ARMA'nın (p, q) Hamilton'dan durum uzayı gösterimi

Hamilton Bölüm 13'ü okuyorum ve bir ARMA için aşağıdaki durum uzay temsiline sahip (p, q). Daha sonra olsun $r = \max(p,q+1)$. ARMA (p, q) işlemi şu şekildedir:

$$\begin{aligned} y_t -\mu &= \phi_1(y_{t-1} -\mu) + \phi_2(y_{t-2} -\mu) + ... + \phi_3(y_{t-3} -\mu) \\ &+ \epsilon_t + \theta_1\epsilon_{t-1} + ... + \theta_{r-1}\epsilon_{t-r+1}. \end{aligned}$$
Daha sonra, Devlet Denklemini şu şekilde tanımlar:

$$\xi_{t+1} = \begin{bmatrix} \phi_1 & \phi_2 & \dots & \phi_{r-1} & \phi_r \\ 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \dots &1 &0 \end{bmatrix} \xi_t + \begin{bmatrix} \epsilon_{t+1} \\ 0\\\vdots \\ 0 \end{bmatrix}$$

ve gözlem denklemi:

$$y_t = \mu + \begin{bmatrix} 1 & \theta_1 & \theta_2 & \dots & \theta_{r-1} \\ \end{bmatrix} \xi_t.$$

Bu durumda \ xi_t ne olduğunu anlamıyorum $\xi_t$. Çünkü AR (p) temsilinde $\begin{bmatrix} y_{t} - \mu \\ y_{t-1} - \mu\\\vdots \\ y_{t-p+1} - \mu \end{bmatrix}$ ve MA (1) temsilinde $\begin{bmatrix} \epsilon_{t} \\ \epsilon_{t-1} \end{bmatrix}$ .

Birisi bana biraz daha iyi açıklayabilir mi?

Hamilton bunun kitapta doğru bir temsil olduğunu gösteriyor, ancak yaklaşım biraz mantıksız görünebilir. Bu yüzden önce modelleme seçimini motive eden yüksek düzeyli bir cevap vereyim ve sonra türetme konusunda biraz ayrıntıya gireyim.

Motivasyon :

Bölüm 13'ü okumaktan açıkça anlaşılacağı gibi, durum uzayı biçiminde dinamik bir model yazmanın birçok yolu vardır. Bu nedenle Hamilton'un neden bu temsili seçtiğini sormalıyız. Bunun nedeni, bu temsilin, devlet vektörünün boyutluluğunu düşük tutmasıdır. Sezgisel olarak, bir ARMA ( , ) için durum vektörünün en az boyutu olması gerektiğini düşünürsünüz (ya da en azından ben yaparım) . Sonuçta, sadece gözlemleyerek , değerini çıkaramayız . Yine de, durum-alan gösterimini, boyutun durum vektörünü en fazla bırakan akıllı bir şekilde tanımlayabileceğimizi gösterir.q p + q y t - 1 ϵ t - 1 r = maks. { p , q + 1 } p $p$$q$$p+q$$y_{t-1}$$\epsilon_{t-1}$$r = \max\{p, q + 1 \}$. Devlet boyutluluğunu düşük tutmak, hesaplama uygulaması için önemli olabilir. Durum-uzay temsilinin bir ARMA sürecinin güzel bir yorumunu sunduğu ortaya çıkıyor: gözlemlenmeyen durum bir AR ( ), MA ( ) kısmı ölçüm hatası nedeniyle ortaya çıkıyor.$p$$q$

Türetme :

Şimdi türetme için. İlk olarak, gecikme operatörü gösterimini kullanarak ARMA (p, q) şöyle tanımlanır: biz izin için ve için ve omit çünkü , en azından, . Dolayısıyla, göstermemiz gereken tek şey onun durumu ve gözlem denklemlerinin yukarıdaki denklemi ima ettiği. vektörü Şimdi bak durum denklemi. ile denklemleri kontrol edebilirsiniz.ϕ j = 0 j > p θ j = 0 j > q θ r r q +

