Diyelim ki . ABS

Aşağıdaki ifadenin doğru olduğunu görmenin en kolay yolu nedir ?

Diyelim ki $Y_1, \dots, Y_n \overset{\text{iid}}{\sim} \text{Exp}(1)$ . ABS $\sum_{i=1}^{n}(Y_i - Y_{(1)}) \sim \text{Gamma}(n-1, 1)$ .

Not bu $Y_{(1)} = \min\limits_{1 \leq i \leq n}Y_i$ .

Tarafından $X \sim \text{Exp}(\beta)$ , bu araçlarının $f_{X}(x) = \dfrac{1}{\beta}e^{-x/\beta} \cdot \mathbf{1}_{\{x > 0\}}$ .

olduğunu görmek kolaydır $Y_{(1)} \sim \text{Exponential}(1/n)$ . Ayrıca, parametrelemesi altında $\sum_{i=1}^{n}Y_i \sim \text{Gamma}(\alpha = n, \beta = 1)$

f Y (y) = 1 Γ ( α ) β α x α - 1 e - x / β 1 {x > 0}, α, β > 0 .

$f_{Y}(y) =\dfrac{1}{\Gamma(\alpha)\beta^{\alpha}}x^{\alpha-1}e^{-x/\beta}\mathbf{1}_{\{x > 0\}}\text{, }\qquad \alpha, \beta> 0\text{.}$

Xi'an'ın Cevabı verilen çözüm : Orijinal sorudaki gösterimi kullanarak:

\sum i = 1 n [Y i - Y (1)] = \sum i = 1 n [Y (i) - Y (1)] = \sum i = 1 n Y (i) - n Y (1) = \sum i = 1 n {Y (i) - Y (i - 1) + Y (i - 1) - \dots - Y (1) + Y (1)} - n Y (1) = \sum i = 1 n \sum j = 1 i {Y (j) - Y (j - 1)} - n Y (1) where Y (0) = 0 = \sum j = 1 n \sum i = j n {Y (j) - Y (j - 1)} - n Y (1) = \sum j = 1 n (n - j + 1) [Y (j) - Y (j - 1)] - n Y (1) = \sum i = 1 n (n - i + 1) [Y (i) - Y (i - 1)] - n Y (1) = \sum i = 2 n (n - i + 1) [Y (i) - Y (i - 1)] + n Y (1) - n Y (1) = \sum i = 2 n (n - i + 1) [Y (i) - Y (i - 1)] .

$\begin{align} \sum_{i=1}^{n}[Y_i - Y_{(1)}] &= \sum_{i=1}^{n}[Y_{(i)}-Y_{(1)}] \\ &= \sum_{i=1}^{n}Y_{(i)}-nY_{(1)}\\ &= \sum_{i=1}^{n}\{Y_{(i)}-Y_{(i-1)}+Y_{(i-1)}-\cdots-Y_{(1)}+Y_{(1)}\}-nY_{(1)}\\ &= \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^{i}\{Y_{(j)}-Y_{(j-1)}\}-nY_{(1)}\text{ where } Y_{(0)} = 0 \\ &= \sum_{j=1}^n\sum_{i=j}^{n}\{Y_{(j)}-Y_{(j-1)}\}-nY_{(1)}\\ &= \sum_{j=1}^{n}(n-j+1)[Y_{(j)}-Y_{(j-1)}]-nY_{(1)}\\ &= \sum_{i=1}^{n}(n-i+1)[Y_{(i)}-Y_{(i-1)}]-nY_{(1)}\\ &= \sum_{i=2}^{n}(n-i+1)[Y_{(i)}-Y_{(i-1)}]+nY_{(1)}-nY_{(1)} \\ &= \sum_{i=2}^{n}(n-i+1)[Y_{(i)}-Y_{(i-1)}]\text{.} \end{align}$ Bundan,

∑ni=2(n−i+1)[Y(i)−Y(i−1)]∼Gamma(n−1,1) $\sum_{i=2}^{n}(n-i+1)[Y_{(i)}-Y_{(i-1)}] \sim \text{Gamma}(n-1, 1)$ 1) .

— Klarnetçi
kaynak

@MichaelChernick 1) Bağımsızlık kanıtımın doğru olup olmadığından emin değilim ve 2) Yukarıda tahmin ettiğim sonucun Gamma dağılımları arasındaki farkın doğru olup olmadığından emin değilim. Bu, burada verilenlerle çelişiyor gibi görünüyor , ancak belki de bu durum farklıdır, çünkü bu fark sipariş istatistiklerinden birini içerir? Emin değilim.

