Rastgele değişkenlerin toplamlarının kare kökleri için Merkezi Limit Teoremi

Math.stackexchange'teki bir soru ile ilgilendi ve bunu ampirik olarak araştırıyorum, iid rasgele değişkenlerin toplamlarının kare kökünde aşağıdaki ifadeyi merak ediyorum.

Diyelim ki X_n sıfır olmayan ortalama ve varyans ve . Merkezi limit teoremi olarak artar. $X_1, X_2, \ldots, X_n$ $\mu$ $\sigma^2$ $\displaystyle Y=\sum_{i=1}^n X_i$ $\displaystyle \dfrac{Y - n\mu}{\sqrt{n\sigma^2}} \ \xrightarrow{d}\ N(0,1)$ $n$

Eğer , ben de böyle bir şey söyleyebiliriz olarak artar? $Z=\sqrt{|Y|}$ $\displaystyle \dfrac{Z - \sqrt{n |\mu|-\tfrac{\sigma^2}{4|\mu|}}}{\sqrt{\tfrac{\sigma^2}{4|\mu|}}}\ \xrightarrow{d}\ N(0,1)$ $n$

Örneğin, ortalama ve varyans ile Bernoulli olduğunu varsayalım , o zaman binomial ve bunu R de simüle edebilirim, diyelim ki : $X_i$ $p$ $p(1-p)$ $Y$ $p=\frac13$

set.seed(1)
cases <- 100000
n <- 1000
p <- 1/3
Y <- rbinom(cases, size=n, prob=p)
Z <- sqrt(abs(Y))

bu da için ümit edilen ortalama ve varyans verir $Z$

> c(mean(Z), sqrt(n*p - (1-p)/4))
[1] 18.25229 18.25285
> c(var(Z), (1-p)/4)
[1] 0.1680012 0.1666667

ve Gauss'a yakın bir QQ grafiği

qqnorm(Z)

normal-distribution central-limit-theorem sum

— Henry
kaynak

@MichaelM: Bu yorumlar için teşekkürler. Ben negatif olmayan ile başlamıştım , ama tarif ettiğiniz sezgisel asimtotik davranışın daha fazla dağıtım için bir genellemeye izin verdiğini düşündüm. Sürprizlerim (a) toplamın kare kökünün varyansının bağlı olmayan bir sabite eğilimi olduğu ve (b) Gaussian'a çok yakın görünen bir dağılımın ortaya çıkmasıydı. Bir karşı örnek memnuniyetle karşılanacaktır, ancak başlangıçta Gausscu olmayan diğer davaları denediğimde, artan , dağılımı CLT tipi bir sonuca geri getirmiş gibi görünüyordu.

X_{i}

$X_i$

n

$n$

n

$n$

— Henry

Bu doğal bir sonucu, IID rastgele uygun (çarpma ile ölçeklenir değişkenlerin kök ortalama kare (ya da ikinci dereceden ortalama) olan şartıyla bir Gauss dağılımı da bir aritmetik ortalama gibi) yakınsak th an temel dağılım sonludur.

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

4

$4$

— Henry

Sadece kısa bir yorum: iddia Delta yönteminin özel bir durumudur, Casella & Berger'in "İstatistiksel çıkarım" kitabındaki Teorem 5.5.24'e bakınız.

— Michael M

@Michael: Belki şu anda olmadığım bir şey görüyorsunuz, ancak bu özel sorunun klasik Delta yönteminin varsayımlarına uyduğunu düşünmüyorum (örneğin, referansta bulunduğunuz teoremde belirtildiği gibi). Not, (nontrivially dağıtımı birleşirler etmez ) ve benzeri "Delta yöntemini uygulayarak " gerekli şartları karşılamamaktadır. Bununla birlikte, S. Catterall'ın cevabının gösterdiği gibi, doğru cevaba yol açan kullanışlı bir sezgisel tarama sağlar.

Y

$Y$

R

$\mathbb R$

g (y) = \sqrt{| y |}

$g(y) = \sqrt{|y|}$

— kardinal

( Delta yönteminin ispatını yukarıda belirtilen sezgisel olarak tamamen titiz hale getirmek için yukarıdakine benzer vakalara uyarlayabileceğinize inanıyorum .)

— kardinal

Bir Gauss'a yakınlaşma aslında genel bir fenomendir.

Diyelim ki ortalama ve varyans olan IID rastgele değişkenler ve toplamlarını tanımlayın . Bir sayıyı düzeltin . Her zamanki Merkezi Limit Teoremi söyler olduğu gibi , nerede olduğunu standart normal cdf. Bununla birlikte, sınırlayıcı sürekliliği $X_1,X_2,X_3,...$ $\mu\gt 0$ $\sigma^2$ $Y_n=\sum_{i=1}^n X_i$ $\alpha$ $P(\frac{Y_n-n\mu}{\sigma\sqrt n}\leq \alpha)\to\Phi(\alpha)$ $n\to\infty$ $\Phi$

P (\frac{Y_{n} - n μ}{σ \sqrt{n}} \leq α + \frac{α^{2} σ^{2}}{4 μ σ \sqrt{n}}) \to Φ (α)

$P\Big(\frac{Y_n-n\mu}{\sigma\sqrt n}\leq \alpha+\frac{\alpha^2 \sigma^2}{4\mu\sigma\sqrt n}\Big)\to\Phi(\alpha)$ çünkü eşitsizliğin sağ tarafındaki ek terim sıfıra eğilimlidir. Bu ifadeyi yeniden düzenlemek

