Bir beta dağılımının iki kantili parametrelerini belirler mi?

Açık aralıkta iki kantil ve karşılık gelen konumlarını (her biri) konumlarda bu olan bir beta dağıtımının parametrelerini her zaman bulabilir miyim?$(q_1,q_2)$$(l_1,l_2)$$(0,1)$

Verilerin bariz tutarlılık gereksinimlerini karşılaması koşuluyla cevap evettir . Argüman basit, basit bir yapıya dayanır, ancak bazı kurulumlar gerektirir. Bir derece göze gerçeğine gelir: parametresi artan bir Beta dağılımı daha geniş için yoğunluğu (PDF) değerini arttırır daha küçük ; ve artırmak tam tersini yapar: ne kadar küçük olursa PDF'nin değeri o kadar artar.$a$$(a,b)$$x$$x$$b$$x$

Ayrıntılar aşağıdadır.

Let, istenen miktarsal be ve istenen miktarsal olarak ile ve (bu yüzden) . Daha sonra Beta dağılımının bu miktarlara sahip olduğu benzersiz ve vardır.$q_1$$x_1$$q_2$$x_2$$1 \gt q_2 \gt q_1 \gt 0$$1 \gt x_2 \gt x_1 \gt 0$$a$$b$$(a,b)$

Bunu göstermedeki zorluk, Beta dağılımının bir inatçı normalleştirici sabit içermesidir. Tanımlamayı hatırlayın: ve için Beta dağılımının yoğunluk işlevi vardır (PDF)$a\gt 0$$b \gt 0$$(a,b)$

Normalleştirme sabiti Beta işlevidir

yi ve göre doğrudan ayırt etmeye çalışırsak, her şey dağınık olur bir gösteri girişiminde bulunmanın kaba kuvvet yolu olacaktır.$f(x;a,b)$$a$$b$

Beta işlevini analiz etmekten kaçınmanın bir yolu, niceliklerin göreceli alanlar olduğunu belirtmektir . Yani,

için . Örneğin, bir Beta dağılımının PDF ve kümülatif dağılım fonksiyonu (CDF) , bunun için ve .$i=1,2$$F$$(1.15, 0.57)$$x_1=1/3$$q_1=1/6$

Yoğunluk fonksiyonu solda çizilmiştir. olan alan sol eğri altındaki kırmızı ile gösterilen, göreceli eğrinin altındaki toplam alan. solundaki alandır , yine kırmızı ve mavi bölgeler toplamına eşit toplam alana göre . Sağdaki CDF ve üzerinde iki ayrı noktanın nasıl işaretlendiğini gösterir.$x\to f(x;a,b)$$q_1$$x_1$$q_2$$x_2$$(x_1,q_1)$$(x_2,q_2)$

Bu şekilde, olarak sabitlendi , olarak seçildi ve daha sonra Beta üzerinde bulunan değeri bulundu CDF.$(x_1,q_1)$$(1/3,1/6)$$a$$1.15$$b$$(x_1,q_1)$$(a,b)$

Lemma : Böyle bir her zaman bulunabilir.$b$

Spesifik olmak gerekirse, kez ve herkes için düzeltilsin. (Onlar izleyin resimlerde aynı kalır: Her üç durumda da, nispi alanı sola eşittir .) Herhangi biri için , Lemma eşsiz bir değer yoktur iddia , yazılı için , Beta dağılımının .$(x_1, q_1)$$x_1$$q_1$$a\gt 0$$b$$b(a),$$x_1$$q_1$$(a,b(a))$

İlk olarak bu yüzden, not görmek için sıfır, bir yakın değerlere kadar olan tüm olasılık yığınları yaklaşımlar , nereden yaklaşımları . De sonsuz, bir yakın değerlere kadar olan tüm olasılık yığınları yaklaşımlar , nereden yaklaşımları . Arasında olarak işlev kesin artmaktadır .$b$$0$$F(x_1;a,b)$$1$$b$$1$$F(x_1;a,b)$$0$$b\to F(x_1;a,b)$$b$

Bu iddia geometrik açıktır: bu demek anlamına gelir biz eğri altındaki sol alanında bakarsak toplam alanı altında göre eğriyi ve bunu için eğrisinin altındaki göreli alanla karşılaştırın , sonra ikinci alan nispeten daha büyük. Bu iki işlevin oranı . Bu işlev için eşit olan istikrarlı bir şekilde bırakarak Fonksiyon nedenle yükseklikleri olan göreceli olarak daha büyük bir$x\to x^{a-1}(1-x)^{b-1}$ $x\to x^{a-1}(1-x)^{b^\prime-1}$$b^\prime \gt b$$(1-x)^{b^\prime-b}$$1$$x=0,$$0$$x=1.$$x\to f(x;a,b^\prime)$yükseklikleri daha için soluna onlar için daha sağındaki Sonuç olarak, bölge solundaki eski olmalıdır nispeten sağındaki alandan daha büyük (Örneğin, bir Riemann toplamı kullanarak titiz bir argümana tercüme etmek kolaydır.)$x\to f(x;a,b)$$x$$x_1$$x$$x_1.$$x_1$$x_1.$

fonksiyonunun sırasıyla monoton olarak ve sınır değerleri ve olarak arttığını gördük . Aynı zamanda (açıkça) süreklidir. Sonuç olarak çok sayıda vardır ve bu sayı lemma kanıtlayan benzersizdir.$b\to f(x_1;a,b)$$0$$1$$b\to 0$$b\to\infty,$$b(a)$$f(x_1;a,b(a))=q_1$

Aynı argüman, arttıkça solundaki alanın arttığını gösterir. $b$$x_2$ Dolayısıyla değerleri gibi bir numara bazı aralığı boyunca aralığı hemen hemen gelen gelişmeler hemen hemen hiç Sınırı olarak olan$f(x_2;a, b(a))$$a$$0$$\infty.$$f(x_2;a,b(a))$$a\to 0$$q_1.$

Bir örnek yakın (bu eşittir ). İle ve (önceki şekildeki gibi), ve arasında neredeyse hiç alan yok$a$$0$$0.1$$x_1=1/3$$q_1=1/6$$b(a) \approx 0.02.$$x_1$$x_2:$

CDF pratik olarak ve arasında düzdür nedenle pratik olarak sınır olarak ,$x_1$$x_2,$$q_2$$q_1.$$a\to 0$$q_2 \to q_1.$

Diğer uçta ise, yeterince büyük değerler kurşun isteğe bağlı olarak yakın Burada bir örnek daha önce olduğu gibi.$a$$F(x_2;a,b(a))$$1.$$(x_1,q_1)$

Burada ve yaklaşık Şimdi esasen sağında neredeyse hiç alan yoktur$a=8$$b(a)$$10.$$F(x_2;a,b(a))$$1:$$x_2.$

Sonuç olarak, ile arasında herhangi bir ve olana kadar ayarını Daha önce olduğu gibi, bu benzersiz olmalı, QED .$q_2$$q_1$$1$$a$$F(x_2;a,a(b))=q_2.$$a$

RÇözüm bulmak için çalışma kodu , iki rasgele noktadan (kantil) ve beta dağıtım parametrelerini belirleme$\alpha$$\beta$ bölümünde yayınlanmıştır .