Sıklığın olasılık tanımı; resmi bir tanım var mı?

Sıklıkçıların 'olasılık' altında anladıklarının resmi (matematiksel) bir tanımı var mı? Bunun '' uzun vadede '' göreceli gerçekleşme sıklığı olduğunu okudum, ama bunu tanımlamanın resmi bir yolu var mı? Bu tanımı bulabileceğim bilinen referanslar var mı?

DÜZENLE:

Sıklıkla (@whuber'ın yorumuna ve bu cevabın altındaki @Kodiologist ve @Graeme Walsh'a yaptığım yorumlara bakın) Bu uzun dönem göreceli frekansın varlığına `` inanan '' demek istiyorum. Belki bu (kısmen) @Tim sorusunu da cevaplar

probability frequentist definition

Lütfen ne demek istediğinizi "Frequentist" ile açıklayın. Diğer konularda gördüğüm kullanımlar, birçok insanın bu terimin ne anlama gelebileceğine dair tutarlı veya net bir anlamı olmadığını göstermektedir. Bu nedenle bir tanım, cevapların alakalı olmasını sağlar.

— whuber

@whuber Sanırım frekansçı tanımı "Bayesci olmayan" ve Bayesci "çoğu zaman frekansçı olmayan" olarak tanımlanmıştır :)

— Tim

Yakından ilgili: en.wikipedia.org/wiki/Empirical_probability

— Silverfish

Bu istatistiklerin olduğunu söyleyecektim. Stackexchange.com/a/230943/113090 muhtemelen ilginizi çekecektir , ancak sonra bu cevabı yayınlayan kişi olduğunuzu fark ettim, bu yüzden boş verin . Her neyse, düşünce süreciniz de sizinle aynı soruyu soran (örneğin ben) başkalarının ilgisini çekebilir "resmi bir

— frekansçı

Kendime bir cevap yazmak için enerjiye sahip olacağımdan emin değilim, ancak burada aynı konuya cevabınız altında yazdığım Olasılık Yorumlarının Stanford Felsefe Ansiklopedisi girişiyle aynı bağlantıyı bırakmak istiyorum . Sıkça yapılan yorumlama / tanımlama bölümü iyi bir okumadır. Olasılıkla ilgili sık bir tanım verme girişimleriyle çeşitli kavramsal problemler hakkında yoğun olarak konuşur.

— amip

Yanıtlar:

TL; DR Tamamen dairesel olmayan (yani dairesel mantık anlamında) Kolmogorov çerçevesiyle tutarlı bir sıklıkta olasılık tanımını tanımlamak mümkün görünmüyor.

Çok uzun sürmedi bu yüzden okudum: Aday sık sık olasılık tanımıyla bazı potansiyel problemler olarak ele almak istiyorum İlk olarak, yalnızca makul bir şekilde rastgele bir değişken olarak yorumlanabilir, bu nedenle yukarıdaki ifade titiz bir şekilde tam olarak tanımlanmamıştır. Bu rastgele değişken için yakınsama modunu belirtmeliyiz, neredeyse kesin olarak, olasılıkla, dağılımda, ortalamada veya ortalama kare.

lim_{n \to \infty} \frac{n_{A}}{n}

$\underset{n \to \infty}{\lim} \frac{n_A}{n}$

n_{A}

$n_A$

Ancak bu yakınsama kavramlarının tümü, anlamlı olarak tanımlanması için olasılık alanının ölçülmesini gerektirir. Sezgisel seçim, elbette, neredeyse kesinlikle yakınsama seçmek olacaktır. Bu, sıfır ölçüsü olayı dışında, sınırın noktasal olarak bulunması gereken özelliğe sahiptir. Bir dizi sıfır ölçütü oluşturan şey, birbirine göre kesinlikle sürekli olan herhangi bir önlem ailesi için çakışacaktır - bu, altta yatan şeyin ne olduğu konusunda hala biraz agnostikken, yukarıdaki sınırı titiz hale getiren neredeyse kesin bir yakınlaşma kavramını tanımlamamıza izin verir. olayların ölçülebilir alanı için ölçüt (örneğin, seçilen bazı ölçütlere göre kesinlikle sürekli olan herhangi bir önlem olabileceğinden). Bu, verilen bir önlemin önceden düzeltilmesinden doğacak tanımdaki daireselliği önleyecektir,

Bununla birlikte, neredeyse kesin bir yakınsama kullanırsak, o zaman kendimizi büyük sayıların (bundan sonra SLLN) güçlü yasasıyla sınırlandırdığımız anlamına gelir. Burada referans amacıyla bu teoremi (Chung'un 133. sayfasında verildiği gibi) belirteyim:

