, en azından benim için.

normal-distribution history

— Ahra
kaynak

2

Bu soruya göz atın - sadece normal dağılımın "çan şeklindeki" olduğunu iddia etmek doğru değildir.

— Silverfish,

11

Normal dağılım, onu çalışmanın özel bir hedefi haline getiren ve aynı zamanda diğer dağıtımların sınırlayıcı örneği olarak "doğal olarak" ortaya çıktığı anlamına gelen, hayati öneme sahip bazı istatistiksel özelliklere sahiptir. Özellikle Merkez Limit Teoremine bakınız . Bununla birlikte, sadece ortadaki zirveye çıkan ve iki tarafa da düşen tek dağıtım değildir. İnsanlar genellikle bu verilerin normal olduğunu varsayıyorlar çünkü histogram "çan şeklindeki" gibi görünüyor, ancak bağlantılı cevabım bu tür veri setleri için başka birçok aday dağılımın olduğunu gösteriyor.

— Silverfish

4

İstatistikçilerin pek çok veri setine bakarak normal dağılımı keşfetmediğini ve bu yoğunluk fonksiyonunun ampirik olarak çoğu için uygun olduğunu unutmayın. Sorunuzda merak ettiğiniz gibi, normal dağılımın bir cevap olarak ortaya çıktığı olasılık teorisindeki bazı problemlerin matematiksel olarak incelenmesi süreci vardı. Bu, örneğin bu cevapta burada açıklanmıştır .

— Silverfish

3

Ve temelde birileri neden normal dağılımın "normal" olduğunu açıklamamı isterse, binom dağılımından başlayarak kendi içinde uzun ve karmaşık olan normal dağılımın tarihini açıklamalıyım, ve sonra belki de merkezi limit teoremini ispatlamak ve normal dağılımın gerçek hayatta birçok durumu çalışmak için uygulanabilir olduğunu göstermek.

— ahra

5

Galton panoları adı verilen bu şık cihazlardan birini kullanarak normal bir dağılımın şeklini görselleştirebilirsiniz . Aslında bu bir binom dağılımı, ama, bilirsin, merkezi limit teoremi.

— Federico Poloni,

21

" Normal Dağılımın Evrimi ", SAUL STAHL tarafından yazınızdaki tüm soruları cevaplamak için en iyi bilgi kaynağıdır. Size kolaylık sağlamak için birkaç noktadan bahsedeceğim, çünkü makalenin içindeki ayrıntılı tartışmayı bulacaksınız.

Bu muhtemelen amatör bir sorudur

Hayır, istatistiği kullanan herkes için ilginç bir soru çünkü bu standart kursların hiçbir yerinde ayrıntılı olarak ele alınmamaktadır.

Temel olarak beni rahatsız eden şey, birisi için normalde dağıtılmış verilerin olasılık fonksiyonunun bir çan eğrisi yerine bir ikizkenar üçgen biçimine sahip olması daha sezgisel olacağı ve böyle bir insana olasılık yoğunluğu fonksiyonunun nasıl çalıştığını kanıtlayacağınızdır. Tüm normal dağılıma ait verilerin zil şekli var mı?

Bu resme gazeteden bakın. Deneysel verileri analiz etmek için Simpsonların Gaussian (Normal) keşfedilmeden önce karşılaştığı hata eğrilerini gösterir. Demek sezginiz çok açık.

Deneme yoluyla mı?

Evet, bu yüzden "hata eğrileri" olarak adlandırıldılar. Deney astronomik ölçümlerdi. Astronomlar, yüzyıllar boyunca ölçüm hatalarıyla mücadele etti.

Ya da bazı matematiksel türev tarafından?

