Normal dağılmış rastgele değişkenlerin oranlarında önemli fark olup olmadığını test edin

İlgili değişkenler oranlarını analiz ve nasıl iki normal dağılım değişkenlerin oranı, ya da bir tersini parameterize? .

Her biri kabaca normal olduğunu kabul edebileceğimiz dört farklı sürekli rasgele dağılımdan birkaç örneğim olduğunu varsayalım. Benim durumumda, bunlar hem şifrelemeli hem de şifrelemesiz iki farklı dosya sisteminin (örneğin, ext4 ve XFS) bazı performans metriklerine karşılık gelir. Metrik, örneğin saniyede oluşturulan dosya sayısı veya bazı dosya işlemleri için ortalama gecikme olabilir. Bu dağıtımlardan alınan tüm numunelerin her zaman kesinlikle olumlu olacağını varsayabiliriz. Bu dağıtımları diyelim$\textrm{Perf}_{fstype,encryption}$ nerede $fstype \in \{xfs,ext4\}$ ve $encryption \in \{crypto,nocrypto\}$.

Şimdi hipotezim, şifrelemenin dosya sistemlerinden birini diğerinden daha büyük bir faktörle yavaşlatması. Hipotez için basit bir test var mı$\frac{E[\textrm{Perf}_{xfs,crypto}]}{E[\textrm{Perf}_{xfs,nocrypto}]} < \frac{E[\textrm{Perf}_{ext4,crypto}]}{E[\textrm{Perf}_{ext4,nocrypto}]}$?

StasK'ın iyi cevabına bir alternatif de permütasyon testi kullanmaktır. İlk adım bir test istatistiği tanımlamaktır$T$, belki:

$T = \frac{\widehat{Perf}_{ext4,crypto}}{\widehat{Perf}_{ext4,nocrypto}} - \frac{\widehat{Perf}_{xfs,crypto}}{\widehat{Perf}_{xfs,nocrypto}}$

nerede $\widehat{Perf}_{ext4,crypto}$ belki de gözlemlerinin örnek ortalamasıdır. $\text{Perf}_{ext4,crypto}$(Bu, oran beklentisinin alternatif olasılığı yerine beklentilerin oranı olarak hipotez tanımınıza uymaktadır - hangi alternatif gerçekten istediğinizi olabilir.) İkinci adım, etiketlere rastgele izin vermektir. $ext4, \space xfs$ verilerde birçok kez söyleyin, $i=1, \dots, 10000$ve hesapla $T_i$her permütasyon için. Son adım orijinalinizi karşılaştırmaktır$T$ gözlemlenen ile $T_i$; permütasyon tahmini p-değeri,$T_i \leq T$.

Permütasyon testi sizi asimptotiklere güvenmekten kurtarır, ancak elbette örnek büyüklüğünüze (ve elbette verilere de) bağlı olarak, zaman zaman da kullandığım delta yöntemi gayet iyi çalışabilir.

Delta yöntemini kullanarak oranın (asimtotik) standart hatasını hesaplayabilirsiniz . İki rastgele değişkeniniz varsa$X$ ve $Y$ öyle ki

$$\sqrt{n}\left(\begin{array}{c} \bar X-\mu_X \\ \bar Y-\mu_Y\end{array}\right) \rightarrow N\left( \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}\right), \left( \begin{array}{cc} \sigma_{XX} & \sigma_{XY} \\ \sigma_{XY} & \sigma_{YY} \end{array} \right) \right)$$ dağıtımda (bağımsız verileriniz varsa bu olurdu, ancak testlerinizi farklı makinelerde çalıştırdığınızda daha genel bir kümelenmiş veri durumunda da olur), o zaman oran için $r=\bar Y/\bar X$ nüfus analogu ile $r_o = \mu_Y/\mu_X$, sahibiz $$\sqrt{n}(r-r_0) \to N(0,\frac{\mu_Y^2}{\mu_X^4}\sigma_{XX} - 2\frac{\mu_Y}{\mu_X^3}\sigma_{XY} + \frac1{\mu_X^2}\sigma_{YY})$$ Eğer $X$ ve $Y$ bağımsızdır, sizin durumunuzda varsayabileceğiniz gibi, bu ifade bırakarak biraz basitleştirir $\sigma_{XY}$, böylece varyasyonların kare katsayılarının özetlendiğini görüyoruz : $${\rm CV}^2[r] = {\rm CV}^2[\bar X] + {\rm CV}^2[\bar Y]$$ Numune boyutlarının farklı olması ek bir avantaja sahiptir. Ayrıca, RHS ve LHS'niz bağımsızsa,$z$-için en iyi istatistik $H_0:$ oranların farkını alıp bu CV'lerden elde edilen ilgili standart hataya bölerek hiçbir fark yoktur.

Umarım oradan alabilir ve son formülü elde etmek için zarf hesaplamalarının geri kalanını gerçekleştirebilirsiniz.

Sonucun asimptotik olduğunu ve oranın $r$ önyargılı bir tahmin edicidir $r_0$küçük örneklerde. Önyargı$O(1/n)$ve sıralı örnekleme değişkenliği ile karşılaştırıldığında asimptotik olarak kaybolur $O(1/\sqrt{n})$.

Normal değişkenlerin oranı Cauchy'e dağıtılır. Bunu bilerek, sadece Bayes Faktör Testi yapabilirsiniz.

Bu oldukça kendiliğinden bir fikirdi. Şimdi veri oluşturma mekanizmasından emin değilim. Hiyerarşik bir veri yapısı üstlenebilmemiz için aynı PC'ye farklı dosya sistemleri yükler ve ardından iki durum için kıyaslama yapar mısınız?

Ayrıca oranlara bakmak gerçekten de mantıklı değil.

Ve sonra beklenen değerlerin oranını yazdınız, oysa oranların beklenen değerini düşündüm. Sanırım devam etmeden önce veri üretimi hakkında daha fazla bilgiye ihtiyacım var.

Permütasyon yapamayacağınız durumlarda, örneğin örneklem büyüklüğü milyonlarca olasılık yarattığında, başka bir çözüm Monte Carlo yeniden örnekleme olacaktır.

Sıfır hipotezi, hız arasındaki farkın $ext4$ ve $xfs$, için $nocrypto$ ve $crypto$. Bu nedenle, ortalama oran$\frac{ext4}{xfs}$ tümünden $nocrypto$ örnekleri farklı değil $crypto$.

$H_{0}:T_{observed}=\frac{\sum x_{nocrypto} }{n_{nocrypto}}-\frac{\sum x_{crypto} }{n_{crypto}}=0$

nerede $x=\frac{ext4}{xfs}$

ve $n=sample\, size$

Eğer $H_{0}$ değerleri için rasgele seçim sonuçları doğrudur $nocrypto$ veya $crypto$ ayrıca sonuçlanır $T_{observed}=0$. Bir hesaplamak istiyorum:

$T_{resampling}=\frac{x_{1}^{random}{+ x}_{n}^{random}}{n_{nocrypto}}-\frac{x_{1}^{random}{+ x}_{n}^{random}}{n_{crypto}}$

ve örneğin 10.000 tur yeniden örnekleme gerçekleştirin. Ortaya çıkan dağıtım $T_{resampling}$ değerleri, $H_{0}$. Arasındaki fark$nocrypto$ ve $crypto$ hesaplanırsa oran önemlidir $T_{observed}$ değeri, ör.,% 95 aralığının dışında $(p < 0.05)$ ... $T_{resampling}$ değerler.