Parametreleştirilebilir kovaryans matrisi ile pozitif k-boyutlu çeyrek üzerinde dağılımlar nelerdir?

Aşağıdaki zzk 'ın sorusu negatif simülasyonları ile yaptığı problem üzerinde, ben, pozitif k boyutlu kadran üzerindeki dağılımları parametrized aileleri ne merak ediyorum kovaryans matrisi kendisi için seti olabilir. $\mathbb{R}_+^k$ $\Sigma$

Zzk ile tartışıldığı gibi , üzerindeki bir dağılımdan başlayıp doğrusal dönüşümünü uygulamak işe yaramaz. $\mathbb{R}_+^k$ $X \longrightarrow\Sigma^{1/2} (X-\mu) + \mu$

distributions multivariate-analysis covariance

— Xi'an
kaynak

Yanıtlar:

Bir çok değişkenli normal rasgele vektör sahip olduğunu varsayalım ile ve tam dereceli simetrik pozitif belirli matris .

(\log X_{1}, \dots, \log X_{k}) \sim N (μ, Σ),

$(\log X_1,\dots,\log X_k) \sim N(\mu,\Sigma) \, ,$

μ \in R^{k}

$\mu\in\mathbb{R}^k$

k \times k

$k\times k$

Σ = (σ_{i j})

$\Sigma=(\sigma_{ij})$

Lognormal için o kanıtlamak için zor değildir $(X_1,\dots,X_k)$

m_{i} := E [X_{i}] = e^{μ_{i} + σ_{i i} / 2}, i = 1, \dots, k,

$m_i := \textrm{E}[X_i] = e^{\mu_i + \sigma_{ii}/2} \, , \quad i=1,\dots,k\, ,$

c_{i j} := Cov [X_{i}, X_{j}] = m_{i} m_{j} (e^{σ_{i j}} - 1), i, j = 1, \dots, k,

$c_{ij} := \textrm{Cov}[X_i,X_j] = m_i \,m_j \,(e^{\sigma_{ij}} - 1) \, , \quad i,j=1,\dots,k\, ,$

ve bunu . $c_{ij}>-m_im_j$

Bu yüzden, ters bir soru sormak için: Verilen ve simetrik pozitif tanımlı matris , tatmin edici , öngörülen araçlara ve kovaryanslara sahip lognormal bir vektörümüz olacak. $m=(m_1,\dots,m_k)\in\mathbb{R}^k_+$ $k\times k$ $C=(c_{ij})$ $c_{ij}>-m_im_j$

μ_{i} = \log m_{i} - \frac{1}{2} \log (\frac{c_{i i}}{m_{i}^{2}} + 1), i = 1, \dots, k,

$\mu_i = \log m_i - \frac{1}{2} \log\left(\frac{c_{ii}}{m_i^2} + 1 \right) \, , \quad i=1,\dots,k \, ,$

σ_{i j} = \log (\frac{c_{i j}}{m_{i} m_{j}} + 1), i, j = 1, \dots, k,

$\sigma_{ij} = \log\left(\frac{c_{ij}}{m_i m_j} + 1 \right) \, , \quad i,j=1,\dots,k \, ,$

ve üzerindeki kısıtlama, doğal koşuluna eşdeğerdir . $C$ $m$ $\textrm{E}[X_i X_j]>0$

— Zen
kaynak

Müthiş Paulo! Bu soruyu cevaplayan kovaryans matrisinde hem çalışan bir çözüm hem de uygun koşul var . Log-normaller sonunda gammalardan daha elverişlidir.

— Xi'an

Aslında, kesinlikle yaya bir çözümüm var.

Start ve değerlerini uyacak şekilde iki parametre almak , . $X_1\sim \text{Ga}(\alpha_{11},\beta_{1})$ $\mathbb{E}[X_1]$ $\text{var}(X_1)$
Al ve değerlerini sığdırmak için üç parametre almak , ve . $X_2|X_1\sim \text{Ga}(\alpha_{21}X_1+\alpha_{22},\beta_{2})$ $\mathbb{E}[X_2]$ $\text{var}(X_2)$ $\text{cov}(X_1,X_2)$
Al ve değerlerini sığdırmak için dört parametre almak , , ve . $X_3|X_1,X_2\sim \text{Ga}(\alpha_{31}X_1+\alpha_{32}X_2+\alpha_{33},\beta_{3})$ $\mathbb{E}[X_3]$ $\text{var}(X_3)$ $\text{cov}(X_1,X_3)$ $\text{cov}(X_2,X_3)$

ve bunun gibi ... Bununla birlikte, moment denklemlerinin parametreleri ve doğrusal olmayan doğası üzerindeki kısıtlamalar göz önüne alındığında, bazı moment kümelerinin kabul edilebilir bir parametre kümesine karşılık gelmemesi olabilir.

