11

Diyelim ki $Y$ sürekli rasgele bir değişken ve $X$ de ayrık bir değişken .

Pr (X = x | Y = y) = \frac{Pr (X = x) Pr (Y = y | X = x)}{Pr (Y = y)}

$\Pr(X=x|Y=y) = \frac{\Pr(X=x)\Pr(Y=y|X=x)}{\Pr(Y=y)}$

Bilindiği gibi, $\Pr(Y=y) = 0$ için $Y$ bir sürekli rastgele değişkendir. Ve buna dayanarak, $\Pr(X=x|Y=y)$ olasılığının tanımsız olduğu sonucuna varıyorum .

Ancak Wikipedia burada aslında şu şekilde tanımlandığını iddia ediyor:

Pr (X = x | Y = y) = \frac{Pr (X = x) f_{Y | X = x} (y)}{f_{Y} (y)}

$\Pr(X=x|Y=y) = \frac{\Pr(X=x) f_{Y|X=x}(y)}{f_Y(y)}$

Soru: Wikipedia'nın bu olasılığı tanımlamayı nasıl başardığı hakkında bir fikrin var mı?

Girişimi

İşte Wikipedia sonucunu sınırlar açısından elde etme girişimim:

\begin{aligned} Pr (X = x | Y = y) & = \frac{Pr (X = x) Pr (Y = y | X = x)}{Pr (Y = y)} \\ = lim_{d \to 0} \frac{Pr (X = x) (d \times f_{Y | X = x} (y))}{(d \times f_{Y} (y))} \\ = lim_{d \to 0} \frac{Pr (X = x) (d \times f_{Y | X = x} (y))}{(d \times f_{Y} (y))} \\ = \frac{Pr (X = x) f_{Y | X = x} (y)}{f_{Y} (y)} \end{aligned}

$\begin{split}\require{cancel} \Pr(X=x|Y=y) &= \frac{\Pr(X=x)\Pr(Y=y|X=x)}{\Pr(Y=y)}\\ &= \lim_{d \rightarrow 0}\frac{\Pr(X=x) \big(d \times f_{Y|X=x}(y)\big)}{\big(d \times f_Y(y)\big)}\\ &= \lim_{d \rightarrow 0}\frac{\Pr(X=x) \big(\cancel{d} \times f_{Y|X=x}(y)\big)}{\big(\cancel{d} \times f_Y(y)\big)}\\ &= \frac{\Pr(X=x) f_{Y|X=x}(y)}{f_Y(y)}\\ \end{split}$

Şimdi, olarak tanımlanır görünmektedir , stoktaki Wikipedia iddia ediyor. $\Pr(X=x|Y=y)$ $\frac{\Pr(X=x) f_{Y|X=x}(y)}{f_Y(y)}$

Wikipedia böyle mi yaptı?

Ama yine de burada hesabı kötüye kullandığımı hissediyorum. Bu yüzden tanımsız olduğunu düşünüyorum, ancak ve tanımlamak için olabildiğince yakınlaştık , ancak etkin değil, o zaman tanımlanır. $\Pr(X=x|Y=y)$ $\Pr(Y=y)$ $\Pr(Y=y|X=x)$ $\Pr(X=x|Y=y)$

Ama orada yaptığım sınırlar da dahil olmak üzere birçok şeyden büyük ölçüde emin değilim, belki de yaptığımın anlamını tam olarak anlamadığımı hissediyorum.

conditional-probability pdf

— mağara adamı
kaynak

1

Gerçekten de, Pr (X = x) = 0 fakat xf (x) içindeki X'in yoğunluğu 0'a eşit olmayabilir. 'Kendi kendine çalışma' etiketi kullanmamalısınız ??

— Lil'Lobster

2

@Lil Bildiğim kadarıyla, 'kendi kendine çalışma' etiketi ödevleri çözerken. Bunu yapmıyorum.

— mağara adamı

1

Wikipedia sayfası aslında

— türetmeyi

3

Korkarım, sürekli olduğunda için tüm olarak matematiksel bir gerekçesi yoktur .