Yine, evet! Uzun lafın kısası: Astronomik verilerdeki hataların analizi Gauss'u (Normal) dağılımına yönlendirdi. Bunlar kullandığı varsayımlar:

Bu arada, Laplace birkaç farklı yaklaşım kullandı ve aynı zamanda astronomik verilerle çalışırken dağılımı da geldi:

Normal dağılımın niçin ölçüm hataları olarak deneyde gösterildiğine bakıldığında, işte tipik bir "el dalgalı" açıklama fizikçisi (Gerhard Bohm, Günter Zech, Fizikçiler İçin İstatistik ve Veri Analizine Giriş , s.85’ten bir alıntı ):

Pek çok deneysel sinyal, normal dağılımın çok iyi bir yaklaşımını takip eder. Bu, pek çok katkıların toplamından ve merkezi limit teoreminin bir sonucundan oluşması gerçeğinden kaynaklanmaktadır.

— Aksakal
kaynak

2

Stahl referansı, asıl soruyu, ortaya çıktığı açıdan ele alır - bu gerçekten hoş bir bulgudur.

— Silverfish

44

Sorunuzda normal dağılım kavramının dağıtım belirlenmeden önce olduğunu ve insanlar ne olduğunu anlamaya çalıştığını farz ediyor gibisiniz. Bunun nasıl işe yarayacağı bana belli değil. [Düzenle: "bir dağıtım arayışı" olduğunu düşünebileceğimiz en az bir anlam var ama bu "çok ve çok sayıda olayı tanımlayan bir dağıtım arayışı" değil.]

Durum bu değil; dağılım, normal dağılım denilmeden önce biliniyordu.

Böyle bir kişiye normal dağılmış tüm verilerin olasılık yoğunluk fonksiyonunun zil biçiminde olduğunu nasıl kanıtlarsınız?

Normal dağılım işlevi genellikle "çan şekli" olarak adlandırılan şeye sahiptir - tüm normal dağılımlar aynı "şekle" sahiptir (yalnızca ölçek ve konum bakımından farklı oldukları anlamında).

Veriler dağılımda az ya da çok "çan şeklindeki" görünebilir, ancak bu normal değildir. Normal olmayan dağılımların çoğu, benzer şekilde "çan şeklindeki" görünmektedir.

Verilerin alındığı gerçek nüfus dağılımları, muhtemelen oldukça makul bir yaklaşım olsa da, aslında hiçbir zaman normal değildir.

Bu tipik olarak gerçek dünyadaki şeylere uyguladığımız hemen hemen tüm dağıtımlar için geçerlidir - onlar gerçek dünya değil, onlar modeldir . [Örnek olarak, belirli varsayımlar yaparsak (Poisson süreci için olanları), Poisson dağılımını türetebiliriz - yaygın olarak kullanılan bir dağıtım. Fakat bu varsayımlar tam olarak tatmin olmuş mu? Genel olarak söyleyebileceğimiz en iyisi (doğru durumlarda), neredeyse gerçek olmalarıdır .]

normal olarak dağıtılmış verileri gerçekte ne düşünüyoruz? Normal dağılımın olasılık modelini takip eden veri mi, yoksa başka bir şey mi?

Evet, hiç aslında normalde dağıtılacak, numune çekildi nüfus normal dağılımın tam fonksiyonel formunu olan bir dağılıma sahip olurdu. Sonuç olarak, sonlu bir popülasyon normal olamaz. Mutlaka bağlı olan değişkenler normal olamaz (örneğin, belirli görevler için geçen zamanlar, belirli şeylerin uzunlukları negatif olamaz, bu yüzden normal olarak dağıtılamazlar).

normalde dağıtılmış verilerin olasılık fonksiyonunun bir ikizkenar üçgen şeklinde olması belki de daha sezgisel olacaktır.

Bunun neden daha da sezgisel olduğunu anlamıyorum. Kesinlikle daha basit.

İlk olarak hata dağılımları için modeller geliştirilirken (özellikle erken dönemde astronomi için), matematikçiler hata dağılımlarıyla ilgili çeşitli şekilleri göz önünde bulundurduğunda (bir erken noktada üçgen dağılım dahil), ancak bu çalışmanın çoğunda matematik (daha doğrusu sezgi yerine). Laplace, örneğin, birkaç üstel ve normal dağılıma baktı (diğerleri arasında). Benzer şekilde, Gauss matematiği aynı anda türetmek için kullandı, ancak Laplace’ten farklı bir takım düşünceler ile ilişkili olarak.

