bulmanın daha kolay yolu ?

parametresi olduğu üniform dağılımından alınan 3 örneği göz önünde bulundurun . ı bulmak istiyorum burada X _ {(i)} sipariş istatistiği i'dir .$u(\theta, 2\theta)$$\theta$

$$\mathbb{E}\left[X_{(2)}| X_{(1)}, X_{(3)}\right]$$ $X_{(i)}$$i$

Sonucun \ mathbb {E} \ sol olmasını beklerdim [X _ {(2)} | X _ {(1)}, X _ {(3)} \ right] = \ frac {X _ {(1)} + X _ {(3)}} {2}

$$\mathbb{E}\left[X_{(2)}| X_{(1)}, X_{(3)}\right] = \frac{X_{(1)}+ X_{(3)}}{2}$$ Ama bu sonucu gösterebilmemin tek yolu da öyle görünüyor uzun, basit bir çözüm bulamıyorum, bir şey eksik mi, bazı kısayol var mı?

---

Yaptığım şey şudur:

• Koşullu yoğunluğu buluyorum

  $$f(x_{(2)}| x_{(1)}, x_{(3)}) = \frac{ f(x_{(1)}, x_{(2)}, x_{(3)})}{f(x_{(1)}, x_{(3)})}$$

• Entegre ediyorum

$$\mathbb{E}\left[X_{(2)}| X_{(1)}, X_{(3)}\right] = \int x f(x| x_{(1)}, x_{(3)}) dx$$

---

Detaylar:

Sipariş istatistiği yoğunluğu için genel formül benimsiyorum ( \ mathbb {I} _ {\ {A \}} A$\mathbb{I}_{\{A\}}$ kümesinin bir göstergesi ile )$A$

$$f_{x_{(1)},\ldots , x_{(n)}}(x_1,\cdots, x_n) = n! \prod_{i=1}^n f_{x}(x_i)\mathbb{I}_{\{x_{(1)} \leq x_{(2)} \leq \cdots \leq x_{(n)}\}}(x_1,\cdots, x_n)$$

davam için elde etmek

$$f_{x_{(1)}, x_{(2)}, x_{(3)}}(x_1, x_2, x_3) = 3!\frac{1}{\theta^3}\mathbb{I}_{\{x_1 \leq x_2 \leq \cdots \leq x_n\}}(x_1,\cdots, x_3)$$

marjinal olduğu$f_{x_{(1)}, x_{(3)}}(u, v)$

$$f_{x_{(1)}, x_{(3)}}(u, v) = \int f_{x_{(1)}, x_{(2)}, x_{(3)}}(u, x_2, v) dx_2$$

yani

$$f_{x_{(1)}, x_{(3)}}(u, v) = \int 3!\frac{1}{\theta^3}\mathbb{I}_{\{x_1 = u \leq x_2 \leq x_3 = v\}}(u, x, v) dx = 3!\frac{1}{\theta^3} [v-u]$$

onun için

$$f(x_{(2)}| x_{(2)} = u, x_{(3)} = v) = \frac{ f(x_{(1)} = u, x_{(2)}, x_{(3)} = v)}{f(x_{(1)}= u, x_{(3)} = v)} = \frac{3!\frac{1}{\theta^3}\mathbb{I}_{u \leq x_2 \leq \cdots \leq v}(u,x_2, v) }{3!\frac{1}{\theta^3} [v-u]}= [v-u]^{-1}\mathbb{I}_{\{u<x_2<v\}}$$

hangi verir

$$\mathbb{E}\left[X_{(2)}| X_{(1)} = u, X_{(3)} = v\right] = [v-u]^{-1}\int_{u}^{v} x dx = [v-u]^{-1}\frac{ [v^2 - u^2]}{2} = \frac{u+v}{2}$$

Çünkü tamamı üniform bir dağılıma sahip, tüm (sırasız) değişkenlerin bağımsız varsayılır, ve arasında başka bir sıra istatistiği yalan ve , sahip olan bir kesik düzgün dağılımı aralığında desteklenmektedir . Açıkçası , QED'dir.$X_i$$X_{(1)}$$X_{(3)}$ $X_{(2)}$$[X_{(1)}, X_{(3)}]$$(X_{(1)}+X_{(3)})/2$

---

Resmi bir gösteri , X_i kesinlikle sürekli bir dağıtım ile olduğunda, koşullu yoğunluğunun ( diğer tüm sipariş istatistiklerinde , bu da kesik dağılımdır. (Zaman , olarak alınır ; ve ne zaman , olarak alınır ). Bu izler için fonksiyonların ortak pdf örneğin, koşullu yoğunlukların tanımıyla birlikte istatistikler .$X_i$$F$$X_{(k)}$$dF(x_k)/(F(x_{(k+1)}) - F(x_{(k-1)}))$$k=1$$F(x_{0})$$0$$k=n$$F(x_{n+1})$$1$