Medyan'ın dışında olduğu karşı örnekler [Mod-Ortalama]

Bu makale ligimin üstünde ancak ilgilendiğim bir konu, ortalama, mod ve medyan arasındaki ilişki hakkında konuşuyor. Diyor ki :

Tek modlu bir dağılımın medyanının ortalama ve mod arasında "genellikle" olduğuna inanılmaktadır. Ancak bu her zaman doğru değildir...

Benim sorum : Biri medyan [mod, ortalama] aralığının dışında olduğunda sürekli unimodal (ideal olarak basit) dağılım örnekleri verebilir mi? Örneğin, bir dağıtım gibi mode < mean < median.

=== DÜZENLE =======

Glen_b ve Francis'in zaten iyi cevapları var, ama gerçekten ilgilendiğim şeyin, mod <ortalama <medyan veya medyan <ortalama <modun (her ikisinin de medyan [mod, ortalama] VE medyan "ortalama mod" ile aynı tarafta (yani modun üstünde veya altında)). Buradaki cevapların yeni bir soru olduğunu kabul edebilir miyim, yoksa birisi doğrudan buraya bir çözüm önerebilir mi?

Tabii ki, medyanın ortalama ve mod arasında olmadığı örnekler - sürekli tek modüler olanlar bile - bulmak zor değil.

1. biçiminin üçgen dağılımından düşününf T ( t ) = 2 ( 1 - t ) 1 0 < t < $T_1,T_2$$f_T(t) = 2(1-t) \mathbb{1}_{0<t<1}$

   Şimdi , 60-40 ve karışımı .T 1 - 4 , T $X$$T_1$$-4T_2$

   yoğunluğu şöyle görünür:$X$

   

   Ortalama 0'ın altında, mod 0'dadır, ancak medyan 0'ın üzerindedir. Bunun küçük bir modifikasyonu, yoğunluğun (sadece cdf'den ziyade) sürekli olduğu, ancak konum ölçümleri arasındaki ilişkinin aynı (düzenleme: aşağıya bakınız 3.).

2. Genelleme en bir kısmının etsinler ile ( sağ tarafı üçgen içine toplam olasılık ve bir oran) 0.6 ve 0.4 arasında bir yerde (sol taraftaki üçgene daha önce de vardı). Ayrıca, ölçeklendirme faktörünü yerine sol yarısında ( ):0 < p < 1 ( 1 - p ) - β - 4 β > $p$$0<p<1$$(1-p)$$-\beta$$-4$$\beta>0$

   

   Şimdi varsayıldığında , medyan her zaman sağ üçgenin kapsadığı aralıkta olacaktır, bu nedenle medyan modu geçecektir (her zaman kalacak ). Özellikle, olduğunda, medyan . 0p>$p>\frac12$$0$ 1-1/$p>\frac12$$1-1/\sqrt{2p}$

   Ortalama .$(p - \beta(1-p))/3$

   Eğer , o zaman, ortalama modu altında olacak ve β < p / ( 1 - p ) ortalama modu üzerinde olacaktır.$\beta>p/(1-p)$$\beta< p/(1-p)$

   Öte yandan, istediğimiz Ortalamayı ortanca altında tutmak için 2 p .$(p - \beta(1-p))/3 < 1-1/\sqrt{2p}$

   Göz önünde ; bu medyanı modun üstüne getirir.$p=0.7$

   O zaman β < p / ( 1 - p ) 'yi karşılar , böylece ortalama modun üzerindedir.$\beta=2$$\beta<p/(1-p)$

   Medyan de aslında ortalama 0.7 - 2 iken ( 0.3 $1-1/\sqrt{1.4}\approx 0.1548$. Bu nedenlep=0.7veβ=2 için<ortalama <medyan moduna sahibiz.$\frac{0.7-2(0.3)}{3}\approx 0.0333$$p=0.7$$\beta=2$

   (Not: Gösterimle tutarlılık için, her iki grafik için x eksenindeki değişken t yerine olmalıdır, ancak geri dönüp düzeltmeyeceğim.)$x$$t$

3. Bu, yoğunluğun kendisinin sürekli olduğu bir örnektir. Yukarıdaki 1. ve 2. yaklaşımlara dayanmaktadır, ancak "atlama" dik bir eğimle değiştirilmiştir (ve daha sonra tüm eğim yaklaşık 0'a çevrilmiştir, çünkü sağa eğik görünen bir örnek istiyorum).

   

   ["Üçgen yoğunlukların karışımı" yaklaşımı kullanılarak, 1. bölümde açıklanan üçgen formun 3 bağımsız ölçekli varyantının bir karışımı olarak üretilebilir. Şimdi% 15 ,% 60 - 3 T 2 ve% 25 5 var. T 3. ]$T_1$$-3T_2$$5T_3$

   Yukarıdaki şemada gördüğümüz gibi, ortalama istendiği gibi ortadadır.

4. $[\text{mode},\text{mean}]$$k$

   Özellikle, Weibull şekil parametresinin küçük değerleri için, dağıtım sağ eğridir ve mod ve ortalama arasındaki olağan medyan durumumuz vardır, Weibull şekil parametresinin büyük değerleri için ise dağılım sol eğridir ve yine "ortadaki medyan" duruma sahibiz (ama şimdi mod ortalamadan ziyade sağda). Bu durumlar arasında, medyanın ortalama mod aralığının dışında olduğu küçük bir bölge vardır ve bunun ortasında ortalama ve modun kesiştiği yer:

         k                 order
    (0,3.2589)      mode < median < mean
     ≈ 3.2589       mode = median < mean
   (3.2589,3.3125)  median < mode < mean    (1)
     ≈ 3.3215       median < mode = mean
   (3.3215,3.4395)  median < mean < mode    (2)
     ≈ 3.4395       median = mean < mode
     3.4395+        mean < median < mode
     (≈3.60235      moment-skewness = 0)
   

   Yukarıdaki (1) ve (2) işaretli aralıklarla şekil parametresi için uygun değerler seçmek - konum istatistikleri arasındaki boşlukların eşit olduğu değerler - şunu elde ederiz:

   

   Bunlar gereksinimleri karşılasa da, maalesef üç konum parametresi birbirine o kadar yakın ki, onları görsel olarak ayırt edemeyiz (hepsi aynı piksele düşüyor), bu biraz hayal kırıklığı yaratıyor - önceki örneklerimin durumları çok daha fazla ayrıldı. (Bununla birlikte, bazıları daha görsel olarak farklı sonuçlar verebilecek diğer dağıtımlarla inceleme durumları önermektedir.)

Aşağıdaki örnek, Jordan Stoyanov'un Olasılıktaki Karşı Örneklerinden alınmıştır .

$c$$\lambda$$X$

0 = = x <sonsuzluk için rate parametresi a ve a yoğunluğu (-ax) ile üstel dağılımı alın. Mod sıfırda. Tabii ki ortalama ve medyan 0'dan büyük. Cdf 1-exp (-ax) 'dır. Bu nedenle, exp (-ax) = x için 0.5 için medyan çözme için. Sonra -ax = ln (0.5) veya x = -ln (0.5) / a. Ortalama için ax exp (-ax) değerini 0'dan sonsuza entegre edin. Bir = 1 alın ve bir ortanca = -ln (0.5) = ln (2) ve ortalama = 1 var.

Yani mod <medyan <demek.