Moment üreten fonksiyonların kimliği

Aynı moment üreten işleve sahip aynı olmayan dağılımlar var mı?

Evet.

Bir seride, Stuart & Ord ( İstatistik Kendall Gelişmiş Teorisi .., 5. Baskı, Ör 3.12) (görünüşte onun görünen TJ Stieltjes 1918 sonuç alıntı Oeuvres tamamlar , ):

Eğer süresinin tek bir fonksiyonudur $f$ , göster$\frac{1}{2}$

$$\int_0^\infty x^r x^{-\log x} f(\log x) dx = 0$$

tüm integral değerleri için . Böylece dağılımların$r$

$$dF = x^{-\log x}(1 - \lambda \sin(4\pi \log x))\ dx, \quad 0 \le x \lt \infty;\quad 0 \le |\lambda| \le 1,$$

değeri ne olursa olsun aynı anlara sahip olun .$\lambda$

(Orijinal olarak, sadece görünür X ; boyutuna sınırlama X yoğunluk fonksiyonu tüm değerleri tutmaya ihtiyacı doğar d F ., Negatif olmayan) egzersiz ikame ile çözmek kolaydır X = exp ( y ) ve karenin tamamlanması. Durumda λ = 0 iyi bilinmektedir lognormal dağılım .$|\lambda|$$\lambda$$\lambda$$dF$$x = \exp(y)$$\lambda=0$

$\lambda=0$$\lambda = -1/4$$\lambda = 1/2$