P (Y_{n} \leq (\frac{α σ}{2 \sqrt{μ}} + \sqrt{n μ})^{2}) \to Φ (α)

$P\Big(Y_n\leq (\frac{\alpha\sigma}{2\sqrt \mu}+\sqrt{n\mu})^2\Big)\to\Phi(\alpha)$

almak ve olduğunu ima ettiğine göre , Başka bir deyişle, . Bu sonuç, olarak bir Gaussian'a yakınsamayı gösterir . $\mu\gt 0$ $P(Y_n\lt 0)\to 0$

P (\sqrt{| Y_{n} |} \leq \frac{α σ}{2 \sqrt{μ}} + \sqrt{n μ}) \to Φ (α)

$P\Big(\sqrt{|Y_n|}\leq \frac{\alpha\sigma}{2\sqrt \mu}+\sqrt{n\mu}\Big)\to\Phi(\alpha)$

\frac{\sqrt{| Y_{n} |} - \sqrt{n μ}}{σ / 2 \sqrt{μ}} \overset{d}{\to} N (0, 1)

$\frac{\sqrt{|Y_n|}-\sqrt{n\mu}}{\sigma/{2\sqrt\mu}}\xrightarrow{d}N(0,1)$

n \to \infty

$n\to\infty$

Bu büyük için a iyi bir yaklaşım olduğu anlamına mı geliyor ? Bundan daha iyisini yapabiliriz. @Henry belirttiği gibi, her şey olumlu olduğunu varsayarak, kullanabiliriz ile birlikte, ve yaklaşık , iyileştirilmiş yaklaşımı elde etmek için yukarıdaki soruda belirtildiği gibi . Ayrıca hala çünkü $\sqrt{n\mu}$ $E[\sqrt{|Y_n|}]$ $n$ $E[\sqrt{Y_n}]=\sqrt{E[Y_n]-\text{Var}(\sqrt{Y_n})}$ $E[Y_n]=n\mu$ $\text{Var}(\sqrt{Y_n})\approx \frac{\sigma^2}{4\mu}$ $E[\sqrt{|Y_n|}]\approx\sqrt{n\mu- \dfrac{\sigma^2}{4\mu}}$

\frac{\sqrt{| Y_{n} |} - \sqrt{n μ - \frac{σ^{2}}{4 μ}}}{σ / 2 \sqrt{μ}} \overset{d}{\to} N (0, 1)

$\frac{\sqrt{|Y_n|}-\sqrt{n\mu-\frac{\sigma^2}{4\mu}}}{\sigma/{2\sqrt\mu}}\xrightarrow{d}N(0,1)$

\sqrt{n μ - \frac{σ^{2}}{4 μ}} - \sqrt{n μ} \to 0

$\sqrt{n\mu-\frac{\sigma^2}{4\mu}}-\sqrt{n\mu}\to 0$ olarak .

n \to \infty

$n\to\infty$

— S. Catterall Reinstate Monica
kaynak

Sen eklemeniz gerekebilir kadar benim sonuç almak için

\sqrt{n μ} - \sqrt{n μ - \frac{σ^{2}}{4 μ}} \to 0

$\sqrt{n \mu}-\sqrt{n \mu-\tfrac{\sigma^2}{4\mu}} \to 0$

n \to \infty

${n \to \infty}$

— Henry

Sen değiştirebilirsiniz @Henry ile herhangi sabiti için ve bu sınırlayıcı dağılımı değişmez, ancak derecesini değiştirebilir hangi , belirli büyük için e iyi bir yaklaşımdır . Birlikte nasıl aklına geldi ?

\sqrt{n μ}

$\sqrt{n\mu}$

\sqrt{n μ - k}

$\sqrt{n\mu-k}$

k

$k$

\frac{\sqrt{| Y_{n} |} - \sqrt{n μ - k}}{σ / 2 \sqrt{μ}}

$\frac{\sqrt{|Y_n|}-\sqrt{n\mu-k}}{\sigma/{2\sqrt\mu}}$

N (0, 1)

$N(0,1)$

n

$n$

\sqrt{n μ - \frac{σ^{2}}{4 μ}}

$\sqrt{n \mu-\tfrac{\sigma^2}{4\mu}}$

— S. Catterall Monica'yı

Biz , böylece . Her şeyin pozitif olduğunu varsayarsak , paydasını alırken , önerir ve bunları birleştirmek yol açar .

Var (Z) = E [Z^{2}] - (E [Z])^{2}

$\text{Var}(Z)=E[Z^2]-(E[Z])^2$

E [Z] = \sqrt{E [Z^{2}] - Var (Z)}

$E[Z]=\sqrt{E[Z^2]-\text{Var}(Z)}$

E [Z^{2}] = E [Y] = n μ

$E[Z^2]=E[Y]=n\mu$

\frac{\sqrt{| Y_{n} |} - \sqrt{n μ}}{σ / 2 \sqrt{μ}}

$\frac{\sqrt{|Y_n|}-\sqrt{n\mu}}{\sigma/{2\sqrt\mu}}$

Var (Z) \approx \frac{σ^{2}}{4 μ}

$\text{Var}(Z) \approx \dfrac{\sigma^2}{4\mu}$

E [Z] \approx \sqrt{n μ - \frac{σ^{2}}{4 μ}}

$E[Z] \approx \sqrt{n\mu- \dfrac{\sigma^2}{4\mu}}$

— Henry

Tamam, teşekkürler, şimdi cevabımda bunu anlatmaya çalıştım.

— S. Catterall Monica'yı