$$(1-\phi_1L - \ldots - \phi_rL^r)(y_t - \mu) =(1 + \theta_1L + \ldots + \theta_{r-1}L^{r-1})\epsilon_t$$ $\phi_j = 0$$j>p$$\theta_j = 0$$j>q$$\theta_r$$r$$q+1$ 2r ξ i , t ξ i - 1 , t + 1 ξ r , t t+1 t + ϕ 2 ξ 2 , t +…+ ϕ r ξ r , t + ϵ t + 1 ξ t ξ t - 1 $$\mathbf{\xi}_t = \{\xi_{1,t}, \xi_{2,t},\ldots,\xi_{r,t}\}^\top$$ $2$$r$sadece girişlerini taşımak için bir dönem skoru ve ıskarta devlet vektöründe . Bu nedenle tanımlayan ilk denklem, ilgili denklemdir . Yazma: ikinci elemanı yana ilk elemanıdır ve üçüncü unsuru, olduğu ın ilk öğesi$\xi_{i,t}$$\xi_{i-1,t+1}$$\xi_{r,t}$$t+1$ ξ 1 , t + 1 = ϕ 1 ξ 1 $\xi_{i,t+1}$ $$\xi_{1,t+1} = \phi_1 \xi_{1,t} + \phi_2 \xi_{2,t} + \ldots + \phi_r \xi_{r,t} + \epsilon_{t+1}$$ $\mathbf{\xi_{t}}$$\mathbf{\xi_{t-1}}$ ξ t - 2 (1-ϕ1L-…-ϕrLr)ξ 1 , t + 1 =ϵ t + 1 y$\mathbf{\xi_{t}}$$\mathbf{\xi_{t-2}}$ve böylece, gecikme operatörü gösterimini kullanarak ve gecikme polinomunu sol tarafa (H'deki 13.1.24 denklemi) hareket ettirerek bunu yeniden yazabiliriz: Böylece gizli durum otoregresif bir süreci takip eder. Benzer şekilde, gözlem denklemi veya Bu şimdiye kadar bir benzemiyor, ancak şimdi güzel kısım: son denklemi : $$(1-\phi_1L - \ldots - \phi_rL^r)\xi_{1,t+1} = \epsilon_{t+1}$$ y t - μ = ( 1 + θ 1 L + … + θ r $$y_t = \mu + \xi_{1,t} + \theta_1\xi_{2,t} + \ldots + \theta_{r-1}\xi_{r-1,t}$$ (1- ϕ 1 L $$y_t - \mu = (1 + \theta_1L + \ldots + \theta_{r-1}L^{r-1})\xi_{1,t}$$ L r - 1 ) ( 1 - ϕ 1 L - … - ϕ r L r ) y( 1 - ϕ 1 L - … - ϕ r L r ) ( y t - μ ) = ( 1 + θ 1 L + … + θ r - 1 t ( 1 - ϕ 1 L - … - ϕ r L r ) ξ 1 , t = ϵ t$(1-\phi_1L - \ldots - \phi_rL^r)$ $$(1-\phi_1L - \ldots - \phi_rL^r)(y_t - \mu) = (1 + \theta_1L + \ldots + \theta_{r-1}L^{r-1})(1-\phi_1L - \ldots - \phi_rL^r)y_t$$ Fakat durum denkleminden (bir dönem gecikmeli), ! Bu nedenle, yukarıdaki tam olarak göstermemiz gereken şey bu! Dolayısıyla durum gözlem sistemi doğru olarak ARMA'yı temsil eder (p, q). Ben sadece Hamilton'u yeniden yorumluyordum, ama bunun yine de faydalı olduğunu umuyorum.$(1-\phi_1L - \ldots - \phi_rL^r)\xi_{1,t} = \epsilon_{t}$ $$(1-\phi_1L - \ldots - \phi_rL^r)(y_t - \mu) = (1 + \theta_1L + \ldots + \theta_{r-1}L^{r-1})\epsilon_{t}$$

Bu yukarıdakiyle aynı, ancak daha kısa ve daha kısa bir cevap vereceğimi düşündüm. Yine, bu Hamilton'un nedensel ARMA ( , ) süreci için temsilidir , burada . Bu sayısı, durum vektörünün boyutu olacaktır ve satır sayısını durum, gözlem matrisinin sütun sayısı ile eşleşir. Bu, indeks çok büyük olduğunda katsayıları sıfıra ayarlamamız gerektiği anlamına gelir.$p$$q$$r=\max(p,q+1)$$r$$(\xi_t, \xi_{t-1},\ldots, \xi_{t-r+1})'$

1. Gözlem Denklemi

$$\begin{align*} &\phi(B)(y_t - \mu) = \theta(B)\epsilon_t \\ \iff &(y_t - \mu) = \phi^{-1}(B)\theta(B)\epsilon_t \tag{causality}\\ \iff &y_t = \mu + \phi^{-1}(B)\theta(B)\epsilon_t \\ \iff &y_t = \mu + \theta(B)\phi^{-1}(B)\epsilon_t \\ \iff &y_t = \mu + \theta(B)\xi_t \tag{letting $\xi_t = \phi^{-1}(B)\epsilon_t$}\\ \iff &y_t = \mu + \left[\begin{array}{ccccc}1 & \theta_1 & \theta_2 & \ldots & \theta_{r-1} \end{array}\right] \underbrace{\left[\begin{array}{c} \xi_t \\ \xi_{t-1} \\ \vdots \\ \xi_{t-r+1} \end{array}\right]}_{\text{the state vector}} + 0\tag{this is where we need $r$}. \end{align*}$$

2. Durum Denklemi

$$\begin{align*} &\xi_t = \phi^{-1}(B)\epsilon_t \\ \iff &\phi(B)\xi_t = \epsilon_t \\ \iff &(1 - \phi_1 B - \cdots - \phi_rB^r) \xi_t = \epsilon_t \\ \iff &\xi_t = \phi_1 \xi_{t-1} + \cdots + \phi_r \xi_{t-r} + \epsilon_t \\ \iff & \left[\begin{array}{c} \xi_t \\ \xi_{t-1} \\ \xi_{t-2} \\ \vdots \\ \xi_{t-r+1} \end{array}\right] = \left[ \begin{array}{ccccc} \phi_1 & \phi_2 & \phi_3 & \cdots & \phi_r \\ 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \cdots & 0 \\ 0 & 0 &\cdots & 1 & 0 \end{array}\right] \left[ \begin{array}{c} \xi_{t-1} \\ \xi_{t-2} \\ \vdots \\ \xi_{t-r} \end{array}\right] + \left[ \begin{array}{c} \epsilon_t \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{array}\right]. \end{align*}$$