Just-Identified 2SLS Medyan-Tarafsız mı?

Gelen Bir ampiristin Companion: Çoğunlukla Zararsız Ekonometri (Angrist ve Pischke 2009: sayfa 209) Aşağıdaki okuyun:

(...) Aslında, sadece tanımlanmış 2SLS (basit Wald tahmincisi) yaklaşık olarak tarafsızdır . Bunun resmi olarak gösterilmesi zordur, çünkü sadece tanımlanan 2SLS'nin momentleri yoktur (yani örnekleme dağılımının yağ kuyrukları vardır). Bununla birlikte, zayıf enstrümanlarla bile, sadece tanımlanmış 2SLS olması gerektiği yere yaklaşık olarak ortalanır. Bu nedenle, sadece tanımlanan 2SLS'nin medyan-tarafsız olduğunu söylüyoruz. (...)

Yazarlar olsa söylemek sadece tanımlanan 2SLS onlar ne,-medyan tarafsız olduğunu kanıtlamak onu ne de a bir başvuru sağlamak kanıtı . 213 Sayfasında, öneriye bir kez daha değiniyorlar, ancak bir kanıttan bahsedilmiyorlar. Ayrıca, MIT'den araçsal değişkenler hakkındaki ders notlarında öneri için herhangi bir motivasyon bulamıyorum , sayfa 22.

Nedeni, blog'larında bir notta reddettikleri için teklifin yanlış olması olabilir . Bununla birlikte, sadece tanımlanan 2SLS yaklaşık olarak medyan-tarafsızdır, yazarlar. Küçük bir Monte-Carlo deneyi kullanarak bunu motive ederler, ancak yaklaşımla ilişkili hata teriminin analitik kanıtını veya kapalı form ifadesini sağlamazlar. Her neyse, bu yazarların Michigan State Üniversitesi'nden profesör Gary Solon'a, sadece yeni tanımlanmış 2SLS'nin medyan-tarafsız olmadığı yorumu yapan yanıtıydı .

Soru 1: Gary Solon'un ileri sürdüğü gibi, sadece tanımlanmış 2SLS'nin medyan-tarafsız olmadığını nasıl kanıtlarsınız ?

Soru 2: Yeni tanımlanmış 2SLS'nin Angrist ve Pischke'nin iddia ettiği gibi yaklaşık medyan-tarafsız olduğunu nasıl kanıtlarsınız?

Soru 1 için bir karşı örnek arıyorum. Soru 2 için (öncelikle) bir kanıt veya bir kanıt referansı arıyorum.

Ayrıca bu bağlamda medyan-tarafsızın resmi bir tanımını arıyorum . Aşağıdaki gibi ben kavramını: Bir tahmincisi ait bazı kümesi temelinde ait için medyan-tarafsız olan rasgele değişkenler ancak ve ancak dağılımı medyan vardır . $\hat{\theta}(X_{1:n})$ $\theta$ $X_{1:n}$ $n$ $\theta$ $\hat{\theta}(X_{1:n})$ $\theta$

