Ortak güven aralıklarını hesaplamak için Gauss korelasyon eşitsizliğinin sonuçları

Quanta Dergisi'ndeki bu çok ilginç makaleye göre: "Uzun Aranan, Bulunan ve Neredeyse Kayıp Olan Bir Kanıt" , - çok değişkenli bir vektör verildiği kanıtlanmıştır. Gauss dağılımı ve verilen aralıklarla mukabil bileşenlerinin araçlarının etrafında sonra, $\mathbf{x}=(x_1,\dots,x_n)$ $I_1,\dots,I_n$ $\mathbf{x}$

p (x_{1} \in I_{1}, \dots, x_{n} \in I_{n}) \geq \prod_{i = 1}^{n} p (x_{i} \in I_{i})

$p(x_1\in I_1, \dots, x_n\in I_n)\geq \prod_{i=1}^n p(x_i\in I_i)$

(Gauss korelasyon eşitsizliği veya GCI; daha genel formülasyon için bkz. Https://arxiv.org/pdf/1512.08776.pdf ).

Bu gerçekten çok hoş ve basit görünüyor ve makale ortak güven aralıkları için sonuçları olduğunu söylüyor. Ancak, bu konuda bana oldukça yararsız görünüyor. parametrelerini tahmin ettiğimizi varsayalım ve (belki asimptotik) ortak normal (örneğin MLE tahmincisi) olan tahminciler . Daha sonra, her parametre için% 95-güvenme aralıklarını hesaplarsam, GCI, , ... ' den daha az olmayan kapsama alanı olan ortak bir güven bölgesi olduğunu garanti eder. orta için . $\theta_1,\dots,\theta_n$ $\hat{\theta_1},\dots,\hat{\theta_n}$ $I_1\times\dots I_n$ $(0.95)^n$ $n$

Bu nedenle, ortak güven bölgeleri bulmanın akıllıca bir yolu görünmüyor: çok değişkenli bir Gauss için normal güven bölgesi, yani bir hiperliplipoid, kovaryans matrisinin bilinip bilinmediğini ve daha keskin olup olmadığını bulmak zor değil. Kovaryans matrisi bilinmediğinde belki güven bölgelerinin bulunması yararlı olabilir mi? GCI'ın ortak güven bölgelerinin hesaplanması ile ilgisine bir örnek gösterebilir misiniz?

normal-distribution confidence-interval multivariate-normal

— DeltaIV
kaynak

Doğru fikrin var. Bireysel güven aralıkları, eklem bölgesinin% 95'e ulaşması için% 95'ten daha yüksek olmalıdır. Her biri 1 / nth gücüne yükseltilmiş en az 0,95 olmalıdır.

— Michael R. Chernick

Küçük ama önemli bir düzeltme: aralıklarının sıfır merkezli olmalıdır, yani .

I_{k}

$I_k$

I_{k} = {x : | x | \leq x_{k}}

$I_k=\{x: |x|\leq x_k\}$

— Alex R.

@ amoeba Kanıtın zorluğu hakkında değil, uygulamalı istatistiklerle ilgisi hakkında endişeliyim. Bir hiper-dikdörtgeni göz önünde bulundurmak, böyle bir alaka göstermeyi kolaylaştırırsa, iyi Bunun yerine, bu eşitsizliğin ancak keyfi bir çokgen düşünüldüğünde pratikte yararlı olacağını düşünüyorsanız, yeterince adil. "Yalnızca hiper dikdörtgenleri düşünürseniz, GCI uygulamalı bir istatistikçi için çok yararlı bir araç değildir, çünkü .... Ama keyfi poligonları düşünürseniz, o zaman konuyla alakalı hale gelir" diyen bir cevabı kabul edeceğim.

— DeltaIV

Makaleleri provalarla düzenlemek ve incelemek istedim ancak artık hiper-dikdörtgenin özel / kolay bir durum veya eşdeğer bir formülasyon olup olmadığından artık% 100 emin değilim. Şimdilik bırakıp belki daha sonra buraya geleceğim.

— amip diyor Reinstate Monica,

orijine merkezlenmiş hiper-dikdörtgenler (orijin merkezinde merkezlendiğinde, Kartezyen ürünü hiper-dikdörtgeni tanımlayan 1D aralıklarının her birinin orijinale göre simetrik olduğu anlamına gelir) kesinlikle en azından özel bir durumdur (eğer onlar hakkında bir fikrim yok) eşdeğer durum). ArXiv kağıdına göre, eşitsizlik tüm simetrik dışbükey kümeler için geçerlidir. Bir hiper-dikdörtgen , dışbükey bir kümedir ve başlangıçta yukarıda tanımlanan anlamda merkezlendiyse, simetriktir, yani, .

H

$H$

x = (x_{1}, \dots, x_{n}) \in H ⟺ - x \in H

$\mathbf{x}=(x_1,\dots,x_n)\in H \iff -\mathbf{x} \in H$

— DeltaIV

Bence soru daha fazla ilgi gösteriyor. Bir anlamda, çoklu hipotez testlerini inceliyor ve çoklu hipotez testlerini çalıştırıyorsunuz.

Evet, aslında bağımsızlık varsa testlerin p-değerlerinin ürünü olan daha düşük bir sınır var. Bu, Bonferroni veya Holm ayarları gibi Çoklu Hipotez Testlerinde p-değerlerinde yapılan ayarlamalar için temel oluşturur. Ancak Bonferroni ve Holm ayarlamaları (bağımsızlığı varsayarsak) özellikle düşük güç testleridir.

Biri pratikte çok daha iyisini yapabilir (ve bu Bootstrap ile yapılır, bakınız örneğin H White's Bootstrap Reality Check, Romano-Wolf'un makaleleri ve Model-Güven Kümeleriyle ilgili daha yeni kağıtlar). Bunların her biri daha yüksek bir güç hipotez testinde bir girişimdir (örneğin, yalnızca bu alt sınırı kullanmaktan daha iyisini yapmak için tahmini korelasyonu kullanmak) ve sonuç olarak çok daha alakalı.

— NBF
kaynak