Laplace ve Gauss’un “hataların dağıtımını” düşündükleri dar anlamda, orada en azından bir süre için “bir dağıtım arayışı” olarak görebiliriz. Her ikisi de, önemli olduğunu düşündükleri bir hata dağılımı için bazı özellikleri öne sürdüler (Laplace zaman içinde biraz farklı kriterlere sahipti), farklı dağılımlara yol açtı.

Temelde benim sorum, normal dağılım olasılık yoğunluğu fonksiyonunun neden bir zil şekli olduğu değil mi?

Normal yoğunluk fonksiyonu olarak adlandırılan şeyin işlevsel şekli ona bu şekli verir. Standart normal kabul edin (basitlik için; diğer tüm normaller sadece ölçek ve konum bakımından farklılık gösteren aynı şekle sahiptir):

f_{Z} (z) = k \cdot e^{- \frac{1}{2} z^{2}}; - \infty < z < \infty

$f_Z(z) = k \cdot e^{-\frac12 z^2};\;-\infty<z<\infty$

$k$

$x$

Bazı insanlar normal dağılışı bir şekilde "her zamanki" olarak kabul etmiş olsa da, gerçekte sadece bir yaklaşım olarak görmeye eğilim gösterdiğiniz durumlar için geçerlidir.

Dağılımın keşfi genellikle de Moivre'ye yatırılır (binomun bir yaklaşımı olarak). Etkili formu binom katsayılarını (/ binom olasılıkları) yaklaşık olarak sıkıcı hesaplamalara yaklaştırmaya çalışırken ortaya çıkardı, ancak - normal dağılımın şeklini etkili bir şekilde çıkardığı halde - yaklaşık olarak bir Olasılık dağılımı, bazı yazarlar yaptığını öne sürse de. Belli bir yorumlama gereklidir, bu yüzden bu yorumdaki farklılıkların kapsamı vardır.

Gauss ve Laplace, 1800'lerin başında bunun üzerinde çalıştı; Gauss 1809'da (ortalamanın MLE olduğu dağılımla bağlantılı olarak) ve 1810'da Laplace hakkında simetrik rastgele değişkenlerin toplamının dağılımına bir yaklaşım olarak yazdı. On yıl sonra, Laplace ayrık ve sürekli değişkenler için erken bir merkezi limit teoremi şekli verir.

Dağıtımı için erken isimleri şunlardır hata kanunu , hataların sıklığı kanunu ve aynı zamanda bazen ortaklaşa, Laplace ve Gauss hem almıştır.

"Normal" terimi, 1870’lerde üç farklı yazarın (Peirce, Lexis ve Galton), 1873’de birincisi ve 1877’de diğer ikisi tarafından bağımsız olarak dağıtılmasını tanımlamak için kullanıldı. Laplace ve de Moivre'nin yaklaşık değerinden iki kat daha fazla. Galton'un kullanımı muhtemelen en etkiliydi, ancak 1877'de (çoğunlukla “sapma kanunu” olarak adlandırıyordu) eserinde “normal” terimini kullandı.

Bununla birlikte, 1880'lerde Galton, dağılımla ilgili "normal" sıfatını birçok kez kullandı (örneğin, 1889'da "normal eğri" olarak) ve sırayla Birleşik Krallık'ta daha sonra istatistikçiler üzerinde çok fazla etkisi oldu (özellikle Karl Pearson). ). Neden "normal" terimini bu şekilde kullandığını söylemedi, ama muhtemelen "normal" veya "olağan" anlamında olduğu anlamına geliyordu.

"Normal dağılım" ifadesinin ilk açık kullanımı, Karl Pearson; 1894'te kesinlikle kullandı, ancak uzun zaman önce kullandığını iddia etti (bazı dikkatle bakacağım bir iddia).

