Beklenen değer neden böyle adlandırılıyor?

Adil bir 6 taraflı kalıbın haddelenmesi için beklenen değeri 3.5 olarak aldığımızı biliyorum. Ancak sezgisel olarak, her yüze 1/6 eşit şansla bekliyorum.

Öyleyse, bir kalıbın beklenen değeri, eşit olasılıkla 1-6 arasındaki rakamlardan biri olmamalıdır mı?

Başka bir deyişle, '6 taraflı bir kalıp atmanın beklenen değeri nedir?' Bunun yerine 3,5.
Sezgisel olarak, gerçek dünyada, bir kişi bir kalıp atma konusunda beklediğim değerin 3.5 değerini açıklayabilir mi?
Yine beklenti için formül veya türev istemiyorum.

1654'te Paris'te olduğunuzu ve sizin ve arkadaşınızın altı yüzlü zarların sıralı yuvarlanmasına dayanan bir kumar oyununu izlediğinizi hayal edin. Şimdi, kumar oynamak oldukça yasa dışıdır ve jandarma tarafından yapılan bıkkınlıklar oldukça sıktır ve Chateau d'If’te uzun süredir devam edecek olanı kesinlikle yaşamaya dayanan bir masaya kapılmaktır.

Bunu aşmak için siz ve arkadaşınız, son pafta öncesi ikiniz arasında yapılan bir bahis üzerine bir centilmenlik anlaşması var. Gelecek beş zarda iki altını gözlemlerseniz size beş lira para ödemeyi kabul eder ve eğer iki el atılırsa ona aynı tutarı ödemeyi kabul edersiniz ve bu kombinasyonlar gelmezse başka bir işlem yapmazsınız.

Şimdi, son pafta altı, bu yüzden mecazi olarak koltuğunuzun kenarındasınız. Şu anda, ağır silahlı gardiyanlar, bölgeye fırladı ve masadaki herkesi tutukladı ve kalabalık dağıldı.

Arkadaşınız, ikiniz arasında yapılan bahislerin geçersiz olduğuna inanıyor. Bununla birlikte, altıya kadar önceden alınmış olduğu için size bir miktar ödeme yapması gerektiğine inanıyorsunuz. Bu anlaşmazlığı ikiniz arasında çözmenin adil bir yolu nedir?

(Bu, burada sunulan beklenen değerin kökenleri hakkındaki yorumumdur. ve daha ayrıntılı olarak ele burada )

Bu gerçeğe uygun değer sorusuna titiz olmayan bir şekilde cevap verelim. Arkadaşınızın size ödemesi gereken tutar aşağıdaki şekilde hesaplanabilir. Tüm olası dört zar rulosunu düşünün. Bazı rulo setleri (en az altı tane içerenler) arkadaşınızın kararlaştırılan miktarı ödemesine neden olur. Ancak, diğer setlerde (yani, altı tane içermeyen) para almamanızla sonuçlanacaktır. Bu iki rulo tipinin olma olasılığını nasıl dengeliyorsunuz? Basit, TÜM olası rulolar üzerinden size ödenecek tutarın ortalamasını alın.

Bununla birlikte, arkadaşın (pek olası değil) bahsini hala kazanabilir! Kalan dört zarda iki tanenin ne kadar yuvarlanacağını düşünmelisiniz ve ona ödeyeceğiniz tutarı, dört zarın tüm olası rulo sayısının üzerinden hesaplayın. Bu, arkadaşınıza bahsi için ödemeniz gereken adil miktar. Bu yüzden elde ettiğiniz miktar, arkadaşınızın size ödemesi gereken, eksi arkadaşınıza ne ödemeniz gerektiğidir.

Bu yüzden buna “beklenen değer” diyoruz. Aynı anda birden fazla evrende meydana gelen bir olayı simüle edebiliyorsanız, almayı umduğunuz ortalama miktardır.

Mükemmel soru İlk başta göründüğünden daha ince. Rastgele olay ve rastgele değişkenin (sayı, değer) ile ilgisi vardır . Kafanızın karışıklığı, birbiriyle ilişkili bu iki farklı kavramı bir araya getirmekten kaynaklanıyor.

