İstatistikçiler neden rastgele matrisler tanımladılar?

On yıl önce matematik okudum, bu yüzden matematik ve istatistik geçmişim var, ama bu soru beni öldürüyor.

Bu soru benim için hala biraz felsefi. İstatistikçiler neden rastgele matrislerle çalışmak için her türlü tekniği geliştirdiler? Demek istediğim, rastgele bir vektör sorunu çözmedi mi? Değilse, rastgele bir matrisin farklı sütunlarının anlamı nedir? Anderson (2003, Wiley) rastgele bir vektörün, sadece bir sütuna sahip rastgele bir matrisin özel bir durumu olduğunu düşünmektedir.

Rastgele matrislere sahip olduğum noktayı görmüyorum (ve eminim bunun nedeni bilgisiz olduğum için). Ama benimle kal. 20 rastgele değişkenli bir modelim olduğunu varsayın. Eğer ortak olasılık fonksiyonunu hesaplamak istersem, bunları neden vektör yerine matris olarak görmeliyim?

Neyi kaçırıyorum?

ps: Kötü etiketlenmiş soru için üzgünüm, ancak rastgele matris için etiket yoktu ve henüz bir tane oluşturamıyorum!

edit: matris başlığında matris olarak değiştirildi

Hangi alana girdiğinize bağlıdır, ancak rastgele matrislerin araştırılması için ilk büyük itme kuvvetlerinden biri atom fiziğinden çıktı ve Wigner tarafından öncülük edildi. Burada kısa bir genel bakış bulabilirsiniz . Spesifik olarak, tonlarca ilgi yaratan rastgele matrislerin özdeğerleri (atom fiziğindeki enerji seviyeleri) özdeğerlerdi, çünkü özdeğerler arasındaki korelasyonlar nükleer bozunma süreçlerinin emisyon spektrumu hakkında fikir verdi.

Son zamanlarda, bu alanda büyük bir yeniden canlanma oldu, Tracy-Widom dağılımının / gelişmelerinin rastgele matrislerin en büyük özdeğerleri için ortaya çıkması ve döşeme teorisi , istatistiksel fizik, entegre edilebilir gibi görünüşte ilgisiz alanlara çarpıcı bağlantılar sistemleri , KPZ fenomenleri , rastgele kombinatorik ve hatta Riemann Hipotezi . Burada daha fazla örnek bulabilirsiniz .

Daha fazla toprak örneği için, satır vektörleri matrisi hakkında sorulacak doğal bir soru, PCA bileşenlerinin nasıl görünebileceğidir. Verilerin bir miktar dağıtımdan geldiğini varsayarak ve rasgele matris evrenselliğinden tahmin edilecek olan kovaryans matris özdeğerlerine bakarak bunun için sezgisel tahminler alabilirsiniz : vektörlerinizin dağılımından (sebep dahilinde) bağımsız olarak özdeğerler her zaman bilinen bir dizi sınıfa yaklaşacaktır. Bunu rastgele matrisler için bir çeşit CLT olarak düşünebilirsiniz. Örnekler için bu makaleye bakın .

Rastgele vektör uygulamaları ile rahat görünüyorsunuz. Örneğin, her gün bu tür rastgele vektörlerle ilgileniyorum: farklı tenörlerin faiz oranları. Federal Rezerv Bankası H15 serisine sahiptir , 4 haftalık, 3 aylık, 6 aylık ve 1 yıllık Hazine bonolarına bakın. Bu 4 oranı 4 elementli bir vektör olarak düşünebilirsiniz. Rastgele de quire, aşağıdaki grafikte yer alan tarihsel değerlere bakın.

Herhangi bir rastgele sayıda olduğu gibi kendimize sorabiliriz: aralarındaki kovaryans nedir? Şimdi 4x4 kovaryans matrisi elde edersiniz. Eğer bunu bir aylık günlük verilerde tahmin ederseniz, birbiriyle örtüşmemelerini istiyorsanız her yıl 12 farklı kovaryans matrisi elde edersiniz. Rastgele serilerin örnek kovaryans matrisinin kendisi rastgele bir nesnedir, bkz. burada . Onun peşinde bir dağıtım var .

Bu rastgele matrislere ulaşmanın bir yoludur. Gördüğünüz gibi rastgele matris teorisinin (RMT) finansta kullanılması şaşırtıcı değil.

Teorik fizikte rastgele matrisler, belirli simetrili sistemlerin enerji spektrumlarının evrensel özelliklerini anlamak için önemli bir rol oynarlar.

