Eğer sabit olduğu, bir mutlaka sabit?

ARCH modelinin özelliklerinden biri için , sabit iff burada ARCH modeli: $\mathbb{E}(X_t^2) < \infty$ $\{X_t\}$ $\sum_{i=1}^pb_i < 1$

$X_t = \sigma_t\epsilon_t$

$\sigma_t^2 = b_0 + b_1X_{t-1}^2 + ... b_pX_{t-p}^2$

ana fikri, bir AR (p) süreci olarak yazılabileceğini ve doğruysa, karakteristik polinomun tüm köklerinin ünitenin dışında olduğunu göstermektir. daire ve dolayısıyla sabittir. Daha sonra sabit olduğunu söylüyor . Bu nasıl takip eder? $X_t^2$ $\sum_{i=1}^pb_i < 1$ $\{X_t^2\}$ $\{X_t\}$

mathematical-statistics stationarity garch

— Öğrenci
kaynak

Genel olarak, hayır. Bir süreç düşünebiliriz ama durağan olduğunu bazı aralıklarla ancak üzerinde başka bir zaman aralığına. Belki çok uzak, ama matematiksel bir olasılık.

X_{t}

$X_t$

X_{t} = \sqrt{X_{t}^{2}}

$X_t = \sqrt{X_t^2}$

X_{t} = - \sqrt{X_{t}^{2}}

$X_t=-\sqrt{X_t^2}$

— kjetil b halvorsen

Verilen bölümden durağanlığının ima ettiğini ama aslında sadece sabit bir varyansı anlamına . $X^2_t$ $X_t$ $X_t$

Kanıtı yazarları durağanlığını kullanıyorlardı kayıtsız şartsız anlarda bakarak daha önce başlamıştı bir argüman tamamlamak için $X^2_t$ $X_t$

sipariş durağanlık koşulunu hatırlayın : $2^{nd}$

$E(X_t)<\infty$ $\forall_{t\in Z}$
$Var(X_t) = m$ $\forall_{t\in Z}$
$Cov(X_t,X_{t+h})= \gamma_x(h)$ $\forall_{h\in Z}$

Koşul 1, ile kanıtlandı. $E(X_t)=E(E(X_t|F_{t-1}))=0$

Koşul 3, $E(X_tX_{t-1})=E(\sigma_t\epsilon_t\sigma_{t-1}\epsilon_{t-1})=E(E(\sigma_t\epsilon_t\sigma_{t-1}\epsilon_{t-1})|F_{t-1})=E(\sigma_{t}\sigma_{t-1}E(\epsilon_{t-1}\epsilon_{t})|F_{t-1}))=0$

Ancak ikinci koşulu kanıtlamak için koşulsuz sabit bir varyansını kanıtlamaları gerekiyordu. $X_t$

$Var(X_{t})=Var(X_{t-1})=Var(X_{t-2})=...=m$

Bahsettiğiniz nin durağanlık varsayımına yol açan şey , formunu kullanır . Kısaca: X ^ 2_t sabitse, polinomun kökleri birim çemberin dışında ve Bu mümkün kılar yazmak için: $X^2_{t}$ $AR(p)$

\begin{aligned} V a r (X_{t}) = & E (V a r (X_{t}) | F_{t - 1}) + V a r (E (X_{t} | F_{t - 1})) \\ = & E (V a r (u_{t} | F_{t - 1})) b e c a u s e t h e l a s t t e r m i s 0 \\ = & E (b_{0} + b_{1} X_{t - 1}^{2} + . . . b_{p} X_{t - p}^{2}) \\ = & b_{0} + b_{1} E (X_{t - 1}^{2}) + . . . b_{p} E (X_{t - p}^{2}) \\ = & b_{0} + b_{1} v a r (X_{t - 1}) + . . . b_{p} v a r (X_{t - p}) \end{aligned}

$\begin{align*} Var(X_{t})=&E(Var(X_{t})|F_{t-1}) + Var(E(X_t|F_{t-1}))\\ =&E(Var(u_t|F_{t-1}))\quad because\: the\: last\: term\: is\: 0\\ =&E(b_0 + b_1X_{t-1}^2 + ... b_pX_{t-p}^2)\\ =& b_0 + b_1E(X_{t-1}^2) + ... b_pE(X_{t-p}^2)\\ =&b_0 + b_1var(X_{t-1}) + ... b_pvar(X_{t-p}) \end{align*}$ $\Sigma b_i<1$

v a r (X_{t - 1}) = . . . = v a r (X_{t - p}) = \frac{b_{0}}{1 - b_{1} - . . . - b_{p}} w h i c h i s a l a s c o n s t a n t!

$var(X_{t-1})=... = var(X_{t-p})= \frac{b_0}{1-b_1-...-b_p} \quad which\quad is \quad alas\quad constant!$

— machazthegamer
kaynak

Referans belge bağlantıdır

— machazthegamer