Let bağımsız olarak, aynı dağılmış tesadüfi değişkenlerin bir dizi olabilir. Sonra burada . $\{X_n\}$
$E | X_{1} | < \infty ⟹ \frac{S_{n}}{n} \to E (X_{1}) a . s .$ $\mathbb{E}|X_1| < \infty \implies \frac{S_n}{n} \to \mathbb{E}(X_1)\quad a.s.$ $E | X_{1} | = \infty ⟹ \underset{n \to \infty}{lim sup} \frac{| S_{n} |}{n} = + \infty a . s .$ $\mathbb{E}|X_1| = \infty \implies \underset{n \to \infty}{\lim\sup}\frac{|S_n|}{n} = + \infty \quad a.s.$ $S_n:= X_1 + X_2 + \dots + X_n$

Diyelim ki ölçülebilir bir ve bazı mutlak sürekli sürekli olasılık ölçümleri ailesine göre olayının olasılığını tanımlamak istiyoruz . Daha sonra Kolmogorov Genişleme Teoremi veya Ionescu Tulcea Genişleme Teoremi ile (her ikisinin de işe yaradığını düşünüyorum), , her biri için bir . (Kolmogorov teoreminin bir sonucu olan sonsuz ürün alanlarının varlığının, her bir alanın ölçüsünün olmasını gerektirdiğini , bu yüzden şimdi keyfi olarak değil, önlemlerle sınırlı olduğumu unutmayın). Sonra tanımlayın $(X, \mathscr{F})$ $A \in \mathscr{F}$ $\{\mu_i\}_{i \in I}$ $\{(\prod_{j=1}^{\infty} X_j)_i\}_{i \in I}$ $\mu_i$ $1$ $\mathbb{1}_{A_j}$ rasgele değişken göstergesidir, yani kopyada oluşursa değilse kopya , diğer bir deyişleO zaman açıkça (burada ile ilgili beklentiyi gösterir ), dolayısıyla büyük sayıların güçlü kanunu aslında için de geçerlidir (nedeniyle inşaat tarafından $1$ $A$ $j$ $0$

n_{A} = 1_{A_{1}} + 1_{A_{2}} + \dots + 1_{A_{n}} .

$n_A = \mathbb{1}_{A_1} + \mathbb{1}_{A_2} + \dots + \mathbb{1}_{A_n}.$

0 \leq E_{i} 1_{A_{j}} \leq 1

$0 \le \mathbb{E}_i \mathbb{1}_{A_j} \le 1$

E_{i}

$\mathbb{E}_i$

μ_{i}

$\mu_i$

(\prod_{j = 1}^{\infty} X_{j})_{i}

$(\prod_{j=1}^{\infty} X_j)_i$

1_{A_{j}}

$\mathbb{1}_{A_j}$ aynı ve bağımsız olarak dağıtılır - bağımsız olarak dağıtılmasının ürün alanı ölçüsünün koordinat ölçütlerine göre çarpma anlamına geldiğini unutmayın), bu yüzden ve bu nedenle ile ilgili olasılık doğal olarak .

\frac{n_{A}}{n} \to E_{i} 1_{A_{1}} a . s .

$\frac{n_A}{n} \to \mathbb{E}_i \mathbb{1}_{A_1} \quad a.s.$

A

$A$

μ_{i}

$\mu_i$

E_{1} 1_{A}

$\mathbb{E}_1 \mathbb{1}_{A}$

Ancak fark ettim ki, rasgele değişkenler dizisi göre neredeyse kesin olarak olsa da ve eğer sadece göre neredeyse kesin olarak , ( burada ) bu mutlaka aynı değere anlamına gelmez ; aslında, SLLN, jenerik olarak doğru olmayan olmadığı sürece garanti etmez . $\frac{n_A}{n}$ $\mu_{i_1}$ $\mu_{i_2}$ $i_1, i_2 \in I$ $\mathbb{E}_{i_1} \mathbb{1}_A = \mathbb{E}_{i_2} \mathbb{1}_A$

Eğer nasılsa "kanonik yeterli" dir, sonlu kümesi için üniform dağılımı gibi söylemek, o zaman belki bu güzel dışarı çalışır, ama gerçekten yeni bilgilerin vermez. Özellikle, homojen dağılımı için, , yani olasılığı noktaları ya da elementer olaylar sadece oranıdır olan yine benim için biraz dairesel gözüken ait . Sürekli rasgele değişken için ben biz hiç bir "kanonik" seçim üzerinde anlaşmaya nasıl görmüyorum . $\mu$ $\mathbb{E}\mathbb{1}_A = \frac{|A|}{|X|}$ $A$ $X$ $A$ $\mu$

Yani bir olayın sıklığını olayın olasılığı olarak tanımlamak mantıklı görünmektedir, ancak olayın olasılığını sıklık olarak tanımlamak mantıklı görünmemektedir (en azından dairesel olmadan). Bu özellikle problemlidir, çünkü gerçek hayatta olasılıkın ne olduğunu bilmiyoruz; bunu tahmin etmeliyiz.

