Ters üstel dağılımın ortalaması

Rastgele bir değişken verildiğinde, nin ortalaması ve varyansı nedir?$Y = Exp(\lambda)$$G=\dfrac{1}{Y}$

Ters Gama Dağılımına bakıyorum, ancak ortalama ve varyans sadece ve için tanımlandı ...$\alpha>1$$\alpha>2$

Ters üstel dağılımın olduğu göz önüne alındığında, ters üstel ortalamanın olduğu gerçeğine rastladınız . Ve bu nedenle, ters üstel varyans tanımlanmamıştır.$\alpha = 1$$\infty$

Eğer ters katlanarak dağıtılır,$G$$E(G^r)$ vardır ve sonlu bir ve = ∞ için r = 1 .$r < 1$$= \infty$$r = 1$

Üstel dağılımın ortalamasını hesaplayacağım, böylece yaklaşımı hatırlayacaktır. Sonra, aynı yaklaşımla ters Üstel'e gideceğim.

Verilen $f_Y(y) = \lambda e^{-\lambda y}$

$E[Y] = \int_0^\infty{yf_Y(y) dy}$

$= \int_0^\infty{y \lambda e^{-\lambda y} dy}$

$= \lambda \int_0^\infty{y e^{-\lambda y} dy}$

Kısmen entegrasyon ( o an için integralin önündeki yoksayın ),$\lambda$

$u = y, dv=e^{-\lambda y} dy$

$du = dy, v = \frac{-1}{\lambda}e^{-\lambda y}$

$= y \frac{-1}{\lambda}e^{-\lambda y} - \int_0^\infty{ \frac{-1}{\lambda}e^{-\lambda y} dy}$

$= y \frac{-1}{\lambda}e^{-\lambda y} + \frac{1}{\lambda} \int_0^\infty{ e^{-\lambda y} dy}$

$= y \frac{-1}{\lambda}e^{-\lambda y} - \frac{1}{\lambda^2} e^{-\lambda y}$

İntegralin önündeki çarpın ,$\lambda$

$= - y e^{-\lambda y} - \frac{1}{\lambda} e^{-\lambda y}$

ve için değerlendirme yapın ,$0$$\infty$

$= (0 - 0) - \frac{1}{\lambda} (0 - 1)$

$= \lambda^{-1}$

Bu bilinen bir sonuçtur.

İçin , aynı mantık uygulanır.$G = \frac{1}{Y}$

$E[G] = E[\frac{1}{Y}]= \int_0^\infty{\frac{1}{y} f_Y(y) dy}$

$= \int_0^\infty{\frac{1}{y} \lambda e^{-\lambda y} dy}$

$= \lambda \int_0^\infty{\frac{1}{y} e^{-\lambda y} dy}$

Temel fark, parçalara göre bir entegrasyon için,

$u = y^{-1}$

ve

$du = -1y^{-2}$

bu yüzden için bize yardımcı olmaz . Bence integral burada tanımlanmamış. Wolfram alfa bana birleşmediğini söylüyor.$G = \frac{1}{y}$

http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+from+0+to+infinity+(1%2Fx)+exp(-x)+dx

Yani ortalama, ters Üstel veya eşit olarak, olan ters Gama için mevcut değildir . Bunun nedeni varyans ve için benzerdir .$\alpha=1$$\alpha \gt 2$

Hızlı bir simülasyondan sonra (R'de), ortalamanın mevcut olmadığı anlaşılıyor:

n<-1000
rates <- c(1,0.5,2,10)

par(mfrow = c(2,2))
for(rate in rates)
{
  plot(cumsum(1/rexp(n, rate))/seq(1,n),type='l',main = paste0("Rate = ",rate),
       xlab = "Sample size", ylab = "Empirical Mean")
}

Karşılaştırma uğruna, gerçek bir üstel rastgele değişkenle olan şey şu.