Beklenen değer ve en olası değer (mod)

16

dağılımının beklenen değeri ortalama, yani ağırlıklı ortalama değer $f(x)$

E [x] = \int_{- \infty}^{+ \infty} x f (x) d x

$E[x]=\int_{-\infty}^{+\infty} x \, \, f(x) dx$

En olası değer, en olası değer olan moddur.

Ancak bir şekilde birçok kez görmeyi umuyoruz ? Buradan alıntı : $E[x]$

sonuçları eşit derecede olası değilse, o zaman basit ortalama, bazı sonuçların diğerlerinden daha muhtemel olduğu gerçeğini dikkate alan ağırlıklı ortalama ile değiştirilmelidir. Ancak sezgi aynı kalır: beklenen değeri , ortalama olarak gerçekleşmesini beklediği değerdir . $x_i$ $x$

"Ortalama olarak" ne anlama geldiğini anlayamıyorum, bu, istance için, çok fazla zaman alırsak, diğer değerlerinden daha fazla görmeyi beklediğim anlamına mı geliyor? Ama bu modun tanımı değil mi? $E[x]$ $x$

Peki ifadeyi nasıl yorumlayabilirim? Ve nin olasılıksal anlamı nedir? $E[x]$

Ayrıca kafam karıştığım bir örnek göstermek istiyorum. İncelenmesi dağılımı o öğrenilen modu olan iken, , burada veri serbestlik dereceleridir. $\chi^2$ $\chi^2_{mode}=\nu-2$ $E[\chi^2]=\nu$ $\nu$

Üniversitede duydum ki, bir veri setine uyacak En Küçük Kareler Yöntemi kullandıktan sonra $\chi^2$ testi yaparken almayı beklemeliyim $\chi^2 \approx \nu$ çünkü "genel olarak böyle oluyor".

Tüm bunları yanlış mı anladım yoksa beklenen değer bir şekilde çok muhtemel mi? ( En olası değer elbette mod olsa bile )

— Søren
kaynak

4

Bu soru için bir kutudaki biletler metaforunun gücünü gerçekten çok seviyorum , çünkü basit, net bir cevap üretiyor: rastgele bir değişkenin beklentisi (biletlere çizildiği gibi) değerlerinin toplamına biletlerin sayısı. Bu kadar. Bu tanımdan (veya daha karmaşık matematiksel eşdeğerlerinden) takip etmeyen herhangi bir ifade sezgiseldir ve bazı durumlarda çok yanlış olabilir.

— whuber

18

Normal dağılım için beklenen değer, yani ortalama, moda eşittir.

Genel olarak, beklenen değer sadece en olası (veya en yüksek yoğunlukta) değil, aynı zamanda meydana gelme şansı da olmayabilir. Örneğin, 0 veya 2'ye eşit olan ve her biri 0,5 olan rastgele değişkeni X düşünün. Daha sonra EX = 1, ancak beklenen değer olan 1, 0 oluşma olasılığına sahipken, 0 ve 2'nin her ikisi de dağıtım modlarıdır.

"X'in beklenen değeri, ortalama olarak gerçekleşmesini beklediği değerdir" ifadesi, karışıklığınızdan anlaşıldığı üzere, yalnızca konuları karıştırmaya yarayan teknik olmayan layman'ın dilidir. Beklenen değerin, olasılık olarak matematiksel ortalama olarak çok belirgin bir anlamı vardır. Oysa layman dilinde, beklenen bir değer veya "ortalama" tipik olarak meydana gelmesi beklenen bir şey olabilir. Eğer "ortalama" ifadesi meydana gelen şeyin matematiksel ortalaması olarak yorumlanırsa, bunlar uzlaştırılabilir.

Beklentiniz sizindir,

Joe Ortalama

— Mark L. Stone
kaynak

1

Soruya yalvarır: Mümkün olduğu garanti edilen medyan ne olacak ?

— parlak yıldız

@TrevorAlexander'ın dediği gibi, mod da garanti vermez. Sürekli dağıtım modunu düşünün.

— Tim

3

@Trevor Alexander Her zaman mümkün olan bir medyan vardır (pozitif olasılık veya yoğunluk). Ancak, tüm medyanlar mutlaka mümkün değildir. Rasgele değişken X'in medyanı, ve olan herhangi bir m noktasıdır . X, her biri 1/4 olasılığı olan 1,2,3 veya 4'e eşitse, [2,3] aralığındaki herhangi bir sayı, X'in

P (X \leq m) \geq 1 / 2

$P(X \le m) \ge 1/2$

P (X \geq m) \geq 1 / 2

$P(X \ge m) \ge 1/2$

— Mark L. Stone

5

Beklenen değer a priori çok soyuttur ve bunun en olası sonuç olduğunu düşünmek için bir neden yoktur; diğerlerinin işaret ettiği gibi, (ve sürekli ise yoğunluk ile aynı olan rasgele değişkenler oluşturmak kolaydır.