P (Y = y) = 0

$\mathbb{P}(Y=y)=0$

y \in Y

$y\in\mathcal{Y}$

Y

$Y$

— Xi'an

10

Koşullu olasılık dağılımı , , , resmen denkleminin bir çözümü olarak tanımlanır burada , dağılımı ile ilişkili cebirini belirtir . Bu çözümlerden biri, Wikipedia'da belirtildiği gibi Bayes (1763) formülüyle sağlanır : $\mathbb{P}(X=x|Y=y)$ $x\in\mathcal{X}$ $y\in\mathcal{Y}$

P (X = x, Y \in A) = \int_{A} P (X = x | Y = y) f_{Y} (y) d y \forall A \in σ (Y)

$\mathbb{P}(X=x,Y\in A)=\int_{A}\mathbb{P}(X=x|Y=y)f_Y(y)\text{d}y\quad\forall A\in\sigma(\mathcal{Y})$

σ (Y)

$\sigma(\mathcal{Y})$

σ

$\sigma$

Y

$Y$

P (X = x | Y = y) = \frac{P (X = x) f_{Y | X = x} (y)}{f_{Y} (y)} \forall x \in X, y \in Y

$\mathbb{P}(X=x|Y=y) = \dfrac{\mathbb{P}(X=x) f_{Y|X=x}(y)}{f_Y(y)}\qquad\forall x\in\mathcal{X},\ y\in\mathcal{Y}$ içinde ayarlanmış bir sıfır ölçüsünde keyfi olarak tanımlanan sürümler de geçerlidir.

σ (Y)

$\sigma(\mathcal{Y})$

Olasılığı 0 olan izole bir hipotez ile ilgili koşullu bir olasılık kavramı kabul edilemez. Çünkü meridyen çemberinde [enlem] için bir olasılık dağılımı elde edebiliriz, ancak bu çemberi verilen küresel direkler ile tüm küresel yüzeyin meridyen çemberlerine ayrışmasının bir unsuru olarak düşünürsek - Andrei Kolmogorov

Borel-Kolmogorov paradoksunda gösterildiği gibi , potansiyel olarak alınan belirli bir değeri , koşullu olasılık dağılımı , sadece olayı nedeniyle değil, kesin bir anlamı yoktur. sıfır , fakat aynı zamanda bu olayın sınırsız sayıda -algebras aralığına karşı ölçülebilir olarak yorumlanabilmesi nedeniyle . $y_0$ $Y$ $\mathbb{P}(X=x|Y=y_0)$ $\{\omega;\,Y(\omega)=y_0\}$ $\sigma$

Not: İşte daha da resmi bir giriş, Terry Tao'nun blogundaki olasılık teorisinin gözden geçirilmesi :

Tanım 9 (Parçalanma) , aralığına sahip rastgele bir değişken olsun . Bir dağılma altında yatan, örnek uzay ile ilgili olarak , bir alt kümesi ve tam ölçü (böylece hemen hemen daima), birlikte bir olasılık ölçü atama ile altuzaydan ve her , anlamında ölçülebilir $Y$ $R$ $(R', (\mu_y)_{y \in R'})$ $\Omega$ $Y$ $R'$ $R$ $\mu_Y$ $Y \in R'$ ${\bf P}(|Y=y)$ $\Omega_y := \{ \omega \in \Omega: Y(\omega)=y\}$ $\Omega$ $y \in R$ $y \mapsto {\bf P}(F|Y=y)$ her olayı için ölçülebilir ve bu tür tüm olaylar için , burada (hemen hemen kesin tanımlı) rastgele eşit tanımlanan değişken her . $F$
$P (F) = E P (F | Y)$ $\displaystyle {\bf P}(F) = {\bf E} {\bf P}(F|Y)$ ${\bf P}(F|Y)$ ${\bf P}(F|Y=y)$ $Y=y$
Böyle bir parçalanma göz önüne alındığında, sonra olabilir etkinliğe durum herhangi değiştirerek bölme odası ile (teşvik edilmiş olan , fakat bunun altında uzanan olasılık ölçüsü değiştirilmesi cebiri) ile . Böylece koşullu alanda koşullu olaylar ve rasgele değişkenler oluşturmak için koşullu olasılıklar ve rasgele değişkenler bu olaya koşullandırabiliriz $Y=y$ $y \in R'$ $\Omega$ $\Omega_y$ $\sigma$ ${\bf P}$ ${\bf P}(|Y=y)$ $F$ $X$ $(F|Y=y)$ $(X|Y=y)$ ${\bf P}(F|Y=y)$ (bu ifade için mevcut gösterimle tutarlıdır) ve koşullu beklentiler (bu koşullandırılmış alanda mutlak entegrasyon olduğu varsayılarak). Daha sonra ayarlanmış (hemen hemen kesin tanımlı) rastgele eşit tanımlanmış bir değişken olduğu zaman . ${\bf E}(X|Y=y)$ ${\bf E}(X|Y)$ ${\bf E}(X|Y=y)$ $Y=y$

