Oranlar için güven aralıkları nasıl hesaplanır?

0 ile 1 arasında bir oranı bir deney düşünün . Bu sorunun önceki bir sürümünde ayrıntılı olarak ele alınmış , ancak meta ile ilgili bir tartışmadan sonra anlaşılır olması için kaldırılmıştır .$X_i$

Bu deney kez tekrarlanırken , küçüktür (yaklaşık 3-10). bağımsız aynen dağılma olduğu varsayılır. Bunlardan ortalama hesaplayarak ortalamayı tahmin ediyoruz , ancak karşılık gelen bir güven aralığını nasıl hesaplayacağız ?n X i ¯ X [ U , V $n$$n$$X_i$$\overline X$$[U,V]$

Güven aralıklarını hesaplamak için standart yaklaşımı kullanırken, bazen 1'den büyüktür. Ancak, sezgim doğru güven aralığının ...$V$

1. ... 0 ve 1 aralığında olmalıdır
2. ... artan ile küçülmeli$n$
3. ... kabaca standart yaklaşım kullanılarak hesaplanan sıraya göre
4. ... matematiksel olarak sağlam bir yöntemle hesaplanır.

Bunlar mutlak gereklilikler değil, ama en azından sezgimin neden yanlış olduğunu anlamak istiyorum.

Mevcut cevaplara dayalı hesaplamalar

Aşağıda, mevcut cevaplardan kaynaklanan güven aralıkları .$\{X_i\} = \{0.985,0.986,0.935,0.890,0.999\}$

Standart Yaklaşım (diğer adıyla "Okul Matematiği")

$\overline X = 0.959$ , , dolayısıyla% 99 güven aralığı . Bu sezgi 1 ile çelişmektedir.[ 0.865 , 1.053 $\sigma^2 = 0.0204$$[0.865,1.053]$

Kırpma (yorumlarda @soakley tarafından önerilir)

Sadece standart yaklaşımı kullanarak sonuç olarak sağlamak kolaydır. Ama bunu yapmamıza izin var mı? Henüz alt sınırın sabit kaldığına ikna olmadım (-> 4.)$[0.865,1.000]$

Lojistik Regresyon Modeli (@Rose Hartman tarafından önerilmektedir)

Transforme veriler: sonuçlanan , dönüştürülmesi de sonuç geri . Açıkçası, 6.90 dönüştürülmüş veriler için bir aykırı değerken, 0.99 dönüştürülmemiş veriler için değildir, bu da çok büyük bir güven aralığı ile sonuçlanır . (-> 3.)[ 0.173 , 7.87 ] [ 0.543 , 0.999 $\{4.18,4.25,2.09,2.66,6.90\}$$[0.173,7.87]$$[0.543,0.999]$

Binom orantı güven aralığı (@Tim tarafından önerilmektedir)

Yaklaşım oldukça iyi görünüyor, ancak maalesef deneye uymuyor. Sadece sonuçları bir araya getirmek ve @ZahavaKor tarafından önerildiği gibi tekrarlanan büyük bir Bernoulli deneyi olarak yorumlamak aşağıdaki sonuçları doğurur:

5 ∗ 1000 [ 0.9511 , 0.9657 ] X $985+986+890+935+999 = 4795$ 999 = 4795 üzerinden toplam. Bunu Adj. Wald hesaplayıcı verir . Bu gerçekçi görünmüyor, çünkü o aralığın içinde tek bir ! (-> 3.)$5*1000$$[0.9511,0.9657]$$X_i$

Önyükleme (@soakley tarafından önerilir)

ile 3125 olası permütasyonumuz var. Alarak permütasyon orta araçları, bundan elde . O kadar da kötü gözükmese de daha geniş bir aralık beklerdim (-> 3.). Ancak, inşaat başına asla den daha büyük değildir . Böylece küçük bir örnek için (-> 2) arttırmak için küçülmek yerine büyüyecektir . En azından yukarıda verilen örneklerle olan budur.$n=5$[0,91,0,99][min(Xi),max(Xi)]$\frac{3093}{3125} = 0.99$$[0.91,0.99]$$[min(X_i),max(X_i)]$$n$

Birincisi, açıklamak gerekirse, sorunuzun önerdiği gibi, bir ikili dağılım değildir (Bernoulli deneyi olarak adlandırırsınız). Binom dağılımları ayrıktır - sonuç ya başarı ya da başarısızlıktır. Sonucunuz, denemenizi her çalıştırdığınızda bir orandır , daha sonra bir özet oran hesapladığınız bir dizi başarı ve başarısızlık değildir. Bu nedenle, binom orantı güven aralığını hesaplama yöntemleri, birçok bilginizi atar. Ve yine de, değişkeninizin olası aralığını aşan bir CI alabileceğiniz için bunu normal şekilde dağıtılmış gibi işlemenin sorunlu olduğunu doğru söylüyorsunuz.