P (X = E (X)) = 0

$P( X = E(X) ) = 0$

X

$X$

Beklenen değerin tek gerekçesi ve "sık sık görmeyi beklememizin" nedeni büyük sayılar kanunu :

Eğer varsa bağımsız aynen dağılma değişkenler ardından $n$ $X_i$

\frac{X_{1} + \dots + X_{n}}{n} \to E (X)

$\frac {X_1 + \dots + X_n}{n} \to E(X)$

(uygun bir anlam olan şu anda araştırmak için anlamsız) $\to$

Bu ne demek? Eğer bir olasılık ile madeni para atmak düşünün biz numarası ile ilişkilendirir iniş kafasının ve olasılık (olup, iniş kuyruk ). En olası sonuç nedir? 1! (yani, kafa) Beklenen değer nedir? $p> \frac 12$ $1$ $1-p$ $0$

E (X) = 1 \cdot p + 0 \cdot (1 - p) = p

$E(X) = 1\cdot p + 0\cdot(1-p) = p$

Şimdi açıkça "p" asla olmayacak (baş ya da kuyruk, ya 0 ya da 1).

Ancak jetonu 10.000 kez başlatın ve toplam atış sayısının üzerine çıktığı zamanı kaydedin. Bu sayı sezgisel olarak ortalama (“ortalama kafa sayısı”) ne düşündüğümüzü yakalar. Ve büyük sayılar kanunu size bu sayının yakın olacağını söyler $E(X) = p$

— Karınca
kaynak

Büyük sayılar yasasının beklenen değer için tek gerekçe olduğunu söyleyemem . Örneğin, en.wikipedia.org/wiki/… yardımcı program işlevlerinin beklenen değerlerini dikkate almanın bir gerekçesi. (Kanıtı incelemedim, ancak bir şekilde çok sayıda yasaya dayanıyorsa şaşırdım).

— Juho Kokkala

3

"Beklenen değer" terimini sevmiyorum ve olasılığı öğretirken kullanmadım. "Aritmetik ortalama" daha iyi, bence, 6 taraflı bir kalıbın aritmetik ortalaması 3,5, ancak böyle bir sayı oluşmuyor. Başlangıçta üniversitede konsept için "beklenti değeri" terimini duydum. Birçok teknik terim, açık teknik olmayan anlamla aynı fikirde değildir. ("Veya" akla geliyor.)

Bir dağılımın birden fazla moda sahip olabileceğini, ancak aritmetik ortalamanın benzersiz olduğunu unutmayın. Mod, ortalama ve medyan farklıdır ve farklı kullanımları vardır.

— ttw
kaynak

1

Güzel bir "veya". Bu bana, Alternatifin çeşitli Teoremlerini incelediğimiz Doğrusal Programlama dersini düşündürdü. "Ya A doğrudur ya da B doğrudur, ama ikisi de değil" şeklindeydi. A xor B olarak ifade etmek çok daha kolay. Sıradan sokak konuşmalarında xor'un çok fazla kullanıldığını duymuyorum.

— Mark L. Stone

2

Fark, ayrık dağılımlarla görülmesi en kolay olanıdır:

Her sayının eşit olarak çizilme olasılığının olduğu iki değer kümesini düşünün: {1,2,2,2,10} ve {1,2,2,2,3}.

Her ikisi de aynı moda sahiptir (2), ancak beklenen değerler farklıdır. Beklenen değer büyük değerlere ekstra ağırlık verirken, mod hangi değerin sık sık meydana geldiğini arar. Dolayısıyla, bu dağıtımdan birkaç kez çekerseniz, örnek ortalamanız beklenen değere yakın olurken, en yaygın tamsayı moda yakın olacaktır.

Mod, olarak tanımlanırken, yukarıda gösterildiği gibi, beklenen değer üzerine entegre olur, böylece her x'in ağırlığını dikkate alır. $mode=arg{\max{f(x)}}$ $x*f(x)$

Farklı merkezi eğilim ölçüsü arasında ayrım yapmak için dil kullanımı, istatistik öğrenirken yaygın bir konudur. Örneğin, medyan, ortalama gibi büyük değerlerle çarpılmayan başka bir ölçüdür.

— VCG
kaynak