Referanslar:

Miller, Jeff
"Bazı Matematik Kelimelerinin Bilinen İlk Kullanımları:"
Normal Dağılım (Giriş: John Aldrich)
http://jeff560.tripod.com/n.html

Stahl, Saul (2006),
"Normal Dağılımın Evrimi",
Matematik Dergisi , Cilt. 79, No. 2 (Nisan), ss 96-113
https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Allendoerfer/stahl96.pdf

Normal dağılım, (2016, 1 Ağustos).
Wikipedia'da, Serbest Ansiklopedi.
3 Ağustos 2016, 12:02, https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Normal_distribution&oldid=732559095#History adresinden alındı

Hald, A (2007),
"De
Moivre'nin Binom'a Normal Yaklaşımı, 1733 ve Genellemesi", İçinde: Bernoulli'den Fisher'a Parametrik İstatistiksel Çıkarımın Tarihçesi, 1713-1935; 17-24

[Bu kaynaklar arasında, Moivre’in hesaplarıyla ilgili olarak önemli tutarsızlıklar olduğunu unutmayın]

— Glen_b
kaynak

Derinlemesine cevap için teşekkür ederiz! Normal dağılımın şeklinin nasıl elde edildiğine daha fazla baktım ve bu belgeyi buldum kursları.ncssm.edu/math/Talks/PDFS/normal.pdf ve nasıl olduğunu varsayabiliriz. hatalar, koordinat sisteminin yönlendirilmesine (daha sonra önemli bir sonuca varılmasını sağlayan bir varsayım) yönelimine bağlı değildir, bana böyle bir varsayımın sadece dart örneğinde geçerli olacağını, ancak kazara deneysel hatalar örneğinde olmayacağını düşünüyorum. .

— ahra

Aslında tüm dart yaklaşımı beni şaşırtıyor çünkü ben kazara deneysel hatalar bağlamında normal dağılım çalışıyorum. Dart yaklaşımının, kullanılan bağlamda tamam olan, ancak benim için net olmayan, bağımlı ve bağımsız bir değişkene sahip olduğunuz deneysel hatalar bağlamında neye çevireceği konusunda net olmayan, iki boyutta bağımsız hatalar yapabileceğinizi varsaydığımı tahmin ediyorum. bu, yalnızca bir boyutta hata yapabileceğiniz anlamına gelir.

— ahra

1

Referansların mükemmel kullanımı. +1

— Aaron Hall

2

OP'nin (en azından kısmen) bu özel dağılımın neden bu kadar yaygın olduğunu sorduğu için "merkezi limit teoremi" nin bir yerde belirtilmesi gerektiğini düşünüyorum.

— joc

1

@joc Prevalansı hakkında soru sorduğunu, hatta hakkında bir soru sorduğunu görmüyorum. Bununla birlikte, de Moivre'nin binomla ilgili çalışmalarını ve daha doğrudan soru ile ilgili olan simetrik rasgele değişkenlerin toplamı için normal yaklaşımlarla ilgili Laplace'nin çalışmalarını anlatıyorum. Bununla birlikte, Laplace'in sorunla ilgili çalışmasına ilişkin bir cümle ekleyeceğim (buna bir asırdan daha fazla denemez).

— Glen_b

11

"Normal" dağılım, bu belirli dağılım olarak tanımlanır .

Sorun, bu belirli dağılımın doğada yaygın olmasını beklememiz ve gerçek veriler bu dağılımı tam olarak takip etmese bile neden bu kadar sık bir yaklaşım olarak kullanılıyor? (Gerçek verilerin genellikle "yağ kuyruğu" olduğu tespit edilir, yani ortalamadan uzaktaki değerler normal dağılımın öngördüğünden çok daha yaygındır).

Başka bir deyişle, normal dağılım için özel olan nedir?

Normalin çok sayıda "güzel" istatistiksel özelliği vardır (bkz. Örneğin, https://en.wikipedia.org/wiki/Central_limit_theorem ), ancak en alakalı IMO, herhangi bir dağıtım için "maksimum entropi" işlevidir. verilen bir ortalama ve varyans. https://en.wikipedia.org/wiki/Maximum_entropy_probability_distribution

Bunu sıradan bir dilde ifade etmek için, yalnızca bir dağıtımın ortalama (merkezi nokta) ve varyansını (genişliğini) verirseniz ve bununla ilgili başka hiçbir şey kabul etmezseniz, normal bir dağılım çizmeniz gerekir. Başka bir şey, tespit etmek için ek bilgi gerektirir ( Shannon bilgi teorisi anlamında ), örneğin çarpıklık.

