parametresi olduğu üniform dağılımından alınan 3 örneği göz önünde bulundurun . ı bulmak istiyorum
burada X _ {(i)} sipariş istatistiği i'dir .u(θ,2θ)θ
E[X(2)|X(1),X(3)]
X(i)i
Sonucun
\ mathbb {E} \ sol olmasını beklerdim
[X _ {(2)} | X _ {(1)}, X _ {(3)} \ right] = \ frac {X _ {(1)} + X _ {(3)}} {2}
E[X(2)|X(1),X(3)]=X(1)+X(3)2
Ama bu sonucu gösterebilmemin tek yolu da öyle görünüyor uzun, basit bir çözüm bulamıyorum, bir şey eksik mi, bazı kısayol var mı?
Yaptığım şey şudur:
Koşullu yoğunluğu buluyorum
f(x(2)|x(1),x(3))=f(x(1),x(2),x(3))f(x(1),x(3))
Entegre ediyorum
E[X(2)|X(1),X(3)]=∫xf(x|x(1),x(3))dx
Detaylar:
Sipariş istatistiği yoğunluğu için genel formül benimsiyorum ( \ mathbb {I} _ {\ {A \}} AI{A} kümesinin bir göstergesi ile )A
fx(1),…,x(n)(x1,⋯,xn)=n!∏i=1nfx(xi)I{x(1)≤x(2)≤⋯≤x(n)}(x1,⋯,xn)
davam için elde etmek
fx(1),x(2),x(3)(x1,x2,x3)=3!1θ3I{x1≤x2≤⋯≤xn}(x1,⋯,x3)
marjinal olduğufx(1),x(3)(u,v)
fx(1),x(3)(u,v)=∫fx(1),x(2),x(3)(u,x2,v)dx2
yani
fx(1),x(3)(u,v)=∫3!1θ3I{x1=u≤x2≤x3=v}(u,x,v)dx=3!1θ3[v−u]
onun için
f(x(2)|x(2)=u,x(3)=v)=f(x(1)=u,x(2),x(3)=v)f(x(1)=u,x(3)=v)=3!1θ3Iu≤x2≤⋯≤v(u,x2,v)3!1θ3[v−u]=[v−u]−1I{u<x2<v}
hangi verir
E[X(2)|X(1)=u,X(3)=v]=[v−u]−1∫vuxdx=[v−u]−1[v2−u2]2=u+v2