Teorik fizikteki geçmişim burada biraz önyargılı bir bakış açısı sunmama neden olabilir, ancak rastgele matris teorisinin (RMT) popülaritesinin fizikteki başarılı uygulamasından kaynaklandığını bile ileri sürdüm.

Çok fazla ayrıntıya girmeden, örneğin kuantum mekaniğinde enerji spektrumları, bir hermitian matris olarak ifade edilebilen Hamiltonian sistemlerinin özdeğerlerini hesaplayarak elde edilebilir. Genellikle fizikçiler belirli sistemlerle ilgilenmezler, ancak kaotik özelliklere sahip kuantum sistemlerinin genel özelliklerinin ne olduğunu bilmek isterler, bu da hermitian Hamilton matrisinin değerlerini, enerjinin veya diğer parametrelerin değişmesi üzerine matris uzayını ergodik olarak doldurmaya yönlendirir ( örneğin sınır koşulları). Bu, bir fiziksel sistem sınıfını rastgele matrisler olarak ele almayı ve bu sistemlerin ortalama özelliklerine bakmayı motive eder. Bu daha derine dalmak istiyorsanız, Bohigas-Gianonni-Schmidt konjonktürü üzerine literatürü tavsiye ederim.

Kısacası, örneğin, zaman ters simetrisi olan sistemlerin enerji seviyelerinin, zaman ters simetrisi olmayan sistemlerin enerji seviyelerinden (örneğin, bir manyetik alan eklerseniz gerçekleşir) evrensel olarak farklı davrandığı gösterilebilir. Aslında Gauss rasgele matrisleri kullanarak oldukça kısa bir hesaplama, enerji seviyelerinin her iki sistemde de farklı yakın olma eğiliminde olduğunu gösterebilir.

Bu sonuçlar, parçacık fiziği veya mezoskopik ulaştırma teorisi ve hatta finansal piyasalar gibi farklı alanlarda büyük etkisi olan diğer simetrileri de genişletebilir ve anlamaya yardımcı olabilir.

Doğrusal bir harita, vektör uzayları arasındaki bir haritadır. Doğrusal bir haritanız olduğunu ve alan adı ve aralık alanları için üs seçtiğinizi varsayalım. Sonra doğrusal haritayı kodlayan bir matris yazabilirsiniz. Bu iki boşluk arasındaki rastgele doğrusal haritaları düşünmek istiyorsanız, rastgele matrisler teorisi bulmalısınız. Rastgele projeksiyon böyle bir şeyin basit bir örneğidir.

Ayrıca fizikte matris / tensör değerli nesneler vardır. Viskoz gerilme tensörü böyle bir (gerçek bir hayvanat bahçesi arasında). Neredeyse homojen bir viskoelastik malzemede, suşların modellenmesi (elastik, viskoz, et al.) Ve dolayısıyla gerilmeleri küçük varyanslı rastgele bir tensör olarak noktaya doğru yerleştirmek yararlı olabilir. Her ne kadar bu gerilim / zorlanma için "doğrusal bir harita" duygusu olsa da, rastgele matrislerin bu uygulamasını zaten bir matris olan bir şeyi randomize etmek olarak tanımlamak daha dürüsttür.

Görüntü işlemede bir uygulama olarak sıkıştırıcı algılama, 2D sinyalin birleşik ölçümleri olarak rastgele matrislere dayanır. Bu matrislerin spesifik özellikleri, yani tutarlılık , bu matrisler için tanımlanır ve teoride rol oynar.

Oldukça basitleştirildiğinde, bir Gauss matrisinin ve seyrek bir giriş sinyalinin belirli bir ürününün L1 normunu en aza indirmenin beklediğinizden çok daha fazla bilgi kurtarmanıza izin verdiği ortaya çıkıyor.

Bu alanda bildiğim en önemli erken araştırma Rice Üniversitesi'nin çalışması: http://dsp.rice.edu/research/compressive-sensing/random-matrices

"Bir sinyalin ölçümü" olarak matris ürünleri teorisi en azından WW2'ye kadar uzanır. Eski bir profesörümün bana anlattığı gibi, sifiliz için her ordu üyesini ayrı ayrı test etmek maliyet kısıtlayıcıydı. Bu numunelerin sistematik bir şekilde karıştırılması (her bir kan örneğinin kısımlarını birlikte karıştırarak ve test ederek) bir testin kaç kez yapılması gerektiğini azaltacaktır. Bu, seyrek bir matris ile çarpılan rastgele bir ikili vektör olarak modellenebilir.