Bir olayla başlayalım. Sorunuzu formüle ettiğiniz şekilde, bir zar atmanın sonucunun bir olay attığını düşündüğünüz anlaşılıyor. Rastgele, bu nedenle yazdığı gibi altı tarafından birini eşit şansla elde edebilirsiniz. Mükemmel bir anlam ifade ediyor.

Bu deneyin beklenen değeri nedir? Beklentiler, olaylar için değil rastgele değişkenler (değerler) için tanımlanmıştır. Senin için zar üzerindeki 1'den 6'ya kadar olan rakamlar sadece kendi taraflarını ayırt etmenin bir yoludur (sorunuzun formülasyonu bağlamında). Bunun yerine kullanılan harfleri hayal edin: A, B, C, D, E ve F Numaraları harflerle değiştirin ve sorunuzu aşağıdaki gibi tekrarlayın:

Başka bir deyişle, '6 taraflı bir kalıp atmanın beklenen değeri nedir?'

Şimdi beklenen bir değer bulmaya çalış. Tanımlanmamış!

1 ile 6 gibi rasgele değerleri tanımladığınızda beklentiler ortaya çıkar. Değerleri etkinlik alanına eşlersiniz, örneğin, A tarafını 1, B tarafını 2 vb. Olarak tanımlarsınız. Şimdi 6 rakamınız olabilir ve 3.5 olan beklentiyi hesaplar.

"Değerlerin her biri eşit derecede muhtemel" veya "büyük olasılıkla bir değer", beklenen değer değil, modun tanımıdır.

Bir bozuk para çalma oyunu oynadığımızı hayal edin. Ne zaman kafa atsam, sana 1 $ veririm , her ne zaman yazı yazsam, bana 1 $ verirsin . Ne kadar para verir misin beklemek kazanmak ya gevşek uzun vadede ? Miktarlar eşittir, atma olasılıkları eşittir, beklenen değer sıfırdır.

Beklenen değer, denir çünkü tüm zar rulolarını ortalamalandırırsanız , uzun vadede bu beklenen değeri almayı beklersiniz . Beklenen değer herhangi bir tek zar rulosuyla ilişkili değildir.

Tarihsel bir bakış açısıyla, konsept farklı ülkelerde gözüküyordu, bu yüzden bu kelimenin kullanımını uygun bir yakınsama olarak düşünürdüm. diller arasındaki benzer kavramlar arasında .

Başlangıç ​​noktam , Sembollerin Olasılık ve İstatistikte En İyi Kullanımlarıydı :

Beklenti. WA Whitworth'un 1901 tarihli iyi bilinen Ders Kitabı Seçimi ve Şansı (beşinci baskı) beklentisinde büyük bir E yazısı kullanılmış ancak İngiliz edebiyatında ne zamana kadar ne de sembollerin ne de beklentilerin hesaplanması yer almamıştır. Örneğin, Rietz Matematik İstatistikleri (1927), E sembolünü kullandı ve “değişkenin beklenen değerinin, çeşitli kıta Avrupalı ​​yazarlar tarafından çokça kullanılmış bir kavram olduğu” yorumunu yaptı ... “Kıta Avrupalı ​​yazarlar için E,“ Erwartung ”olarak işaretlendi. veya " espérance (editörün notu: matematik matematiği) ."

Terim bazen " Huygens Olasılık Temelleri " bölümünde tartışılan Huyghens'e atfedilir :

Huygens'in olasılık beklentisi üzerine temellendirildiği genel kabul görüyor. Ancak “beklenti” terimi, Van-Schooten'in Huygens'in eleştirisinin Latince tercümesinden kaynaklanıyor. Huygens'in Hollandaca metninin gerçek çevirisi, Huygens'in gerçekte ne anlama geldiğini ve nasıl ilerlediğini gösterir.

Fermat ile ilgili ek detaylar, Pascal Beklenti ve erken olasılıklarda bulunabilir .

İlginçtir, daha genel bir kavramdır beklenen değere olan yeri . Dolayısıyla, beklenen değer kavramı biraz kafa karıştırıcı olan ince sonuçlara sahiptir.