Ayrıca ölçülebilir bir alanın bir altkümesi için bu frekans tanımının seçilen ölçünün bir olasılık alanı olmasına bağlı olduğuna dikkat edin; örneğin, olduğu için, Lebesgue ölçüsüyle birlikte verilen çok sayıda kopyası için ürün ölçüsü yoktur . Benzer şekilde, kanonik ürün ölçüsünü kullanan ölçüsü ; bu, ya ise sonsuza kadar yükselir veya , yani Kolmogorov ve Tulcea'nın genişleme teoremleri olasılık önlemlerine özgü çok özel sonuçlardır . $\mathbb{R}$ $\mu(\mathbb{R})=\infty$ $\prod_{j=1}^n X$ $(\mu(X))^n$ $\mu(X) >1$ $\mu(X) <1$

— Chill2Macht
kaynak

Güzel cevap için teşekkürler (+1). Uzun vadeli göreceli frekans anlamında 'sorunlar' olduğunu kabul ediyorum, muhtemelen Kolmogorov'un Grundbegriffe'yi geliştirmesinin nedenlerinden biri buydu. Ancak, sık sık konuştuğumuz zaman, Kolmogorov'un teorisinden önce kendimizi zaman çerçevesine koymalıyız?

@fcop Dürüst olmak gerekirse hiçbir fikrim yok. Sanırım söylemeye çalıştığım şey, sık sık olasılık anlayışı için herhangi bir titiz gerekçenin ne kadar yararlı / dairesel olmayan bir tanımlamaya yol açabileceğini görmüyorum.

— Chill2Macht

@fcop Cömert cömertliği gerçekten takdir ediyorum - bugün almadan önce gerçekten çok kötü bir ruh halindeydim. Dürüst olmak gerekirse beni biraz (iyi bir şekilde) zeminli. Yine, gerçekten takdir ediyorum

— Chill2Macht

bundan bahsetmeyin, cevabınız çok iyi gelişmiş ve matematiksel olarak sağlam.

Matematiksel bir tanım olduğunu sanmıyorum, hayır. Olasılığın çeşitli yorumları arasındaki fark, olasılığın matematiksel olarak nasıl tanımlandığı konusunda bir fark değildir. Olasılık matematiksel olarak şu şekilde tanımlanabilir: eğer olan bir ölçüm alanı ise , o zaman olayının olasılığı sadece . Umarım bu tanımın olasılıkları sık veya Bayesci bir şekilde yorumlamamız gerekip gerekmediği gibi sorular için tarafsız olduğunu kabul edersiniz. $(Ω, Σ, μ)$ $μ(Ω) = 1$ $S ∈ Σ$ $μ(S)$

— Kodiologist
kaynak

's ince ama olasılık bu tanım o Kolmogorov'un aksiyomlar yerine getirir çok soyut, bu özel durumlarda tanımlanması gerekir. 'Daire, belirli bir noktadan belirli bir mesafede bulunan nokta kümesidir' ile aynıdır. Hangi metrik uzayda olduğunuzu söylemediğiniz sürece hiçbir şey ifade etmez: '' mesafe '' tanımının ne olduğunu söylemelisiniz. i uzun vadede bir relatve frekans olarak tanımlamanın Kolmogorov aksiyomlarını yerine getirdiğini düşünüyorum, ne düşünüyorsunuz? Not: @Silverfish'in açıklamasındaki açıklama bu aksiyomları da yerine getiriyor.

μ

$\mu$

P

$\mathbb{P}$

(devamı) Yani kısacası, ben (tanımlayabilirsiniz tanımlamak , doğru kelime) birçok Kolmogorov'un aksiyomlar yerine getirmek ve bu aksiyomatik teoriye göre tüm geçerli olasılıklar vardır.

μ

$\mu$

Muhtemelen, Kolmogorov sistemi sağlayan bir mutlaka bir frequentist veya Bayes yorumunu gerektirmez - aksiyomatik temelini. Sık görüşlülüğün ruhuna göre, temel fikir, deneme sayısı sonsuzluğa ulaştıkça, ampirik frekansın bir değer etrafında dengelenmesi veya bir değere yaklaşmasıdır; olayın olasılığı. Frekans yaklaşımı klasik yaklaşımı geliştirse de, titizlik eksikliği aksiyomatik temele yol açar. Bu daha çok olasılık teorisinin tarihi hakkında bir soru mu?

lim_{n \to \infty} (n_{A} / n) = P_{A} = P (A) .

$\lim_{n\rightarrow \infty} \left(n_{A}/ n\right) = P_A = P(A).$

— Graeme Walsh

@Graeme Walsh: Bunu bir cevaba koyabilir ve böyle bir tanımının Kolmogorov'un aksiyomlarıyla neden uyumlu olduğunu iddia edebilir misiniz ? (elbette sınırın varlığını sorgulayabilir, ancak daha sonra,

P (A)

$P(A)$

@fcop Walsh'un belirttiği gibi, bu "tanım" titiz değildir.

— Kodiologist