Moment Üreten Fonksiyon (MGF) nedir?

Basit ve kolay bir örnekle birlikte layman'ın terimleriyle açıklayabilir misiniz?

Lütfen resmi matematik notasyonlarını kullanarak mümkün olduğunca sınırlandırın.

En bir denklem içermeyen sezgi mümkün olmadığını varsayalım ve hala neler olduğunu hakkında bir fikir edinmek için çok temel ihtiyaçlara matematik aşağı kaynar ısrar edelim: Biz elde etmek için çalışıyoruz istatistiki anları , hangi zorunlu referans sonra fiziği , rastgele bir değişkenin gücünün beklenen değeri olarak tanımlarız . Sürekli bir rastgele değişken için ham momenti LOTUS'tur :$k$

$$\begin{align}\large \color{red}{\mathbb{E}\left[{X^k}\right]} &= \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\color{blue}{X^k}\,\,\color{green}{\text{pdf}}\,\,\,dx\tag{1}\end{align}$$

Moment kavramı , a, bu integrali (Eq.1) dolaşmak yolu , gerçekleştirilmesi yerine, için:

$$M_X(t):=\mathbb E\big[e^{tX}\big],$$

$$\begin{align} \large \color{blue}{\mathbb{E}\left[e^{\,tX}\right]}&=\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\color{blue}{e^{tX}}\,\color{green}{\text{pdf}}\, dx\tag{2}\end{align}$$

Neden? Daha kolay ve genişleterek görülebilir MGF fantastik bir özellik olmadığı için Maclaurin serisini ait$\color{blue}{e^{\,tX}}$

$$e^{tX}=1+\frac{ X }{1!}\, t +\frac{ X^{2} }{2!}t^{2} +\frac{ X^{3} }{3!} t^{3} +\cdots$$

Bu kuvvet serisinin her iki tarafının beklentisini de dikkate alarak:

$$\begin{align} M_X(t) &= \color{blue}{\mathbb{E}\left[e^{\,tX}\right]} \\[1.5ex] &=1 + \frac{\color{red}{\mathbb{E} \left[X\right]}}{1!} \, t \, + \frac{\color{red}{\mathbb{E} \left[X^2\right]}}{2!} \, t^2 \, + \frac{\color{red}{\mathbb{E} \left[X^3\right]}}{3!} \, t^3 \, + \cdots\tag{3} \end{align}$$

anlar, bu polinom "çamaşır ipi üzerinde" tünemiş "görünür, zamanlarını ayırt ederek ve tüm anlar için sadece bir kez daha kolay entegrasyondan (eşd. (2)) bir kez sıfıra bakarak sıfırlamaya hazır ! Daha kolay bir entegrasyon olması, pdf'nin bir üstel olduğu zaman en belirgindir.$k$

momentini kurtarmak için :$k$

$$M_X^{(k)}(0)=\frac{d^k}{dt^k}M_X(t)\Bigr|_{t=0}$$

Sonunda farklılaşma ihtiyacı olması, onu ücretsiz bir öğle yemeği yapmaz - sonunda pdf'nin üssünde değiştirilmiş bir işaret ile iki taraflı bir Laplace dönüşümüdür :

$$\mathcal L \{\text{pdf}(x)\}(s) =\int_{-\infty}^{\infty}e^{-sx}\text{pdf}(x) dx$$

öyle ki

$$M_X(t)=\mathcal L\{\text{pdf}(x)\}(-s)\tag 4.$$

Bu aslında bize sezginin fizik yolunu veriyor. Laplace dönüşümü ve anları ayrıştırıyor. Fourier dönüşümü için benzerlik kaçınılmaz bir FT gerçek hat üzerinde bir işlev için bir işlev eşlenir ve Laplace kompleks düzlemde bir işlev için bir işlev eşleştirir. Fourier dönüşümü, bir işlevi veya sinyali bir dizi frekans olarak ifade ederken, Laplace dönüşümü bir işlevi anlarına çözer . Aslında, anları elde etmenin farklı bir yolu bir Fourier dönüşümüdür ( karakteristik fonksiyon ). Laplace dönüşümü üstel terimi biçimi genel olarak ile$\color{green}{\text{pdf}}$$e^{-st}$$s=\sigma + i\,\omega$ , karşılık gelen gerçek üstel ve sanal Sinüzoidallerin gibi ve elde araziler bu :

