Olasılık yoğunluğu fonksiyonundaki değişkenlerin değişiminin türetilmesi?


16

Kitap örüntü tanıma ve makine öğrenmesinde (formül 1.27),

py(y)=px(x)|dxdy|=px(g(y))|g(y)|
burada,değişkenin değişmesine görekarşılık gelen.p x ( x ) p y ( y )x=g(y)px(x)py(y)

Kitaplar bunun nedeni, aralığına düşen gözlemlerin , küçük değerleri için aralığa dönüştürüleceğini söylüyor .δ x ( y , y + δ y )(x,x+δx)δx(y,y+δy)

Bu resmi olarak nasıl türetilir?


Dilip Sarwate'den güncelleme

Sonuç yalnızca , kesinlikle monoton bir artan veya azalan fonksiyonsa geçerlidir.g


LV Rao'nun cevabında bazı ufak düzenlemeler Bu nedenle monoton olarak artıyorsa monoton olarak \ bu nedenle f_ {Y} (y) = f_ {X} (g ^ {- 1} (y)) \ cdot \ left | \ frac {d} {dy} g ^ {- 1} (y) \ sağ | g F Y ( y ) = F X

P(Yy)=P(g(X)y)={P(Xg1(y)),if g is monotonically increasingP(Xg1(y)),if g is monotonically decreasing
gf Y ( y ) = f X ( g - 1 ( y ) ) d
FY(y)=FX(g1(y))
FY(y)=1-FX(g-1(y))fY(y)=-fX(g-1(y))d
fY(y)=fX(g1(y))ddyg1(y)
FY(y)=1FX(g1(y))
fY(y)=fX(g1(y))ddyg1(y)
fY(y)=fX(g1(y))|ddyg1(y)|

1
Sonuç yalnızca , kesinlikle monoton bir artan veya azalan fonksiyonsa geçerlidir. Bir grafik çizme ve türevi (epsilon ve delta değil resmi tanımı) tanımına arkasındaki temel fikir kullanarak çözmek. Ayrıca, bu sitede @whuber'ın ayrıntıları açıklayan bir cevap var; yani, bu kopya olarak kapatılmalıdır. gg
Dilip Sarwate

Kitabınızın açıklaması, stats.stackexchange.com/a/14490/919 adresinde sunduğumu anımsatıyor . Ayrıca stats.stackexchange.com/a/101298/919 adresinde genel bir cebirsel yöntem ve stats.stackexchange.com/a/4223/919 adresinde geometrik bir açıklama yayınladım .
whuber

1
@DilipSarwate Açıklamanız için teşekkürler, sezgiyi anladığımı düşünüyorum, ancak mevcut kurallar ve teoremler kullanılarak nasıl türetilebileceğiyle daha fazla ilgileniyorum :)
dontloo

Yanıtlar:


15

XpdfY=g(X)pdfY

P(Yy)=P(g(X)y)=P(Xg1(y))orFY(y)=FX(g1(y)),by the definition of CDF
yYY
fY(y)=fX(g1(y))ddyg1(y)
Y
fY(y)=fX(g1(y))ddyg1(y)
fY(y)=fX(g1(y))|ddyg1(y)|

Fakat fx üzerindeki integral 1'e eşit olmalı ve fy, fx'in ölçeklendirilmiş bir versiyonu olduğundan, abs () içindeki jacobian 1 veya -1 olmadığı sürece fy'nin uygun bir pdf olmadığı anlamına gelmez mi?
Chris

g1
Sitemizi kullandığınızda şunları okuyup anladığınızı kabul etmiş olursunuz: Çerez Politikası ve Gizlilik Politikası.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.