bulmanın daha kolay yolu ?


9

parametresi olduğu üniform dağılımından alınan 3 örneği göz önünde bulundurun . ı bulmak istiyorum burada X _ {(i)} sipariş istatistiği i'dir .u(θ,2θ)θ

E[X(2)|X(1),X(3)]
X(i)i

Sonucun \ mathbb {E} \ sol olmasını beklerdim [X _ {(2)} | X _ {(1)}, X _ {(3)} \ right] = \ frac {X _ {(1)} + X _ {(3)}} {2}

E[X(2)|X(1),X(3)]=X(1)+X(3)2
Ama bu sonucu gösterebilmemin tek yolu da öyle görünüyor uzun, basit bir çözüm bulamıyorum, bir şey eksik mi, bazı kısayol var mı?

Yaptığım şey şudur:

  • Koşullu yoğunluğu buluyorum

    f(x(2)|x(1),x(3))=f(x(1),x(2),x(3))f(x(1),x(3))
  • Entegre ediyorum

E[X(2)|X(1),X(3)]=xf(x|x(1),x(3))dx

Detaylar:

Sipariş istatistiği yoğunluğu için genel formül benimsiyorum ( \ mathbb {I} _ {\ {A \}} AI{A} kümesinin bir göstergesi ile )A

fx(1),,x(n)(x1,,xn)=n!i=1nfx(xi)I{x(1)x(2)x(n)}(x1,,xn)

davam için elde etmek

fx(1),x(2),x(3)(x1,x2,x3)=3!1θ3I{x1x2xn}(x1,,x3)

marjinal olduğufx(1),x(3)(u,v)

fx(1),x(3)(u,v)=fx(1),x(2),x(3)(u,x2,v)dx2

yani

fx(1),x(3)(u,v)=3!1θ3I{x1=ux2x3=v}(u,x,v)dx=3!1θ3[vu]

onun için

f(x(2)|x(2)=u,x(3)=v)=f(x(1)=u,x(2),x(3)=v)f(x(1)=u,x(3)=v)=3!1θ3Iux2v(u,x2,v)3!1θ3[vu]=[vu]1I{u<x2<v}

hangi verir

E[X(2)|X(1)=u,X(3)=v]=[vu]1uvxdx=[vu]1[v2u2]2=u+v2

Ne yaptığınıza , amauv2u+v2
Mark L. Stone

@ MarkL.Stone haklısınız ... Son satırda integralinin yanlış olduğunu düzelttim . xdx
Onları

Yanıtlar:


5

Çünkü tamamı üniform bir dağılıma sahip, tüm (sırasız) değişkenlerin bağımsız varsayılır, ve arasında başka bir sıra istatistiği yalan ve , sahip olan bir kesik düzgün dağılımı aralığında desteklenmektedir . Açıkçası , QED'dir.XiX(1)X(3) X(2)[X(1),X(3)](X(1)+X(3))/2


Resmi bir gösteri , X_i kesinlikle sürekli bir dağıtım ile olduğunda, koşullu yoğunluğunun ( diğer tüm sipariş istatistiklerinde , bu da kesik dağılımdır. (Zaman , olarak alınır ; ve ne zaman , olarak alınır ). Bu izler için fonksiyonların ortak pdf örneğin, koşullu yoğunlukların tanımıyla birlikte istatistikler .XiFX(k)dF(xk)/(F(x(k+1))F(x(k1)))k=1F(x0)0k=nF(xn+1)1


whuber, X'in olasılık yoğunluğuna atıfta bulunuyorsunuz, değil mi? dF(xk)
Onları

1
Evet doğru. Tanıma göre, (Teknik olarak, bunu "yoğunluk" yerine "olasılık elemanı" olarak adlandırmalıydım.)
dF(x)=dFdx(x)dx.
whuber
Sitemizi kullandığınızda şunları okuyup anladığınızı kabul etmiş olursunuz: Çerez Politikası ve Gizlilik Politikası.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.