Örneğin, olduğunda , $k=2$

β_{1} = μ_{1} / σ_{1}^{2}, α_{11} - μ_{1} β_{1} = 0

$\beta_1 =\mu_1/\sigma_1^2\,,\quad \alpha_{11}-\mu_1\beta_1 =0$

α_{22} = μ_{2} β_{2} - α_{21} μ_{1}, α_{21} = \frac{(σ_{12} + μ_{1} μ_{2} - μ_{2})}{σ_{1}^{2} + μ_{1}^{2} - μ_{1}} β_{2}

$\alpha_{22} = \mu_2\beta_2 - \alpha_{21}\mu_1\,,\quad \alpha_{21} = \dfrac{(\sigma_{12}+\mu_1\mu_2-\mu_2)}{\sigma^2_1+\mu_1^2- \mu_1}\beta_2$

\frac{(σ_{12} + μ_{1} μ_{2} - μ_{2})^{2}}{(σ_{1}^{2} + μ_{1}^{2} - μ_{1})^{2}} σ_{1}^{2} + \frac{μ_{2}}{β_{2}} = σ_{2}^{2} .

$\dfrac{(\sigma_{12}+\mu_1\mu_2-\mu_2)^2}{(\sigma^2_1+\mu_1^2- \mu_1)^2} \sigma_1^2 + \dfrac{\mu_2}{\beta_2} = \sigma^2_2\,.$ ve için rasgele (ve a priori kabul edilebilir) değerlerle bir R kodu çalıştırmak, çözüm bulunmayan birçok duruma yol açtı. Yine, bu çok fazla bir şey ifade etmiyor çünkü üzerindeki dağılımlar için korelasyon matrisleri, sadece pozitif bir belirleyici olandan daha güçlü kısıtlamalara sahip olabilir.

μ

$\mu$

Σ

$\Sigma$

R_{+}^{2}

$\mathbb{R}_+^2$

update (04/04): deinst bu soruyu matematik forumunda yeni bir soru olarak yeniden ifade etti.

— Xi'an
kaynak

Bunu hafifçe genişletmenin bir yolu, doğal üstel O zaman ortalama ve kovaryans gradyanı ve Hessianıdır . Eğer (gerçek temsilcileri olan> 1) bir polinomdur sonra (gerçek temsilcileri olan) bir polinomun günlük, ve varyans ve Hessian rasyonel fonksiyonlardır. Bunun herhangi bir ortalama ve kovaryans matrisini temsil etmek için yeterli özgürlük verdiğini düşünüyorum.

f (X | θ) = h (x) e^{θ^{T} X - A (θ)} .

$f(\mathbf{X}|\mathbf\theta)=h(\mathbf{x})e^{\mathbf\theta^T\mathbf{X}-A(\mathbf\theta)}.$

A

$A$

h

$h$

A

$A$

— deinst

@deinst: (+1) Bu üstel aile temsilinin doğrudan kullanılabileceği bir örneğiniz var mı?

— Xi'an

Belki problemi tam olarak anlamıyorum. Ancak, üzerinde tam desteği olan ve ortalama olan aynı marjinal sahip iki değişkenli rastgele bir vektör düşünün . Nasıl böyle bir ikili dağılım korelasyona sahip olabilir örneğin, yakın -1? Sezgisel olarak, bunu yapmamış olmama rağmen, , destekle ilgili bir çelişki ortaya çıkmalıdır. Hayır?

(X, Y)

$(X,Y)$

F

$F$

R_{+}

$\mathbb R_{+}$

0 < μ < \infty

$0 < \mu < \infty$

ρ

$\rho$

P (X > 2 μ) > 0

$\mathbb P(X > 2 \mu) > 0$

— kardinal

Kovaryans matrisi üzerindeki kısıtlamalar kesinlikle var destek olduğunda , ile kaplı Stieljes an durum . Her neyse, -1'e yakın bir korelasyonun neden a priori'yi dışladığını görmüyorum .

Σ

$\Sigma$

R_{+}^{k}

$\mathbb{R}^k_+$

— Xi'an

Doğru, bu benim neyle uğraştığımla ilgili. Korelasyon ile ilgili olarak, örneğimi düşünün. Eğer ve aynı marjinal sahip , ortalama ile ve tam bir ilişki 1 ve , değeri ne gereken bu gibi tüm gerçekleşmeleri için olmak ? (Hem soru hem de cevap için +1. Bunu beğendim.)

X

$X$

Y

$Y$

F

$F$

μ

$\mu$

P (X > 2 μ) > 0

$\mathbb P(X > 2 \mu) > 0$

Y

$Y$

X

$X$

— kardinal

Tamam, bu Xi'an'ın yorumuna bir yanıt. Çok uzun ve rahat bir yorum olması için çok TeX gerekir. Uyarı: Bir cebir hatası yaptığım neredeyse kesin. Bu ilk düşündüğüm kadar esnek görünmüyor.

biçiminin şeklinde bir dağıtım ailesi oluşturalım Let ve . Let iki terimli bir polinom olmalıdır, burada , tüm için 0'dan büyük gerçek sayılardır . Sonra buluruz $\mathbb{R}_+^3$

f (x | θ) = h (x) e^{- θ^{T} x - A (θ)}

$f(\mathbf{x}|\mathbf\theta)=h(\mathbf{x})e^{-\mathbf\theta^T\mathbf{x}-A(\mathbf\theta)}$

x = (x, y, z)

