Geometrik ortalama, hangi sürekli dağılımın ortalamasının tarafsız bir tahmincisidir?

Kapalı formda ifade edilebilir sürekli bir dağılım var mıdır, ortalamaları numunelerin geometrik ortalaması bu ortalama için tarafsız bir tahmin edicidir?

Güncelleme: Az önce örneklerimin pozitif olması gerektiğini fark ettim (ya da geometrik ortalama olmayabilir) belki de sürekli doğru kelime değildir. Rastgele değişkenin negatif değerleri için sıfır olan ve pozitif değerler için sürekli olan bir dağılıma ne dersiniz. Kesik bir dağılım gibi bir şey.

distributions geometric-mean

— user53608
kaynak

Kesin pozitif bir numune alanına sahipken bir dağılım sürekli olabilir (örn. Gama dağılımı).

— gammer

Ayrıca bir örnekten gelen geometrik ortalamanın ilk anın tarafsız bir tahmincisi olduğu bir örneği mi kastediyorsunuz? Daha önce tanımlanmış ayrı bir veri kümesinin geometrik ortalamasını ve sürekli dağılım için "gerçek" (yani popülasyon düzeyinde) geometrik ortalamanın nasıl tanımlanacağını belirsiz olarak gördüm ... Belki

e x p (E (\log (X)))

${\rm exp}( E(\log(X)) )$ ?

— gammer

Lognormal dağılım için çalışır.

— Michael R. Chernick

X

$X$

c

$c$

Yanıtlar:

$X$ $n>1$

E [G M] = E [{(\prod_{i = 1}^{n} X_{i})}^{1 / n}] = E (X)

$E[GM] = E\left[\left(\prod_{i=1}^n X_{i}\right)^{1/n}\right] = E(X)$

İid varsayımı nedeniyle ,

E [{(\prod_{i = 1}^{n} X_{i})}^{1 / n}] = E (X_{1}^{1 / n} \cdot . . . \cdot X_{n}^{1 / n}) = E (X_{1}^{1 / n}) \cdot . . . \cdot E (X_{n}^{1 / n}) = {[E (X^{1 / n})]}^{n}

$E\left[\left(\prod_{i=1}^n X_{i}\right)^{1/n}\right] = E\left(X_1^{1/n}\cdot ...\cdot X_n^{1/n}\right) = E\left (X_1^{1/n}\right)\cdot ...\cdot E\left(X_n^{1/n}\right) = \left[E\left(X^{1/n}\right)\right]^n$

ve böylece sahip olup olamayacağımızı soruyoruz

{[E (X^{1 / n})]}^{n} = E (X)

$\left[E\left(X^{1/n}\right)\right]^n = E(X)$

Ancak Jensen eşitsizliği ve güç işlevinin birlikten daha yüksek güçler için kesinlikle dışbükey olması, neredeyse kesinlikle dejenere olmayan (sabit olmayan) rastgele bir değişken için,

{[E (X^{1 / n})]}^{n} < E {[(X^{1 / n})]}^{n} = E (X)

$\left[E\left(X^{1/n}\right)\right]^n < E\left[\left(X^{1/n}\right)\right]^n = E(X)$

Yani böyle bir dağıtım yok.

$GM$

E (X^{s}) = \exp {s μ + \frac{s^{2} σ^{2}}{2}}

$E(X^s) = \exp\left\{s\mu + \frac {s^2\sigma^2}{2}\right \}$

$\mu$ $\sigma$

$s = 1/n$

E (G M) = {[E (X^{1 / n})]}^{n} = {[\exp {(μ / n) + \frac{σ^{2}}{2 n^{2}}}]}^{n} = \exp {μ + \frac{σ^{2}}{2 n}}

$E(GM) = \left[E\left(X^{1/n}\right)\right]^n = \left[\exp\left\{(\mu/n) + \frac {\sigma^2}{2n^2}\right \}\right]^n = \exp\left\{\mu + \frac {\sigma^2}{2n}\right \}$

(bu bize medyanın taraflı bir tahmincisi olduğunu söyler). Fakat

lim {[E (X^{1 / n})]}^{n} = lim \exp {μ + \frac{σ^{2}}{2 n}} = e^{μ}

$\lim \left[E\left(X^{1/n}\right)\right]^n = \lim \exp\left\{\mu + \frac {\sigma^2}{2n}\right \} = e^{\mu}$

ki bu da dağıtımın medyanı. Ayrıca, numunenin geometrik ortalamasındaki varyansın sıfıra yaklaştığını gösterebilir ve bu iki koşulun bu tahmin edicinin asimptotik olarak tutarlı olması için yeterlidir - medyan için,

G M \to_{p} e^{μ}

$GM \to_p e^{\mu}$

— Alecos Papadopoulos
kaynak

Belki de, kesinlikle dışbükey bir fonksiyonla uygulanan Jensen eşitsizliğinin, ancak sabit olması durumunda bir eşitlik olduğu unutulmamalıdır .

X

$X$

— Olivier

@Olivier: Bence bu sadece onu eklemek için karmaşa ekleyebilecek kadar iyi bilinen bir özellik. Her durumda , Jensen eşitsizliğine gerçekten ihtiyaç bile yok çünkü vakası zaten zaten gerçeği ile yeterince birleştiğinde , neredeyse daha da temel bir argümanla ima ediyor .

n = 2

$n = 2$

V a r (X) = 0

$\mathrm{Var}(X) = 0$

X = 0

$X = 0$

— kardinal

Bu, Alecos'un mükemmel cevabına benzer bir argüman, çünkü aritmetik ortalama, geometrik ortalama eşitsizlik, Jensen eşitsizliğinin bir sonucudur.

aritmetik ortalama olmasına izin verin : $A_n$ $A_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$
Let geometrik ortalama olarak: $G_n$ $G_n = \left( \prod_{i=1} X_i \right) ^ \frac{1}{n}$

Aritmetik ortalama, geometrik ortalama eşitsizlik bildiren eşitlikle ise, her gözlem eşit olduğu takdirde: . (AMGM eşitsizliği, Jensen eşitsizliğinin bir sonucudur .) $A_n \geq G_n$ $X_1 = X_2 = \ldots = X_n$

Durum 1: neredeyse kesin olarak $X_1 = X_2 = \ldots = X_n$

Sonra . $\operatorname{E}[G_n] = \operatorname{E}[A_n] = \operatorname{E}[X]$

Bir anlamda, bu tamamen yozlaşmış bir durumdur.

Durum 2: için $P(X_i \neq X_j) > 0$ $i\neq j$

Sonra geometrik ortalamanın aritmetik ortalamadan daha küçük olması ihtimali vardır. Tüm sonuçlar için ve , . $G_n \leq A_n$ $\operatorname{E}[A_n] = \operatorname{E}[X]$ $\operatorname{E}[G_n] < \operatorname{E}[X]$

— Matthew Gunn
kaynak

Geometrik ortalama, hangi sürekli dağılımın ortalamasının tarafsız bir tahmincisidir?

Durum 1: neredeyse kesin olarakX1=X2=…=XnX1=X2=…=XnX_1 = X_2 = \ldots = X_n

Durum 2: içinP(Xi≠Xj)>0P(Xi≠Xj)>0P(X_i \neq X_j) > 0i≠ji≠ji\neq j

Durum 1: neredeyse kesin olarak $X_1 = X_2 = \ldots = X_n$

Durum 2: için $P(X_i \neq X_j) > 0$ $i\neq j$