---

[ Dan Scientist ve Steven W. Smith tarafından Sinyal İşlemeye Mühendisin Kılavuzu ]

---

Bu nedenle, işlevi olduğunda "bileşen frekanslarına" ayrıştırırEq. (4):$M_X(t)$$\text{pdf}$$\sigma=0.$

$$\begin{align}\require{cancel} M_X(t)&=\mathbb E\big[e^{-sX}\big]\\[2ex] &=\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}{e^{-sx}}\,\text{pdf}(x)\, dx\\[2ex] &=\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}{e^{-(\sigma+i\omega)x}}\,\text{pdf}(x)\, dx\\[2ex] &=\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\cancel{e^{-\sigma x}}\,\color{red}{e^{-i\omega x}\,\text{pdf}(x)\, dx} \end{align}$$

bu da bizi pdf'nin Fourier dönüşümüne karşılık gelen, ifadenin bir kısmının yanlış integrali ile kırmızı bırakır.

Genel olarak, bir fonksiyonun Laplace dönüşüm kutuplarının sezgisi , fonksiyonun üstel (çürüme) ve frekans bileşenleri (bu durumda pdf) hakkında bilgi sağlamalarıdır.

---

ye geçiş hakkındaki yorumların altındaki soruya yanıt olarak , bu tamamen stratejik bir harekettir: bir ifade diğerinden takip etmez. İşte bir benzetme: Kendimize ait bir arabamız var ve her işe bakmamız gerektiğinde şehre girmekte özgürüz her ayrı, tek an için ne kadar zorlu olursa olsun Denk okuma, entegre etme ) . Bunun yerine, tamamen farklı bir şey yapabiliriz: en yakın metro istasyonuna gidebiliriz (okuduk, denklemi sadece bir kez çözebiliriz ) ve oradan ziyaret etmemiz gereken her yere ulaşmak için toplu taşıma araçlarını kullanabiliriz (okuyun, herhangi bir deki integralin hangi$X^k$$e^{tx}$$(1)$$(2)$$k$$(2)$$k$- ihtiyacımız olan an, (Denk. sayesinde ) tüm anların orada “saklandığını” ve değerlendirerek izole olduğunu bilerek ).$(3)$$0$

En layman terimleriyle, olasılık dağılımının tüm özelliklerini tek bir kısa cümleye kodlamanın bir yoludur. Örneğin, dağıtımın MGF'sinin olduğunu , Taylor açılımının ilk dönemini alarak bu dağılımın ortalamasını bulabilirim : Ne yaptığınızı biliyorsanız beklentiyi almaktan çok daha hızlıdır olasılık fonksiyonunun.

$$M(t)=e^{t\mu+1/2\sigma^2t^2}$$ $$\frac d {dt}M(t)|_{t=0}=\mu+\sigma^2t|_{t=0}=\mu$$

Dahası, bu MGF dağıtım hakkında her şeyi kodladığından , işlevi nasıl manipüle edeceğinizi biliyorsanız, dağıtımın tüm özellikleri üzerinde işlemleri bir kerede uygulayabilirsiniz! Neden her zaman MGF kullanmıyoruz? Birincisi, MGF her durumda en kolay araçtır. İkincisi, MGF her zaman mevcut değildir.

Layman üstü

Standart bir normal dağılımınız olduğunu varsayalım. Hakkında bildiğiniz her şeyi PDF'sini belirterek ifade edebilirsiniz:

$$f(x)=\frac 1 {\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$$

Anını ortalama ve standart sapma gibi hesaplayabilir ve dönüştürülmüş değişkenler ve rasgele normaller üzerindeki işlevler üzerinde kullanabilirsiniz.

Normal dağılımın MGF'sini PDF'ye alternatif olarak düşünebilirsiniz. Aynı miktarda bilgi içerir. Ortalamayı nasıl alacağımı zaten göstermiştim.

Neden alternatif bir yola ihtiyacımız var? Yazdığım gibi, bazen sadece daha uygun. Örneğin, PDF'den standart normalin varyansını hesaplamayı deneyin: Bu zor değil, ancak MGF ile yapmak çok daha kolay :

$$\sigma^2=\int_{-\infty}^\infty x^2\frac 1 {\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2} dx=?$$ $M(t)=e^{t^2/2}$ $$\sigma^2=\frac {d^2} {dt^2}M(t)|_{t=0}=\frac d {dt} t |_{t=0}=1$$