$\mathbf{x}=(x,y,z)$

θ = (θ_{1}, θ_{2}, θ_{3})

$\mathbf\theta=(\theta_1,\theta_2,\theta_3)$

h (x) = c x_{1}^{e_{1} - 1} x_{2}^{e_{2} - 1} x_{3}^{e_{3} - 1} + d x_{1}^{f_{1} - 1} x_{2}^{f_{2} - 1} x_{3}^{f_{3} - 1}

$h(\mathbf{x})=c x_1^{e_1-1}x_2^{e_2-1}x_3^{e_3-1}+d x_1^{f_1-1}x_2^{f_2-1}x_3^{f_3-1}$

e_{i}, f_{i}

$e_i, f_i$

i

$i$

A (θ) = \log (c \frac{Γ (e_{1})}{θ_{1}^{e_{1}}} \frac{Γ (e_{2})}{θ_{2}^{e_{2}}} \frac{Γ (e_{3})}{θ_{3}^{e_{3}}} + d \frac{Γ (f_{1})}{θ_{1}^{f_{1}}} \frac{Γ (f_{2})}{θ_{2}^{f_{2}}} \frac{Γ (f_{3})}{θ_{3}^{f_{3}}}) .

$A(\mathbf\theta)=\log\left(c\frac{\Gamma(e_1)}{\theta_1^{e_1}}\frac{\Gamma(e_2)}{\theta_2^{e_2}}\frac{\Gamma(e_3)}{\theta_3^{e_3}}+d\frac{\Gamma(f_1)}{\theta_1^{f_1}}\frac{\Gamma(f_2)}{\theta_2^{f_2}}\frac{\Gamma(f_3)}{\theta_3^{f_3}}\right).$

Şimdi, kolaylık sağlamak için ve

c^{'} = c Γ (e_{1}) Γ (e_{2}) Γ (e_{2}) θ_{1}^{f_{1}} θ_{2}^{f_{2}} θ_{3}^{f_{3}}

$c'=c\Gamma(e_1)\Gamma(e_2)\Gamma(e_2)\theta_1^{f_1}\theta_2^{f_2}\theta_3^{f_3}$

d^{'} = d Γ (f_{1}) Γ (f_{2}) Γ (f_{2}) θ_{1}^{e_{1}} θ_{2}^{e_{2}} θ_{3}^{e_{3}}

$d'=d\Gamma(f_1)\Gamma(f_2)\Gamma(f_2)\theta_1^{e_1}\theta_2^{e_2}\theta_3^{e_3}$

Şimdi, dağılımımızın ortalaması gradyanı olduğundan , ve . Kovaryans olduğundan ve (abonelikleri açık bir şekilde değiştirerek elde edilen kovaryans matrisinin diğer şartları). $A$ $\mu_X=\frac{e_1c'+f_1d'}{\theta_1(c'+d')}$ $\mu_Y=\frac{e_2c'+f_2d'}{\theta_2(c'+d')}$ $\mu_Z=\frac{e_3c'+f_3d'}{\theta_3(c'+d')}$ $A$

σ_{X}^{2} = \frac{(e_{1} c^{'} + f_{1} d^{'}) (c^{'} + d^{'}) + (e_{1} - f_{1})^{2} c^{'} d^{'}}{θ_{1}^{2} (c^{'} + d^{'})^{2}}

$\sigma_X^2=\frac{(e_1c'+f_1d')(c'+d')+(e_1-f_1)^2c'd'}{\theta_1^2(c'+d')^2}$

Cov (X, Y) = \frac{(e_{1} - f_{1}) (e_{2} - f_{2}) c^{'} d^{'}}{θ_{1} θ_{2} (c^{'} + d^{'})}

$\text{Cov}(X,Y)=\frac{(e_1-f_1)(e_2-f_2)c'd'}{\theta_1\theta_2(c'+d')}$

Bu herhangi bir kovaryans matrisi elde etmek için yeterince esnek görünmüyor. Polinomda başka bir terim denemeliyim (ancak bunun da işe yaramayabileceğinden şüpheleniyorum (açıkçası bunu daha fazla düşünmem gerekiyor)).

— deinst
kaynak

Beş sınırlama için dört parametre ...?

(θ_{1}, θ_{2}, θ_{3}, c)

$(\theta_1,\theta_2,\theta_3,c)$

— Xi'an

@xian 6 üsler vardır ve de.

e_{i}

$e_i$

f_{i}

$f_i$

— deinst

Biraz karıştım (?): Üsleri üstel ailenin parametreleri olarak işlemediniz. Ama bu güçleri 9 moment denklemlerini doğru bir şekilde elde etmek için istediğiniz gibi değiştirebilirsiniz.

— Xi'an

@ Xi'an Haklısın, onları üstel ailenin parametreleri olarak işlemedim. Bunu yapmak, aileyi artık doğal bir aile yapmazdı ve onları dahil etmek, moment denklemlerini hesaplamak için cebiri karıştırırdı (başlangıçta yeterince çamurlanmıştı).

— deinst