Maksimum entropi ilkesi, ET Jaynes tarafından Bayesian çıkarımında makul öncelikleri belirleme yöntemi olarak getirildi ve bence bu özelliğe ilk dikkat çeken o oldu.

Daha fazla tartışma için buna bakın: http://www.inf.fu-berlin.de/inst/ag-ki/rojas_home/documents/tutorials/Gaussian-distribution.pdf

— gareth
kaynak

6

"Başka bir deyişle, bir dağılımın yalnızca ortalaması (merkezi nokta) ve varyansı (genişlik) size verilirse ve bununla ilgili başka hiçbir şey kabul etmezseniz, normal bir dağılım çizmeye zorlanacaksınız." Sanırım bu "zorla" tanımının ne olduğuna bağlı. Zorunlu olabilirsin. Olmazdım Tanımladığınız şey, bir işlevi formunu bilmediğinizde doğrusal olduğunu varsaymak ya da tam bağımlılığını bilmemeniz durumunda rastgele değişkenlerin bağımsız olduğunu varsaymak için "zorlanmak" ın ahlaki eşdeğeridir. Yapmadım, yapmadım ve bu varsayımların hiçbirini yapmaya zorlanmayacağım.

— Mark L. Stone

5

@ Mark'ın amacının bir kısmının gerekçeliğin zorunluluk

— whuber

5

@Neil Ondan Uzak! Öncelikle, maksimum entropi prensibinin istatistiksel probleminiz için faydalı ve uygulanabilir olduğunu varsaymalısınız. Daha sonra, dağıtım hakkında varsayabileceğiniz başka hiçbir şey olmadığından kesinlikle emin olmalısınız. İkisi de sorunlu. (Karşılaştığım istatistiksel problemlerin çoğunda - teorik fizik dünyasının dışında - eski doğru değildi; ve ikincisinin olduğu yerde gerçek dünya problemi görmedim.)

— whuber

1

@Neil Mark ve whuber. Bu paragrafı açıklığa kavuşturmaya çalıştım. Maksimum entropi prensibinin ne yapmaya çalıştığının mantıklı ve sıradan bir dilde açıklanması olduğunu düşünüyorum. Sıradan bir dil olarak elbette farklı bir yorum yazabilirsiniz. Bu yüzden matematiğe ihtiyacımız var. Daha kesin olan ifade, Shannon anlamında hiçbir bilgi eklemediğimizdir. Bağlantılar bunu daha fazla açıklıyor.

— gareth

1

@ Gareth, tüm gerçekler üzerinde tek tip bir dağıtım (ki bu, en son yorumunuzu kastettiğinizi düşünüyorum), uygunsuz bir dağıtım olacaktır. Normal bir dağılıma doğru sürücünüz olarak maksimum entropi iddianız, büyük bir varsayımda bulunur; neden asgari menzil gibi başka bir şeyi varsaymaktan daha zorlu?

— Henry,

3

Normal Dağılım (aka " Gauss dağılımı ") sağlam bir matematiksel dayanağı yoktur. Merkezi Limit Teoremi diyor sen n bağımsız ve aynı belirli ortalama ve varyansa sahip rasgele değişkenler dağıtılır ve bu rasgele değişkenlerin ortalama almak, sonucun dağıtım n olarak bir Gauss Dağılımı yakınsayacaktır sonlu bir takımı varsa Sonsuza kadar gider. Burada herhangi bir tahminde bulunulmaz, çünkü matematiksel türetme bu özel dağılım işlevine neden olur ve başka bir şey yoktur.

Bunu daha somut ifadelere sokmak için, adil bir yazı tura atmak gibi tek bir rastgele değişkeni düşünün (2 eşit derecede olası sonuç). Belirli bir sonuca ulaşma şansı, kafalar için 1/2, kuyruklar için 1/2.