— Xi'an
kaynak

1

Zaten + 1'ledim, ama ... belki de nitpicking, ama Bayes teoremine Bayes / Laplace'ın formülü olarak bahsetmek daha doğru olmaz mıydı?

— Tim

2

@Tim: teşekkür ederim, ama aşırı şovenist gelmek istemiyorum! Ve Bayes'in ayrık (Binom) ve sürekli (Beta) formülünün Bayes (1763) belgesinde yer aldığı bir gerçektir . Elbette, Laplace sonucu çok daha geniş bir genelliğe yerleştirdi.

X

$X$

Y

$Y$

— Xi'an

4

sürekli ve ayrık olduğunda parçaların birbirine nasıl oturabileceğinin bir taslağını vereceğim . $Y$ $X$

Karışık eklem yoğunluğu:

f_{X Y} (x, y)

$f_{XY}(x,y)$

Marjinal yoğunluk ve olasılık:

f_{Y} (y) = \sum_{x \in X} f_{X Y} (x, y)

$f_Y(y) = \sum_{x \in X} f_{XY}(x, y)$

P (X = x) = \int f_{X Y} (x, y) d y

$P(X = x) = \int f_{XY}(x, y) \;dy$

Koşullu yoğunluk ve olasılık:

f_{Y ∣ X} (y ∣ X = x) = \frac{f_{X Y} (x, y)}{P (X = x)}

$f_{Y\mid X}(y \mid X = x) = \frac{f_{XY}(x, y)}{P(X=x)}$

P (X = x ∣ Y = y) = \frac{f_{X Y} (x, y)}{f_{Y} (y)}

$P(X=x \mid Y = y) = \frac{f_{XY}(x, y)}{f_Y(y)}$

Bayes Kuralı:

f_{Y ∣ X} (y ∣ X = x) = \frac{P (X = x ∣ Y = y) f_{Y} (y)}{P (X = x)}

$f_{Y\mid X}(y \mid X = x) = \frac{P(X=x \mid Y = y) f_Y(y)}{P(X=x)}$

P (X = x ∣ Y = y) = \frac{f_{Y ∣ X} (y ∣ X = x) P (X = x)}{f_{Y} (y)}

$P(X=x \mid Y = y) = \frac{f_{Y\mid X}(y \mid X = x)P(X=x)}{f_Y(y)}$

Elbette, olasılıkla baş etmenin modern ve titiz yolu ölçü teorisidir. Bir kesin tanım için bkz. Xi'an'ın cevabı.

— Matthew Gunn
kaynak

2

Wikipedia makalesinin aslında şu tanımı kullandığını unutmayın: Yani sonuca sahip olduğunuz olasılık değil, yoğunluk olarak davranır. Bu yüzden sürekli ve ayrık olduğunda tanımsız olduğunu söyleyebilirim, bu nedenle bu durumda sadece üzerindeki olasılık yoğunluklarını dikkate alıyoruz .

f_{X} (x | Y = y) = \frac{P (Y = y | X = x) f_{X} (x)}{p (Y = y)}

$f_X(x|Y=y) = \frac{P(Y=y|X=x)f_X(x)}{p(Y=y)}$

P (X = x | Y = y)

$P(X=x|Y=y)$

X

$X$

Y

$Y$

X

$X$

Düzenleme: Gösterim hakkında bir karışıklık nedeniyle (bkz. Yorumlar) yukarıdaki aslında mağara adamı ne soruyor ters durumdan söz eder.

— Ruben van Bergen
kaynak

Ne olduğunu

Girişimi