Rasgele değişkenlerin oranlarının ya da terslerinin çoğu zaman beklentilere sahip olmamakta sorunlu olduğunu duydum. Neden?

24

Başlık soru. Rasgele değişkenlerin oranlarının ve tersinin çoğu zaman sorunlu olduğu söylendi. Kastedilen, beklentinin çoğu zaman mevcut olmamasıdır. Bunun basit, genel bir açıklaması var mı?

— kjetil b halvorsen
kaynak

24

Çok basit, sezgisel bir açıklama sunmak istiyorum. Bir resme bakmak yeterlidir: Bu yazının geri kalanı resmi açıklar ve sonuç çıkarır.

İşte aşağıya ne geliyor: yakınında yoğunlaşan bir "olasılık kütlesi" $X=0$ olduğunda, civarında çok fazla bir olasılık olacak $1/X\approx \pm \infty$ ve beklentisinin belirsiz kalmasına neden olacak.

Tamamen genel olmak yerine, mahallesinde sürekli yoğunluğu olan rasgele değişkenlerine odaklanalım . Farz edelim ki . Görsel olarak, bu koşullar, grafiğinin, civarında eksenin üzerinde uzandığı anlamına gelir : $X$ $f_X$ $0$ $f_X(0)\ne 0$ $f$ $0$

Sürekliliği yaklaşık herhangi bir pozitif yükseklik anlamına gelir daha az ve yeterince küçük , etrafında merkezlenir Bu grafikte altındaki bir dikdörtgen yapmak olabilir , bir genişliğe ve yükseklik gösterildiği gibi. Bu, orijinal dağılımın düzgün bir dağılımın (ağırlıkça ) bir karışımı olarak ifade edilmesine tekabül eder . $f_X$ $0$ $p$ $f_X(0)$ $\epsilon$ $x=0$ $2\epsilon$ $p$ $p\times 2\epsilon=2p\epsilon$

Başka bir deyişle, aşağıdaki şekilde ortaya çıktığını düşünebiliriz : $X$

Olasılık Uniform dağılımından bir değer çizin . $2p\epsilon$ $(-\epsilon,\epsilon)$
Aksi halde, yoğunluğu ile orantılı olan dağıtımdan bir değer çizin . (Bu, sağda sarı çizilen işlevdir.) $f_X - p I_{(-\epsilon,\epsilon)}$

( gösterge işlevidir.) $I$

Aşama , herhangi bir , ile arasında olma şansının aşmadığını gösterir . Eşdeğer olarak, bu aşması ihtimalidir . Başka bir deyişle: kurtulan işlevi için yazma $(1)$ $0 \lt u \lt \epsilon$ $X$ $0$ $u$ $p u / 2$ $1/X$ $1/u$ $S$ $1/X$

S (x) = Pr (1 / X > x),

$S(x) = \Pr(1/X \gt x),$

Resimde tüm için gösterilmektedir . $S(x) \gt p / (2x)$ $x \gt 1/\epsilon$

Şimdi bitti, çünkü hakkındaki bu gerçek , beklentinin tanımsız olduğunu gösteriyor. $S$ , olumlu bölümünün beklentisini hesaplamada kullanılan integralleri karşılaştırın : $1/X$ $(1/X)_{+} = \max(0, 1/X)$

E [(1 / X)_{+}] = \int_{0}^{\infty} S (x) d x > \int_{1 / ϵ}^{x} S (x) d x > \int_{1 / ϵ}^{x} \frac{p}{2 x} d x = \frac{p}{2} \log (x ϵ) .

$E[(1/X)_{+}] = \int_0^\infty S(x)dx \gt \int_{1/\epsilon}^x S(x)dx \gt \int_{1/\epsilon}^x \frac{p}{2x}dx = \frac{p}{2} \log(x\epsilon).$

(Bu tamamen geometrik bir argümandır: her integral tanımlanabilir iki boyutlu bir bölgeyi temsil eder ve tüm eşitsizlikler bu bölgelerdeki katı kapanımlardan kaynaklanır. Gerçekten de, nihai integralin bir logaritma olduğunu bilmemize gerek bile yok: basit geometrik var Bu ayrılmaz sapmaları gösteren argümanlar.)

Sağ taraf , ayrışır. negatif kısmı olan durum aynıdır (çünkü dikdörtgen ) ve aynı argüman negatif kısımlarının beklentisini gösterir . Sonuç olarak kendisinin beklentisi belirsizdir. $x\to\infty$ $E[(1/X)_{+}]$ $1/X$ $0$ $1/X$ $1/X$

Fazladan olarak, bu aynı argüman gösterir sahip olma ihtimali konsantre edildi , bir tarafta bir (daha az şekil parametresi ile, örneğin bir Üstel ya da Gamma dağılımı, ), daha sonra hala pozitif beklenti ıraksar fakat negatif beklenti sıfırdır. Bu durumda beklenti olduğu belirlenen ancak sonsuzdur. $X$ $0$ $1$