Bunu lojistik regresyon açısından düşünmenizi tavsiye ederim. Sonuç olarak oran değişkeninizle birlikte tahminci olmayan bir lojistik regresyon modeli çalıştırın. Kesişme ve CI, günlüklerde ihtiyacınız olanı size verecektir ve daha sonra tekrar oranlara dönüştürebilirsiniz. Ayrıca lojistik dönüşümü kendiniz yapabilir, CI'yi hesaplayabilir ve ardından orijinal ölçeğe geri dönüştürebilirsiniz. Python'um korkunç, ama bunu R'de nasıl yapabileceğiniz aşağıda açıklanmıştır:

set.seed(24601)
data <- rbeta(100, 10, 3)
hist(data)

data_logits <- log(data/(1-data)) 
hist(data_logits)

# calculate CI for the transformed data
mean_logits <- mean(data_logits)
sd <- sd(data_logits)
n <- length(data_logits)
crit_t99 <- qt(.995, df = n-1) # for a CI99
ci_lo_logits <- mean_logits - crit_t * sd/sqrt(n)
ci_hi_logits <- mean_logits + crit_t * sd/sqrt(n)

# convert back to ratio
mean <- exp(mean_logits)/(1 + exp(mean_logits))
ci_lo <- exp(ci_lo_logits)/(1 + exp(ci_lo_logits))
ci_hi <- exp(ci_hi_logits)/(1 + exp(ci_hi_logits))

Bu veriler için% 99 CI'nın alt ve üst sınırları şunlardır:

> ci_lo
[1] 0.7738327
> ci_hi
[1] 0.8207924

Yeniden örneklemeyi / önyüklemeyi denemek isteyebilirsiniz. Bahsettiğiniz basit duruma bakalım.

0,99, 0,94 ve 0,94 olan 3 veri noktasıyla, yeniden örneklemeyi bile yapmazsınız çünkü 27 olası permütasyonun tümünü listeleyebilir, her durumda ortalamayı bulabilir ve ardından araçları sıralayabilirsiniz.

Listeyi oluşturup orta 25 gözlem alırsanız , 25/27 % 92,6 güven aralığı [0,9400, 0,9733] vardır. Güveni 26/27 % 96,3'e yükseltmek istiyorsanız, iki adet tek taraflı aralık seçeneğiniz vardır. Ya [0.9400, 0.9733] ya da [0.94, 0.99].26 / 27 $25/27=$$26/27=$

Ben senin varsayalım size değiştirme ile yeniden örneklemek böylece, 3 den çok daha büyük olacaktır. Bunu 1000 kez yaptığınızı varsayalım. Sonra her durumda ortalamayı bulun. 1000 ortalama kümesinden orta 950 değerlerini alın. Bu alt kümenin en düşük ve en yüksek değerleri% 95 güven aralığını oluşturur.$n$

Buradaki soru: Bir permütasyon testinin parametresi için nasıl bir güven aralığı oluştururuz? bazı R kodları dahil daha fazla ayrıntı verir.

Binom güven aralıkları uzun zamandır istatistik tartışmalarına konu olmuştur. Sorununuz% 100'den daha az bir oran olarak kabul edilir, ancak% 100 kullanırsak daha da sorunlu hale gelir. Soruyu sormanın içgörüsel bir yolu:

Son 2000 yıl boyunca güneşin her gün hatasız olarak yükseldiği göz önüne alındığında, yarın yükselme olasılığı nedir?

$p=1$

Bu kuyrukları hesaplamak için bir dizi yöntem vardır. Ben kontrol öneriyoruz Wikipedia matematik, yoksa sadece cevap istiyorsanız, böyle bir binom aralık hesap makinesi araması bu bir (aynı zamanda bunun arkasında matematik biraz daha açıklama var olur).

Bayesci bir yaklaşım:

$B$$B$