Bir ölüme ilişkin beklenen bir sonuçla 3.5 yapmanın ne anlama geldiğini sorgulamak mantıklıdır. Cevap atılan zarın ortalama değeri sonuçları beklenen değer kavramı sadece soruya o özgü ortalama veya ortalama değer anlamına ve fonksiyonları sınırlı sınıf için tek bir beklenti olduğunu, 3.5 olmasına rağmen burada kalıp rulo dahil olmamasıdır çıktıları. Başka bir deyişle, ortalama sonuç 3.5 olsa da, ne olmuş? Yeterince doğruysa, ortalama bir değerin anlam ifade ettiği, ancak sonuçların çıktığı bir bağlam (bazı alternatif evrenlerde) bulunabilir.$\leq 3$ öder $\$1$ve sonuçlar $\geq 4$ 1 dolar kaybeder, ortalama olarak çalışır, bu evrende aslında sonuçlara sahip olma avantajıyla.

"Beklenen değer" ve "ortalama değer" terimi arasındaki sınırlandırılmamış ilişkinin sebebi, anlamsal olarak doğru değil, hatta özellikle tutarlı olmaktan ziyade tarihsel görünmektedir.Yani, hesaplanan beklenen bir değerin bir veri setindeki bir konum karakterizasyon davranışının beklentisi ile tutarlı olduğu bağlam, diğerlerinde değil sadece belirli veri dağılımlarıyla sınırlıdır.

Bunun tarihsel olduğu istatistiksel anlar kavramıyla desteklenir. Modern limit standartlarına kadar merkezi limit teoreminin ilk ispatının 1887'de Chebyshev tarafından verildiği yaygın olarak kabul edilmektedir. Argümanı anların yöntemini ortaya koydu. . Şimdi ilk anı$f$Chebyshev için bir Borel setinin ortalama değeri vardı . Ortalama bir değer kavramı , normal dağılım için beklenen bir değerdir , yani merkezi limit teoreminin yoğunluğu uygulandığı yani Chebyshev 1887'ye kadar izlenebilirdir. Merkezi limit teoreminin parantez haline gelmesinin gücü budur. Daha genel bir konum ölçüsünün aksine, beklenen değeri ortalama bir değerle ilişkilendirmek için ifade.

Ancak, hangi önlemlerin daha kararlı olduğu ve / veya bu verileri daha fazla temsil ettiği için normal olmayan veri dağılımları ne durumda? Örneğin, tek tip bir dağıtımdan elde edilen ortalama değer veya ortalama aşırı değer daha kesin ve sabittir, yani bu dağılımın ortalamasına veya ortancasına göre daha hızlı ve yakınsak olur. Günlük-normal dağılımlar için, örneğin (verinin işleminin büyük kısmı), gelir verilerinin logaritması ortalamasının anti-logu (AKA geometrik ortalaması)Örneğin, orta gelirli veriler, veri ortalamasından (örneğin ortalama gelir) kendisinden ziyade, bu veriye eklenecek bireysel bir düşüncenin (veya beklenen verilerin) beklenen bir sonuç olarak nelere sahip olabileceğinin bir göstergesi olabilir. Bunun iyi bilindiği "5 rakamlı bir maaş bekliyorum" ifadesiyle açıklanmaktadır. İşte birgerçek gelirler için buna bir örnek . Başka bir örnek, gelir hesaplamalarında da kullanılan Pareto dağılımları ( bkz. 80/20 yasa ve yüksek gelir verileri ) genellikle tanımsız bir beklenen değere sahiptir (sonsuz ilk an$\alpha \beta ^{\alpha } t^{-\alpha -1}$ ne zaman $\alpha \leq 1$bu tür dağıtımlar için bir sonucun beklenen bir değer olacağını tahmin etmek bir hata olur. Bu durumda, bkz. Pareto dağılımı , medyan, geometrik ortalama ve harmonik ortalama, yalnızca$\alpha \leq 1$ gereksinim kaldırıldı, ancak aynı zamanda daha az değişken olduklarından bile $\alpha \gt 1$. Daha fazla bilgiyi burada Clauset A, Shalizi CR, Newman ME'de bulabilirsiniz. Ampirik verilerde güç kanunu dağılımları. SIAM incelemesi. 2009; 51: 661-703 ve burada .