Markov, Chebyshev eşitsizliklerinin sıkı olduğu rastgele değişkenler

Markov veya Chebyshev eşitsizliklerinin sıkı olduğu rastgele değişkenler oluşturmakla ilgileniyorum.

Önemsiz bir örnek aşağıdaki rastgele değişkendir.

$P(X=1)=P(X=-1) = 0.5$ . Ortalama sıfır, varyans 1 ve . Bu rastgele değişken chebyshev sıkıdır (eşitlikle tutar).$P(|X| \ge 1) = 1$

$$P(|X|\ge 1) \le \frac{\text{Var}(X)}{1^2} = 1$$

Markov ve Chebyshev'in sıkı olduğu daha ilginç (üniform olmayan) rasgele değişkenler var mı? Bazı örnekler harika olurdu.

Chebyshev'in sınırlayıcı vakasının tutulduğu dağılım sınıfı iyi bilinir (ve tahmin edilmesi zor değildir). Konum ve ölçek için normalleştirilmiş

$$Z=\begin{cases}-k,&{\text{with probability }}{\:\frac {1}{2k^2}}\\\:0,&{\text{with probability }}1-\frac {1}{k^2}\\\:k,&{\text{with probability }}{\:\frac {1}{2k^2}}\end{cases}$$

Bu, Chebyshev eşitsizliği için Wikipedia sayfasında verilen çözümdür (ölçekli) .

[Bu duruma sınırlayıcı eşitsizliği ve yaklaşımı kesin olarak karşılayan eşitsizliği ve yaklaşımı kesinlikle karşılayan bir dağıtım dizisi yazabilirsiniz ( merkeze daha fazla olasılık yerleştirerek ).$\epsilon>0$

Let: Başka bir çözüm, bu konumu ve ölçek kaymalar ile elde edilebilir .$X=\mu+\sigma Z$

Markov eşitsizliği içinböylece olasılığı 0'dan ve de . (Burada ölçek parametresi eklenebilir, ancak konum parametresi eklenemez)$Y=|Z|$$1-1/k^2$$1/k^2$$k$

Moment eşitsizlikleri - ve aslında diğer birçok benzer eşitsizlik - sınırlayıcı vakaları olarak ayrık dağılımlara sahip olma eğilimindedir.

Chebyshev'in bağlılığını takip eden tüm gerçek eksen üzerinde sürekli bir dağılım elde etmenin imkansız olabileceğine inanıyorum.

Sürekli bir dağılımın ortalama ve standart sapmasının 0 ve 1 olduğunu varsayın ya da yeniden ölçekleme yoluyla bunu yapın. Ardından . Basitlik için ; negatif değerler simetrik olarak tanımlanacaktır. Daha sonra dağılımın CDF'si . Ve böylece cdf'nin türevi olan pdf . Açıkçası bu süreksizlik nedeniyle sadece için tanımlanmalıdır . Aslında, bu her yerde doğru olamaz veya pdf'nin integrali sonlu değildir. Bunun yerine, süreksizliklerden kaçınılması gerekiyorsa (örneğin, pdf cat için 0 olmalıdır), pdf parçalı olarak eşit olmalıdır .$P(\mid X\mid >x)=1/x^2$$x>0$$1-1/x^2$$2/x^3$$x>0$$\mid x \mid <\alpha$$\mid x \mid^3$$\mid x\mid \geq \alpha$ .

Bununla birlikte, bu dağılım hipotezde başarısız olur - sonlu varyansa sahip değildir. Sonlu varyansla gerçek eksen üzerinde sürekli bir dağılım elde etmek için, beklenen ve değerleri sonlu olmalıdır. Ters polinomlar incelendiğinde, gibi giden kuyruklar sınırlı bir , ancak tanımsız bir yol açar , çünkü bu asimptotik logaritma davranışı ile bir integral içerir.$x$$x^2$$x^{-3}$$E[x]$$E[x^2]$

Yani, Chebychev'in sınırı tam olarak karşılanamaz. Ancak keyfi olarak küçük için . Pdf'nin kuyruğu gibi gider ve tanımlanmış bir varyansa sahiptir .$P(\mid X \mid > x ) = x^{-(2+\epsilon)}$$\epsilon$$x^{-(3+\epsilon)}$$1/\epsilon$

Dağılımın gerçek çizginin yalnızca bir bölümünde yayınlanmasına izin veriyorsanız, ancak yine de sürekli iseniz , için tanımlayın için çalışır ve veya herhangi bir doğrusal ölçeklendirmesi - ancak bu temel olarak , ki bu çok fazla bir aralık değil. Ve bu kısıtlamanın hala orijinal motivasyonla uyumlu olup olmadığı şüphelidir.$pdf(x) = 2/\mid x \mid^3$$\epsilon < \mid x \mid < \Lambda$

$$\epsilon = \sqrt{2 \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{e}} \right) }$$ $$\Lambda = \epsilon = \sqrt{2 \left( \sqrt{e} - 1 \right) }$$ $0.887 < |x| < 1.39$