notlar

Yeni tanımlanmış bir modelde, endojen regresörlerin sayısı alet sayısına eşittir.
Aşağıdaki gibi sadece tanımlanan enstrümantal değişkenler modeli tanımlayan bir çerçeve olarak ifade edilebilir: ilgi nedensel modeli ve birinci aşama denklemidir burada bir bir açıklayan matris endojen regressors ve enstrümantal değişkenler tarafından açıklanan matris . İşte
$\begin{matrix} (1) & {\begin{cases} Y & = X β + W γ + u \\ X & = Z δ + W ζ + v \end{cases} \end{matrix}$ $\begin{cases} Y&=X\beta+W\gamma+u \\ X&=Z\delta+W\zeta+v \end{cases}\tag{1}$ $X$ $k\times n+1$ $k$ $k\times n+1$ $Z$ $W$ sadece bazı kontrol değişkenlerini açıklar (örneğin hassasiyeti artırmak için eklenir); ve ve hata terimleridir. $u$ $v$
Bu tahmin içinde İlk olarak, gerileme: kullanarak 2SLS ile için kontrol ve tahmin edilen değerler elde ; buna ilk aşama denir. İkinci olarak, geriletir ile için kontrol ; buna ikinci aşama denir. Tahmini katsayısı ikinci aşamada bizim 2SLS arasında tahmin olduğunu . $\beta$ $(1)$ $X$ $Z$ $W$ $\hat{X}$ $Y$ $\hat{X}$ $W$ $\hat{X}$ $\beta$
En basit durumda, modeli var ve alet endojen geri çekici ile . Bu durumda, 2SLS tahmini olan
$y_{i} = α + β x_{i} + u_{i}$ $y_i=\alpha+\beta x_i+u_i$ $x_i$ $z_i$ $\beta$ arasındaki örnek kovaryans belirtmektedirve. Biz basitleştirebilir: $\begin{matrix} (2) & {\hat{β}}^{2SLS} = \frac{s_{Z Y}}{s_{Z X}}, \end{matrix}$ $\hat{\beta}^{\text{2SLS}}=\frac{s_{ZY}}{s_{ZX}}\tag{2},$ $s_{AB}$ $A$ $B$ $(2)$ burada,ve, buradagözlem sayısıdır. $\begin{matrix} (3) & {\hat{β}}^{2SLS} = \frac{\sum_{i} (y_{i} - \bar{y}) z_{i}}{\sum_{i} (x_{i} - \bar{x}) z_{i}} = β + \frac{\sum_{i} (u_{i} - \bar{u}) z_{i}}{\sum_{i} (x_{i} - \bar{x}) z_{i}} \end{matrix}$ $\hat{\beta}^{\text{2SLS}}=\frac{\sum_i(y_i-\bar{y})z_i}{\sum_i(x_i-\bar{x})z_i}=\beta+\frac{\sum_i(u_i-\bar{u})z_i}{\sum_i(x_i-\bar{x})z_i}\tag{3}$ $\bar{y}=\sum_iy_i/n$ $\bar{x}=\sum_i x_i/n$ $\bar{u}=\sum_i u_i/n$ $n$
Soru 1 ve 2'ye cevap veren referansları bulmak için "yeni tanımlanmış" ve "medyan-tarafsız" kelimelerini kullanarak literatür taraması yaptım (yukarıya bakın). Hiçbirini bulamadım. Bulduğum tüm makaleler (aşağıya bakınız), sadece tanımlanan 2SLS'nin medyan-tarafsız olduğunu belirlerken Angrist ve Pischke'ye (2009: sayfa 209, 213) atıfta bulunur.
- Jakiela, P., Miguel, E. ve Te Velde, VL (2015). Bunu kazandınız: beşeri sermayenin sosyal tercihler üzerindeki etkisini tahmin etmek. Deneysel Ekonomi , 18 (3), 385-407.
- An, W. (2015). Enstrümantal değişkenler sosyal ağlarda akran etkilerini tahmin eder. Sosyal Bilimler Araştırmaları , 50, 382-394.
- Vermeulen, W. ve Van Ommeren, J. (2009). Arazi kullanım planlaması bölge ekonomilerini şekillendiriyor mu? Hollanda'da konut arzı, iç göç ve yerel istihdam büyümesinin eş zamanlı analizi. Konut Ekonomisi Dergisi , 18 (4), 294-310.
- Aidt, TS ve Leon, G. (2016). Demokratik bir fırsat penceresi: Sahra-altı Afrika'daki isyanlardan kanıtlar. Çatışma Çözümü Dergisi , 60 (4), 694-717.

— Elias
kaynak

Bunu resmi bir kanıtla cevaplayamadım, bunun yerine LIML'in medyan tarafsız (artı tanım) olduğunu ve bir endojen değişken ve bir enstrümana sahip LIML ve 2SLS'nin aynı küçük örnek dağılımına sahip olduğunu gösteren bazı simülasyon çalışmaları ile (bu nedenle bu vaka medyan-nötr, o zaman 2SLS). Bu, sorunuzu cevaplamak için yeterli olur mu?

— Andy

@Andy Bu gerçekten iyi bir cevap olurdu! Diğer kullanıcıların ne söyleyebileceğine bağlı olarak yeterli olabilir. Muhtemelen, sadece tanımlanmış 2SLS'nin yaklaşık olarak medyan-tarafsız olduğuna dair bir kanıt olmadığını düşündüğüm için yeterlidir. Sadece tanımlanan 2SLS'nin medyan-tarafsız olmadığını gösteren bir karşı örnekle iyi olurdu; ama bence bir karşı örnek bulmak mümkün (ama belki de zor).

— Elias

Yaklaşık olarak tarafsız olarak, 1 / n veya 1 / n ^ 2 gibi gözlem sayısının bir fonksiyonu olarak sapmanın sıfıra gittiğini mi kastediyorsunuz?

— Igor

@Igor "Yaklaşık medyan-tarafsız" ifadesi benim tarafımdan kullanılmıyor. "Medyan-tarafsız" biçiminin ne anlama geldiğini bilmediğim için, sorunuzu cevaplayamam. Ama düşündüğünüz şey asimtotik olarak tarafsız bir tahmin edicidir .

— Elias

Simülasyon çalışmalarında ortalama önyargı terimi, bir tahmin edicinin gerçek değerinden sapmalarının mutlak değerini ifade eder (bu durumda bir simülasyon olduğu için biliyorsunuz, böylece gerçek değeri seçersiniz). Tablo 15'te böyle medyan önyargıları tanımlayan Young (2017) veya Andrews ve Armstrong'un (2016) bir çalışma belgesini görebilirsiniz. şekil 2'de farklı tahmin ediciler için medyan önyargı grafikleri çizen .