Madeni para sayısını arttırır ve her bir denemeyle elde edilen toplam kafa sayısını takip ederseniz, kabaca çan şeklinde olan bir Binom Dağılımı elde edersiniz . Sadece x ekseni boyunca kafa sayısı ve y ekseni boyunca o kadar fazla kafa çevirdiğiniz sayıyı çizin.

Ne kadar çok para kullanırsanız ve o kadar çok para döndürürseniz, grafik Gauss zilleri eğrisi gibi görünmeye başlar. Central Limit Teoreminin iddia ettiği şey budur.

Şaşırtıcı olan şey, teoremin rastgele değişkenlerin gerçekte nasıl dağıldığına bağlı olmamasıdır, ancak rastgele değişkenlerin her biri aynı dağılıma sahip olduğu sürece. Teoremdeki en önemli fikir , rastgele değişkenleri eklediğiniz veya ortaladığınızdır . Diğer bir anahtar kavram, teorinin, rastgele değişkenlerin sayısı arttıkça ve büyüdükçe matematiksel limiti tanımladığıdır . Ne kadar çok değişken kullanırsanız, dağılım o kadar yakın Normal Dağılıma yaklaşır.

Matematikçilerin Normal Dağılım'ın gerçekte zil eğrisi için matematiksel olarak doğru fonksiyon olduğunu nasıl belirlediklerini görmek istiyorsanız, Matematiksel İstatistik dersine girmenizi öneririm.

— user126665
kaynak

Katkınız için teşekkürler. Toplamın (veya ortalamanın) dağılımının standartlaştırılması gerektiğini açıklamak doğru olurdu . Aksi halde, toplamın dağılımı bir sınıra yaklaşmaz ve ortalamaların dağılımı sabit bir şekilde yaklaşır. Ancak bu yayın, ortaya atılan sorulara nasıl cevap veriyor? (Kuşkusuz, orada poz ediliyor çeşitli sorular ve hepsi karışık ve belirsiz, ancak Gauss PDF için formül keşfedilmiş ya türetilmiştir nasıl soran gibi görünüyor.)

— whuber

2

Bu konuda bazı mükemmel cevaplar var. OP'nin herkesin cevaplamak istediği gibi aynı soruyu sormadığını hissetmesine yardımcı olamam. Yine de bunu anladım, çünkü bu cevaplanması gereken en heyecan verici sorulardan biri olmaya yakın - aslında birisinin "Normal PDF'in PDF olduğunu nereden biliyoruz?" Sorusunu umduğumu umduğum için buldum. ve onu aradım. Ancak, sorunun cevabının normal dağılımın kökenini göstermek olabileceğini düşünüyorum.

$n$ $n$ $np$ $np(1-p)$ $n\to\infty$

$n\to\infty$ $p\to0$ $np=1$

$n=10$ $p=0.5$ $n=100$ $p=0.5$ $n$

Şu anda yere 100 jeton dökersem ve kaç kafa aldığımı sayarsam, 0 kafa sayabilirim veya 100 kafa sayabilirim, ancak arada bir yerde sayı sayma ihtimalim daha fazladır. Bu histogramın neden çan şeklinde olması gerektiğini anladınız mı?

— birdsoong
kaynak

+1 - Bununla birlikte, cevabımın bazı bölümlerinde de Moivre'yi tartıştığımı unutmayın. Cevabımdaki son notu, referanslardaki farklılıklar ile ilgili olarak bulabilirsiniz - çalışmasının farklı özelliklerinin ne kadar tutabildiğini görmek için de Moivre'nin yazdıklarına bakmaya değer. Binom cdf'nin neden uygun koşullar altında normal bir cdf ile iyi bir şekilde yaklaştığıyla ilgili özel tartışma Neden binom dağılımı zil şeklindedir? Bölümünde açıklanmaktadır.

— Glen_b 28:17

1

Maxwell-Herschel'in iki değişkenli bağımsız çok değişkenli normal dağılımdan elde edilmesinden de söz eder:

Dağılım, vektörün dönmesinden etkilenmez.
Vektörün bileşenleri bağımsızdır.

İşte Jaynes tarafından yapılan açıklama

— ROAH
kaynak