Rastgele bir değişkenin örneği nedir?

Rasgele değişken itibaren ölçülebilir fonksiyonu olarak tanımlanır cebiri altta yatan ölçer ile başka cebiri .σ ( Ω 1 , F 1 ) P σ ( Ω 2 , F 2$X$$\sigma$$(\Omega_1, \mathcal F_1)$$P$$\sigma$$(\Omega_2, \mathcal F_2)$

Bu rastgele değişkenin örnek n'si hakkında nasıl konuşabiliriz ? Buna bir öğesi olarak mı ? Veya aynı ölçülebilir fonksiyon olarak mı?Ω 2$X^n$$\Omega_2$$X$

Bununla ilgili daha fazla bilgiyi nerede bulabilirim?

Misal:

Monte Carlo tahmininde, örneklerini fonksiyonlar olarak değerlendirerek tahmincinin tarafsızlığını kanıtlıyoruz . Rastgele değişken beklentisi şu şekilde tanımlanırsa$(X^n)_{n = 1}^N$$X$

$$\begin{align} \mathbb E[X] = \int_{\Omega_1} X(\omega_1) \,\mathrm dP(\omega_1) \end{align}$$

ve fonksiyonlar ve olduğunu varsayarsak, aşağıdaki gibi devam edebiliriz:X n = $X^n$$X^n = X$

$$\begin{align} \mathbb E\left[\frac{1}{N} \sum_{n = 1}^N f(X^n)\right] &= \frac{1}{N} \sum_{n = 1}^N \mathbb E[f(X^n)] \\ &= \frac{1}{N} \sum_{n = 1}^N \mathbb E[f(X)] \\ &= \mathbb E[f(X)]. \end{align}$$

Eğer sadece bir eleman oldu , biz denklemlerin son seti yazılı olamazdı.Ω $X^n$$\Omega_2$

Bir örnek ile arasında ölçülebilir bir işlevdir . Bu numunenin bir gerçekleşme fonksiyonun tarafından alınan değer , .Ω 1 Ω N 2 ω ∈ Ω 1 ( x 1 , … , x N ) = ( X 1 ( ω ) , … , X N ( ω ) $(X^1,\ldots,X^N)$$\Omega_1$$\Omega_2^N$$\omega\in\Omega_1$$(x^1,\ldots,x^N)=(X^1(\omega),\ldots,X^N(\omega))$

Belirtirken

fonksiyonlar olduğunu ve olduğunu varsayarsakX n = $X^n$$X^n=X$

İşlevleri farklı fonksiyonlar, aracı olduğunu resim belirli bir için farklı olabilir . Örnek iid olduğunda (bağımsız ve özdeş dağıtılmış), işlevleri iki diğer özellik ile farklıdırX 1 ( ω ) , … , X N ( ω ) ω X $X^n$$X^1(\omega),\ldots,X^N(\omega)$$\omega$$X^n$

1. yani aynı dağılımı, bu tüm ölçülebilir kümeleri için de ;A F$\mathbb{P}(X^1\in A)=\cdots=\mathbb{P}(X^N\in A)$$A$$\mathcal{F}_2$
2. bağımsızlık, yani tüm ölçülebilir kümeler içindeA 1 , … , A N F$\mathbb{P}(X^1\in A^1,\ldots,X^N\in A^N)=\mathbb{P}(X^1\in A^1)\cdots\mathbb{P}(X^N\in A^N)$$A^1,\ldots,A^N$$\mathcal{F}_2$

Sizin tanımınız

$$\begin{align} \mathbb E[X] = \int_{\Omega_1} X(\omega_1) \,\mathrm d\omega_1 \end{align}$$

yanlış: olmalı

$$\begin{align} \mathbb E[X] = \int_{\Omega_1} X(\omega_1) \,\mathrm dP(\omega_1) \end{align}$$

Örnek rastgele değişkenten değil popülasyondan alınabilir . " rasgele değişkenin örneği ", popülasyondan alınmış, aynı şekilde dağılmış rastgele değişken olduğunu varsaydığımız bir örneğimiz olduğunu söylemenin basitleştirilmiş bir yoludur . Dolayısıyla bu örnek rasgele değişken gibi davranır . Belirsizlik ve istatistikte kullanılan terminolojiyi karıştırdığı için belirsizdir. Örneklerin ortak dağıtımdan alındığı simülasyon ile aynıdır . Her iki durumda da örnek veridir$n$$n$$n$var. Örnekler rastgele değişkenler olarak kabul edilir, çünkü rastgele süreçler onları çizmeye yol açar. Ortak dağıtımdan geldikleri için aynı şekilde dağıtılırlar. Örneklerle uğraşmak için istatistiklere sahibiz, istatistikler olasılık teorisi açısından problemlerin soyut, matematiksel tanımını kullanırken, terminoloji karışıktır. Rastgele değişkenler, örneklerinizde karşılaşılabilecek olaylara olasılık atayan işlevlerdir .