Tahmin ve Tolerans Aralıkları

Tahmin ve hoşgörü aralıklarıyla ilgili birkaç sorum var.

Önce tolerans aralıklarının tanımlanması üzerinde anlaşalım: Bize bir güven seviyesi, örneğin% 90, yakalanacak nüfusun yüzdesi,% 99 ve örnek büyüklüğü, 20 diyelim. Olasılık dağılımı biliniyor, normal diyoruz kolaylık sağlamak için. Şimdi, yukarıdaki üç sayı (% 90,% 99 ve 20) ve altta yatan dağılımın normal olması nedeniyle, tolerans sayısını hesaplayabiliriz . Ortalama ve standart sapması olan bir örnek verildiğinde, tolerans aralığı . Bu tolerans aralığı popülasyonun% 99'unu örnek başarılı olarak adlandırılır$k$$(x_1,x_2,\ldots,x_{20})$$\bar{x}$$s$$\bar{x}\pm ks$$(x_1,x_2,\ldots,x_{20})$ve şart, numunelerin% 90'ının başarılı olmasıdır .

Yorum:% 90, bir numunenin başarılı olması için a priori olasılıktır. % 99, örneğin bir başarı olduğu göz önüne alındığında, gelecekteki bir gözlemin tolerans aralığında olması için şartlı olasılıktır.

Sorularım: Tahmin aralıklarını tolerans aralıkları olarak görebilir miyiz? Web'e baktığımda bu konuda çelişkili cevaplar aldım, hiç kimsenin tahmin aralıklarını dikkatli bir şekilde tanımlamadığını söylemiyorum. Öyleyse, tahmin aralığının (veya referansın) kesin bir tanımına sahipseniz, bunu takdir ediyorum.

Anladığım kadarıyla, örneğin% 99 tahmin aralığı, tüm numuneler için gelecekteki tüm değerlerin% 99'unu yakalamıyor . Bu,% 100 olasılıkla nüfusun% 99'unu yakalayan bir tolerans aralığıyla aynı olacaktır.

Bir% 90 tahmini aralığı için bulunan tanımlarında,% 90 , a priori örnek, mesela belirli bir olasılık (boyut sabitlenmiştir) ve tek bir gelecek gözlem , bu , tahmin aralığında olacaktır. Dolayısıyla, hem örnek hem de gelecekteki değerin, aynı zamanda, örneğin verildiği tolerans aralığının aksine ve belirli bir olasılıkla bir başarı olduğu ve örneğin bir başarı$(x_1,x_2,\ldots,x_{20})$$y$$y$, gelecekteki bir değer verilir ve belirli bir olasılıkla tolerans aralığına düşer. Tahmin aralığının yukarıdaki tanımının doğru olup olmadığından emin değilim, ancak en azından mantıksız görünüyor.

Herhangi bir yardım?

Tanımlarınız doğru görünüyor.

Bu konularda danışılması gereken kitap, İstatistiksel Aralıklardır (Gerald Hahn ve William Meeker), 1991.

Tek bir gelecekteki gözlem için tahmin aralığı, belirli bir güven derecesi ile, bir popülasyondan bir sonraki (veya önceden belirlenmiş başka bir şekilde) rastgele seçilen gözlemi içerecek bir aralıktır.

[A] tolerans aralığı, belirli bir güven derecesine sahip nüfusun en az belirli bir oranını, p , % içerdiğini iddia edebileceği bir aralıktır .$100(1-\alpha)\%$

İşte standart matematiksel terminolojideki düzeltmeler. Let veri bağımsız rastgele değişken bir gerçekleştirme düşünülebilir X = ( X 1 , ... , x , n ) ortak kümülatif dağılım fonksiyonu F θ . ( Θ hatırlatmak olarak görünür F bilinmeyen olabilir ama dağılımları kümesi verilen içinde yalan varsayılır F İçeride ISTV melerin RWMAIWi'nin | θ ∈ İçeride ISTV melerin RWMAIWi'nin ). Let X $\mathbf{x}=(x_1,\ldots,x_n)$$\mathbf{X}=(X_1,\ldots,X_n)$$F_\theta$$\theta$$F$${F_\theta \vert \theta \in \Theta}$$X_0$aynı dağılım with değerine sahip ve ilk n değişkeninden bağımsız başka bir rastgele değişken olabilir.$F_\theta$$n$

1. Bir kestirim aralığı uç noktalar tarafından verilen (tek bir gelecek gözlem), , belirleyici özelliği bu olan$[l(\mathbf{x}), u(\mathbf{x})]$

   $$\inf_\theta\{{\Pr}_\theta(X_0 \in [l(\mathbf{X}), u(\mathbf{X})])\}= 100(1-\alpha)\%.$$

   Spesifik olarak , F θ yasası ile belirlenen ( X 0 , X 1 , … , X n ) n + 1 değişken dağılımına karşılık gelir . Koşullu olasılıkların olmadığına dikkat edin: bu tam bir ortak olasılıktır. Ayrıca, zamansal bir diziye herhangi bir referansın bulunmadığına dikkat edin: X 0 , diğer değerlerden önce zaman içinde çok iyi gözlenebilir . Farketmez.${\Pr}_\theta$$n+1$$(X_0, X_1, \ldots, X_n)$$F_\theta$$X_0$

   Bunun hangi yön (ler) in "sezgisel" olabileceğinden emin değilim. Veri toplamadan önce izlenecek bir faaliyet olarak istatistiksel bir prosedür seçmeyi düşünürsek , bu planlı iki adımlı bir sürecin doğal ve makul bir formülüdür, çünkü her iki veri ( ) ve "gelecekteki değer" X 0'ın rastgele modellenmesi gerekir.$X_i, i=1,\ldots,n$$X_0$

2. Bir tolerans aralığı, uç noktalar tarafından verilen , belirleyici özelliği bu olan$(L(\mathbf{x}), U(\mathbf{x})]$

   $$\inf_\theta\{{\Pr}_\theta\left(F_\theta(U(\mathbf{X})) - F_\theta(L(\mathbf{X})\right) \ge p)\} = 100(1-\alpha)\%.$$

   atıfta bulunulmadığına dikkat edin : hiçbir rol oynamaz.$X_0$

Ne zaman Normal dağılımların kümesidir, formun tahmin aralıkları vardır mevcut$\{F_\theta\}$

( örnek ortalaması ve s örnek standart sapmasıdır). Hahn & Meeker tarafından tablolanan k fonksiyonunun değerleri x verilerine bağlı değildir . Normal durumda bile başka tahmin aralığı prosedürleri vardır : bunlar sadece bunlar değildir.$\bar{x}$$s$$k$$\mathbf{x}$

Benzer şekilde, formun tolerans aralıkları vardır

Başka tolerans aralığı prosedürleri de vardır : bunlar sadece bunlar değildir.

Bu formül çiftleri arasındaki benzerliğe dikkat ederek, denklemi çözebiliriz.

$\alpha'$$p$$\alpha$$\alpha'$$p$

$K(\alpha,p)$