Olasılık yoğunluğu fonksiyonundaki değişkenlerin değişiminin türetilmesi?

Kitap örüntü tanıma ve makine öğrenmesinde (formül 1.27),

p_{y} (y) = p_{x} (x) | \frac{d x}{d y} | = p_{x} (g (y)) | g^{'} (y) |

$p_y(y)=p_x(x) \left | \frac{d x}{d y} \right |=p_x(g(y)) | g'(y) |$ burada,değişkenin değişmesine görekarşılık gelen.

x = g (y)

$x=g(y)$

p_{x} (x)

$p_x(x)$

p_{y} (y)

$p_y(y)$

Kitaplar bunun nedeni, aralığına düşen gözlemlerin , küçük değerleri için aralığa dönüştürüleceğini söylüyor . $(x, x + \delta x)$ $\delta x$ $(y, y + \delta y)$

Bu resmi olarak nasıl türetilir?

Dilip Sarwate'den güncelleme

Sonuç yalnızca , kesinlikle monoton bir artan veya azalan fonksiyonsa geçerlidir. $g$

LV Rao'nun cevabında bazı ufak düzenlemeler Bu nedenle monoton olarak artıyorsa monoton olarak

P (Y \leq y) = P (g (X) \leq y) = {\begin{cases} P (X \leq g^{- 1} (y)), & if g is monotonically increasing \\ P (X \geq g^{- 1} (y)), & if g is monotonically decreasing \end{cases}

$\begin{equation} P(Y\le y) = P(g(X)\le y)= \begin{cases} P(X\le g^{-1}(y)), & \text{if}\ g \text{ is monotonically increasing} \\ P(X\ge g^{-1}(y)), & \text{if}\ g \text{ is monotonically decreasing} \end{cases} \end{equation}$

g

$g$

F_{Y} (y) = F_{X} (g^{- 1} (y))

$F_{Y}(y)=F_{X}(g^{-1}(y))$

f_{Y} (y) = f_{X} (g^{- 1} (y)) \cdot \frac{d}{d y} g^{- 1} (y)

$f_{Y}(y)= f_{X}(g^{-1}(y))\cdot \frac{d}{dy}g^{-1}(y)$

F_{Y} (y) = 1 - F_{X} (g^{- 1} (y))

$F_{Y}(y)=1-F_{X}(g^{-1}(y))$

f_{Y} (y) = - f_{X} (g^{- 1} (y)) \cdot \frac{d}{d y} g^{- 1} (y)

$f_{Y}(y)=- f_{X}(g^{-1}(y))\cdot \frac{d}{dy}g^{-1}(y)$

∴ f_{Y} (y) = f_{X} (g^{- 1} (y)) \cdot | \frac{d}{d y} g^{- 1} (y) |

$\therefore f_{Y}(y) = f_{X}(g^{-1}(y)) \cdot \left | \frac{d}{dy}g^{-1}(y) \right |$

— dontloo
kaynak

Sonuç yalnızca , kesinlikle monoton bir artan veya azalan fonksiyonsa geçerlidir. Bir grafik çizme ve türevi (epsilon ve delta değil resmi tanımı) tanımına arkasındaki temel fikir kullanarak çözmek. Ayrıca, bu sitede @whuber'ın ayrıntıları açıklayan bir cevap var; yani, bu kopya olarak kapatılmalıdır.

g

$g$

g

$g$

— Dilip Sarwate

Kitabınızın açıklaması, stats.stackexchange.com/a/14490/919 adresinde sunduğumu anımsatıyor . Ayrıca stats.stackexchange.com/a/101298/919 adresinde genel bir cebirsel yöntem ve stats.stackexchange.com/a/4223/919 adresinde geometrik bir açıklama yayınladım .

— whuber

@DilipSarwate Açıklamanız için teşekkürler, sezgiyi anladığımı düşünüyorum, ancak mevcut kurallar ve teoremler kullanılarak nasıl türetilebileceğiyle daha fazla ilgileniyorum :)

— dontloo

$X$ pdf $Y=g(X)$ pdf $Y$

\begin{array}{rcl} P (Y \leq y) & = & P (g (X) \leq y) \\ = & P (X \leq g^{- 1} (y)) \\ o r F_{Y} (y) & = & F_{X} (g^{- 1} (y)), by the definition of CDF \end{array}

$\begin{eqnarray*} P(Y\le y) &=& P(g(X)\le y)\\ &=& P(X\le g^{-1}(y))\\ or\;\;F_{Y}(y)&=& F_{X}(g^{-1}(y)),\quad \mbox{by the definition of CDF}\\ \end{eqnarray*}$

y

$y$

Y

$Y$

Y

$Y$

f_{Y} (y) = f_{X} (g^{- 1} (y)) \cdot \frac{d}{d y} g^{- 1} (y)

$\begin{equation*} f_{Y}(y)= f_{X}(g^{-1}(y))\cdot \frac{d}{dy}g^{-1}(y) \end{equation*}$

Y

$Y$

f_{Y} (y) = - f_{X} (g^{- 1} (y)) \cdot \frac{d}{d y} g^{- 1} (y)

$\begin{equation*} f_{Y}(y)= - f_{X}(g^{-1}(y))\cdot \frac{d}{dy}g^{-1}(y) \end{equation*}$

∴ f_{Y} (y) = f_{X} (g^{- 1} (y)) \cdot | \frac{d}{d y} g^{- 1} (y) |

$\begin{equation*} \therefore f_{Y}(y) = f_{X}(g^{-1}(y))\cdot |\frac{d}{dy}g^{-1}(y)| \end{equation*}$

— LVRao
kaynak

Fakat fx üzerindeki integral 1'e eşit olmalı ve fy, fx'in ölçeklendirilmiş bir versiyonu olduğundan, abs () içindeki jacobian 1 veya -1 olmadığı sürece fy'nin uygun bir pdf olmadığı anlamına gelmez mi?

— Chris

g^{- 1}

$g^{-1}$