Karışıklığın bir kısmı (literatürde de), iki ayrı altta yatan sorunun olduğu gerçeğinden geliyor gibi görünüyor:

zayıf enstrümanlar
birçok (potansiyel olarak) zayıf enstrüman

İyi tanımlanmış bir ortamda zayıf bir alete sahip olma sorunu, bazılarının zayıf olduğu birçok alete sahip olmaktan çok farklıdır, ancak iki konu bazen birlikte atılır.

$\kappa$

\hat{β} = {[X^{'} (I - κ M_{Z}) X]}^{- 1} [X^{'} (I - κ M_{Z})_{y})]

$\widehat{\beta} = \left[ X'(I-\kappa M_Z)X \right]^{-1}\left[ X'(I-\kappa M_Z)_y) \right]$

$M_Z = I-Z(Z'Z)^{-1}Z'$

\begin{aligned} y & = X β + u \\ X & = Z π + e . \end{aligned}

$\begin{align} y &= X\beta + u \\ X &= Z\pi + e. \end{align}$

$\kappa$ $\kappa = 0$ $\kappa = 1$ $\kappa$ $\det (X'X - \kappa X'M_ZX))=0$ , )

Asimptotik olarak LIML ve 2SLS aynı dağılıma sahiptir, ancak küçük örneklerde bu çok farklı olabilir. Bu, özellikle birçok enstrümanımız olduğunda ve bazılarının zayıf olması durumunda geçerlidir. Bu durumda, LIML 2SLS'den daha iyi performans gösterir. Buradaki LIML'nin medyan tarafsız olduğu gösterilmiştir. Bu sonuç bir grup simülasyon çalışmasından kaynaklanmaktadır. Genellikle bu sonucu bildiren makaleler Rothberg (1983) "Yapısal Modellerde Bazı Tahmin Edicilerin Asimtotik Özellikleri", Sawa (1972) veya Anderson vd. (1982) .

Steve Pischke bu sonuç için slayt 17'deki 2016 notlarında bir simülasyon sağladı ve OLS, LIML ve 2SLS'nin sadece biri gerçekten yararlı olan 20 enstrümanla dağılımını gösteriyor. Gerçek katsayı değeri 1'dir. 2SLS OLS'ye doğru eğilimli iken LIML'nin gerçek değerde ortalandığını görürsünüz.

Şimdi argüman şu gibi görünmektedir: LIML'nin medyan tarafsız olduğu gösterilebilir ve yeni tanımlanmış durumda (bir endojen değişken, bir enstrüman) LIML ve 2SLS eşdeğerdir, 2SLS de medyan tarafsız olmalıdır.

Bununla birlikte, insanlar tekrar "zayıf enstrüman" ve "birçok zayıf enstrüman" kasasını karıştırıyor gibi görünüyor, çünkü sadece belirlenen ayarlarda hem zayıf hem de LIMS ve 2SLS yanlı olacak. Enstrüman zayıf olduğunda LIML'nin yeni tanımlanmış durumda tarafsız olduğunu gösterdiği hiçbir sonuç görmedim ve bunun doğru olduğunu düşünmüyorum. Benzer bir sonuç, Angrist ve Pischke'nin (2009) Gary Solo'ya verdiği yanıttan 2. sayfada ortaya çıkıyor ve burada cihazın gücünü değiştirirken OLS, 2SLS ve LIML önyargılarını simüle ediyorlar.

<0.1 (standart hatayı sabit tutarak) çok küçük ilk aşama katsayıları, yani düşük cihaz gücü için, sadece tanımlanmış 2SLS (ve dolayısıyla sadece tanımlanmış LIML), OLS tahmincisinin olasılık sınırına çok daha yakındır. gerçek katsayı değeri 1.

İlk aşama katsayısı 0,1 ile 0,2 arasında olduğunda, birinci aşama F istatistiğinin 10'un üzerinde olduğunu ve dolayısıyla Stock ve Yogo (2005) tarafından F> 10'un başparmak kuralına göre artık zayıf bir enstrüman probleminin olmadığını not ederler. Bu anlamda, LIML'nin az önce tanımlanan vakada zayıf bir cihaz problemi için nasıl bir düzeltme olması gerektiğini göremiyorum. Ayrıca i) LIML'nin daha dağınık olma eğiliminde olduğunu ve standart hatalarının düzeltilmesini gerektirdiğini (bkz. Bekker, 1994) ve ii) cihazınız gerçekten zayıfsa, ikinci aşamada 2SLS veya LIML ile hiçbir şey bulamazsınız. çünkü standart hatalar çok büyük olacak.

— Andy
kaynak

Cevap için teşekkürler! Bu bana her şeyi daha açık hale getirdi.

— Elias