Simülasyon ile önem örneklemesi için beklenenden daha düşük kapsama alanı

R'deki Önemsel örnekleme yöntemi ile integrali değerlendirin sorusunu cevaplamaya çalışıyordum . Temel olarak, kullanıcının hesaplaması gerekir

üstel dağılımın önem dağılımı olarak kullanılması

ve integrale daha iyi yaklaşımı veren değerini bulun . Ben ortalama değeri değerlendirilmesi olarak sorun yeniden düzenleme ve boyunca yekpare sonra sadece bir: . $\lambda$self-study$\mu$$f(x)$$[0,\pi]$$\pi\mu$

Bu nedenle, nin sağlayın ve bırakın : şimdi hedef tahmin etmektir$p(x)$$X\sim\mathcal{U}(0,\pi)$$Y\sim f(X)$

önemi örnekleme kullanarak. R'de bir simülasyon yaptım:

# clear the environment and set the seed for reproducibility
rm(list=ls())
gc()
graphics.off()
set.seed(1)

# function to be integrated
f <- function(x){
    1 / (cos(x)^2+x^2)
}

# importance sampling
importance.sampling <- function(lambda, f, B){
    x <- rexp(B, lambda) 
    f(x) / dexp(x, lambda)*dunif(x, 0, pi)
}

# mean value of f
mu.num <- integrate(f,0,pi)$value/pi

# initialize code
means  <- 0
sigmas <- 0
error  <- 0
CI.min <- 0
CI.max <- 0
CI.covers.parameter <- FALSE

# set a value for lambda: we will repeat importance sampling N times to verify
# coverage
N <- 100
lambda <- rep(20,N)

# set the sample size for importance sampling
B <- 10^4

# - estimate the mean value of f using importance sampling, N times
# - compute a confidence interval for the mean each time
# - CI.covers.parameter is set to TRUE if the estimated confidence 
#   interval contains the mean value computed by integrate, otherwise
# is set to FALSE
j <- 0
for(i in lambda){
    I <- importance.sampling(i, f, B)
    j <- j + 1
    mu <- mean(I)
    std <- sd(I)
    lower.CB <- mu - 1.96*std/sqrt(B)  
    upper.CB <- mu + 1.96*std/sqrt(B)  
    means[j] <- mu
    sigmas[j] <- std
    error[j] <- abs(mu-mu.num)
    CI.min[j] <- lower.CB
    CI.max[j] <- upper.CB
    CI.covers.parameter[j] <- lower.CB < mu.num & mu.num < upper.CB
}

# build a dataframe in case you want to have a look at the results for each run
df <- data.frame(lambda, means, sigmas, error, CI.min, CI.max, CI.covers.parameter)

# so, what's the coverage?
mean(CI.covers.parameter)
# [1] 0.19

Kod temel olarak, burada kullanılan gösterimi izleyerek önem örneklemesinin basit bir uygulamasıdır . Daha sonra çoklu tahminleri elde etmek için örnekleme önemi kez tekrarlanır ve her defasında% 95 aralığının gerçek ortalamayı kapsayıp kapsamadığını kontrol eder.$N$$\mu$

Gördüğünüz gibi, için gerçek kapsam sadece 0.19'dur. Ve gibi değerlere yükseltmek yardımcı olmaz (kapsam daha da küçüktür, 0.15). Bu neden oluyor?$\lambda=20$$B$$10^6$

Önem örneklemesi, önem dağılımı seçimine oldukça duyarlıdır. Seçtiğinizden beri$\lambda = 20$kullanarak çizdiğiniz örneklerin rexpbir ortalaması olacaktır.$1/20$ varyans ile $1/400$. Aldığınız dağıtım bu

Ancak, değerlendirmek istediğiniz integral 0'dan $\pi =3.14$. Yani bir$\lambda$size böyle bir menzil veriyor. kullanırım$\lambda = 1$.

kullanma $\lambda = 1$ 0'ın tam integral alanını keşfedebileceğim $\pi$ve sadece birkaç kişinin $\pi$israf edilecek. Şimdi kodunuzu tekrar çalıştırıyorum ve sadece değiştiriyorum$\lambda = 1$.

# clear the environment and set the seed for reproducibility
rm(list=ls())
gc()
graphics.off()
set.seed(1)

# function to be integrated
f <- function(x){
  1 / (cos(x)^2+x^2)
}

# importance sampling
importance.sampling <- function(lambda, f, B){
  x <- rexp(B, lambda) 
  f(x) / dexp(x, lambda)*dunif(x, 0, pi)
}

# mean value of f
mu.num <- integrate(f,0,pi)$value/pi

# initialize code
means  <- 0
sigmas <- 0
error  <- 0
CI.min <- 0
CI.max <- 0
CI.covers.parameter <- FALSE

# set a value for lambda: we will repeat importance sampling N times to verify
# coverage
N <- 100
lambda <- rep(1,N)

# set the sample size for importance sampling
B <- 10^4

# - estimate the mean value of f using importance sampling, N times
# - compute a confidence interval for the mean each time
# - CI.covers.parameter is set to TRUE if the estimated confidence 
#   interval contains the mean value computed by integrate, otherwise
# is set to FALSE
j <- 0
for(i in lambda){
  I <- importance.sampling(i, f, B)
  j <- j + 1
  mu <- mean(I)
  std <- sd(I)
  lower.CB <- mu - 1.96*std/sqrt(B)  
  upper.CB <- mu + 1.96*std/sqrt(B)  
  means[j] <- mu
  sigmas[j] <- std
  error[j] <- abs(mu-mu.num)
  CI.min[j] <- lower.CB
  CI.max[j] <- upper.CB
  CI.covers.parameter[j] <- lower.CB < mu.num & mu.num < upper.CB
}

# build a dataframe in case you want to have a look at the results for each run
df <- data.frame(lambda, means, sigmas, error, CI.min, CI.max, CI.covers.parameter)

# so, what's the coverage?
mean(CI.covers.parameter)
#[1] .95

İle oynarsan $\lambda$, gerçekten küçük (.00001) veya büyük yaparsanız, kapsam olasılıklarının kötü olacağını göreceksiniz.

DÜZENLE-------

Kapsama olasılığına ilişkin olarak, $B = 10^4$ için $B = 10^6$, bu, kullandığınız gerçeğe dayanarak, rastgele bir durumdur. $N = 100$tekrarlamalı. Kapsama olasılığı için güven aralığı$B = 10^4$ dır-dir,

Bu yüzden, $B = 10^6$ kapsama olasılığını önemli ölçüde azaltır.

Aslında aynı tohum kodunda, $N = 100$ için $N = 1000$, sonra ile $B = 10^4$, kapsama olasılığı 0,123 ve $B = 10^6$ kapsama olasılığı $.158$.

Şimdi, .123 civarındaki güven aralığı

Böylece, şimdi ile $N = 1000$ replikasyonlar, kapsama olasılığının önemli ölçüde arttığını göreceksiniz.