— whuber
kaynak

3

varsayımının sonuç için çok önemli olduğundan şüpheleniyor ? Yani, bazı parametreler için en azından bir olduğu durumlar var ve Gamma / Inverse-Gamma

f_{X} (0) \neq 0

$f_X(0)\neq 0$

1 / X

$1/X$

f_{X} (0) = 0

$f_X(0) = 0$

— Alecos Papadopoulos

3

@Alecos Hayır, bu varsayım çok önemli değil. Bu ve devamlılığı de argüman basit hale, ama hiçbiri esastır. Bir göz önünde yoğunluğu ile orantılı için ve . Bu süreklidir ancak beklentisi yoktur.

f

$f$

0

$0$

X

$X$

f_{X}

$f_X$

- 1 / \log (x)

$-1/\log(x)$

0 < x < 1 / e

$0 \lt x \lt 1/e$

f_{X} (0) = 0

$f_X(0)=0$

0

$0$

1 / X

$1/X$

— whuber

14

Oranlar ve ters çevirmeler çoğunlukla olumsuz olmayan rastgele değişkenlerle anlamlıdır, bu yüzden değerini neredeyse kesin olarak kabul edeceğim . Öyleyse, pozitif olasılıkla sıfır değerini alan ayrık bir değişken ise, beklentisinin neden olmayacağını açıklayan, pozitif olasılık ile sıfıra böleceğiz. $X \ge 0$ $X$ $1/X$

Şimdi sürekli dağılım durumuna bakın, ile yoğunluk işlevine sahip rastgele bir değişken . ve sürekli olduğunu (en azından sıfırda) varsayacağız . Sonra bir öyle ki için . Beklenen değeri ile verilir Şimdi bir entegrasyon değişkenini , , edinme $X \ge 0$ $f(x)$ $f(0)>0$ $f$ $\epsilon > 0$ $f(x) > \epsilon$ $0 \le x < \epsilon$ $1/X$

E \frac{1}{X} = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{x} f (x) d x

$\DeclareMathOperator{\E}{\mathbb{E}} \E \frac1{X} = \int_0^\infty \frac1{x} f(x)\; dx$

u = 1 / x

$u=1/x$

d u = - \frac{1}{x^{2}} d x

$du = -\frac1{x^2} \; dx$

E \frac{1}{X} = - \int_{\infty}^{0} u f (\frac{1}{u}) (\frac{1}{u})^{2} d u = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{u} f (\frac{1}{u}) d u

$\E \frac1{X} = -\int_{\infty}^0 u f(\frac1{u}) (\frac1{u})^2 \; du = \\ \int_0^\infty \frac1{u} f(\frac1{u}) \; du$ Şimdi, varsayım ile üzerinde böylece üzerinde kullanarak bu sahip olduğumuz , beklentinin mevcut olmadığını gösteriyor. Bu varsayımı gerçekleştiren bir örnek, oran 1 ile üstel dağılımdır.

f (u) > ϵ

$f(u) > \epsilon$

[0, ϵ)

$[0,\epsilon)$

f (\frac{1}{u}) > 1 / ϵ

$f(\frac1{u}) > 1/\epsilon$

(1 / ϵ, \infty)

$(1/\epsilon, \infty)$

E \frac{1}{X} > ϵ \int_{1 / ϵ}^{\infty} \frac{1}{u} d u = \infty

$\E \frac1{X} > \epsilon \int_{1/\epsilon}^\infty \frac1{u}\; du =\infty$

Tersine cevap verdik, peki ya oranlar? Let iki negatif olmayan rastgele değişkenlerin oran. Eğer bağımsızlarsa, bu yüzden bu ilk vakaya büyük ölçüde indirgenir ve söylenecek çok yeni bir şey yoktur. . Peki ya bağımlılarsa, olarak eklem yoğunluğu faktörü ile birlikte Sonra elde ederiz (yukarıdaki ile aynı ikame kullanılarak) ve iç integralde yukarıdaki gibi sebep olabiliriz. Sonuç, şarta bağlı yoğunluk (eğer verildiğinde) olacaktır. $Z=Y/X$

E Z = E \frac{Y}{X} = E Y \cdot E \frac{1}{x}

$\E Z = \E\frac{Y}{X}=\E Y \cdot \E\frac1{x}$

f (x, y) = f (x ∣ y) g (y)

$f(x,y) = f(x \mid y) g(y)$

E \frac{Y}{X} = \int_{0}^{\infty} y \int_{0}^{\infty} \frac{1}{x} f (x ∣ y) d x g (y) d y = \int_{0}^{\infty} y \int_{0}^{\infty} \frac{1}{u} f (\frac{1}{u} ∣ y) d u g (y) d y

$\E \frac{Y}{X} = \int_0^\infty y \int_0^\infty \frac1{x} f(x\mid y) \; dx \;g(y)\; dy = \\ \int_0^\infty y \int_0^\infty \frac1{u} f(\frac1{u}\mid y) \; du \; g(y) \; dy$

y

$y$ ) sıfırda pozitif ve sürekli, pozitif marjinal olasılıklı bir kümesi için , beklenti sonsuz olacaktır. Marjinal beklentisinin sonsuz olduğu örnekler bulmak kolay olmayacak , ancak mükemmel bir korelasyon olmadığı sürece oranının beklentisi sonludur. Bu tür bazı örnekleri görmek güzel olurdu!

y

$y$

1 / X

$1/X$

Y / X

$Y/X$

— kjetil b halvorsen
kaynak