— Klarnetçi

@Clarinetist, emin değilim. Belki ile çalışmayı deneyin . Bu sorunun cevabı faydalı olabilir: math.stackexchange.com/questions/80475/…

∑ni=2(Y(i)−Y(1)) $\sum_{i = 2}^n (Y_{(i)} - Y_{(1)})$

— gammer

İspat çalıştı mı, her - bir haricinde için, ve daha sonra, iid Üstel değişkenlerin toplamının Gama dağıtılacağı gerçeğini kullanarak ?

(Yi−Y(1))∼Expon(1) $(Y_i - Y_{(1)}) \sim \text{Expon}(1)$

i $i$

Yi−Y(1)=0 $Y_i - Y_{(1)} = 0$

(n−1) $(n-1)$

— Marcelo Ventura

@jbowman ve üzerinde , bunu , vererek , bu nedenle . İşte bu kanıt hakkında beni rahatsız eden şey: sabit olarak gördüm . Fakat sabit değildir. Bu neden işe yarar?

f Z i (z i) = f Y i (z i + a) = e - (z i + a)

$f_{Z_i}(z_i) = f_{Y_i}(z_i + a) = e^{-(z_i + a)}$

Yi≥a $Y_i \geq a$

e−a $e^{-a}$

e−zi $e^{-z_i}$

(Zi∣Yi≥A)∼Exp(1) $(Z_i \mid Y_i \geq A) \sim \text{Exp}(1)$

A $A$

Y(1) $Y_{(1)}$

— Klarnetçi

Nokta önemi yok olmasıdır olduğunu! Dağıtım her zaman ! Dikkat çekici, değil mi? Ve bundan dağılımının , gerçek değerine bakılmaksızın için her zaman olduğu sonucuna varabilirsiniz .

a $a$

Exp(1) $\text{Exp}(1)$

Yi−Y[1] $Y_i - Y_{[1]}$

Exp(1) $\text{Exp}(1)$

i>1 $i > 1$

Y[1] $Y_{[1]}$

— jbowman

Yanıtlar:

Kanıt, Devroye'nin Düzgün Olmayan Rastgele Değişken Üretimi , Tüm Rastgele Nesil Kitapların Annesinde , s.211'de (ve çok zarif bir kitaptır !):

Teoremi 2.3 (sukhatme, 1937) tanımladığımızı Eğer normalize üstel aralıkları elde edilen sıra istatistikleri boyutta bir iid üstel numunenin kendileri iid üstel değişkenler $E_{(0)}=0$
$(n - i + 1) (E (i) - E (i - 1))$ $(n-i+1)(E_{(i)}-E_{(i-1)})$ $E_{(1)}\le\ldots\le E_{(n)}$ $n$

Kanıt. Yana sipariş istatistiğinin ortak yoğunluğu olarak yazar Ayarı , değişkenlerin ila sabit bir Jacobian [tesadüfen eşitancak bunun hesaplanması gerekmez] ve dolayısıyla

\sum i = 1 n e i = \sum i = 1 n e (i) = \sum i = 1 n \sum j = 1 i (e (j) - e (j - 1)) = \sum j = 1 n \sum i = j n (e (j) - e (j - 1)) = \sum j = 1 n (n - j + 1) (e (j) - e (j - 1))

$\begin{align*} \sum_{i=1}^n e_i &= \sum_{i=1}^n e_{(i)} =\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^i(e_{(j)}-e_{(j-1)})\\ &=\sum_{j=1}^n \sum_{i=j}^n(e_{(j)}-e_{(j-1)}) =\sum_{j=1}^n (n-j+1)(e_{(j)}-e_{(j-1)}) \end{align*}$

(E(1),…,E(n)) $(E_{(1)},\ldots,E_{(n)})$

f (e) = n! exp {- \sum i = 1 n e (i)} = n! exp {- \sum i = 1 n (n - i + 1) (e (i) - e (i - 1))}

$f(\mathbf{e})=n!\,\exp\left\{-\sum_{i=1}^ne_{(i)}\right\}=n!\,\exp\left\{-\sum_{i=1}^n (n-i+1)(e_{(i)}-e_{(i-1)})\right\}$

Yi=(E(i)−E(i−1)) $Y_i=(E_{(i)}-E_{(i-1)})$

(E(1),…,E(n)) $(E_{(1)},\ldots,E_{(n)})$

(Y1,…,Yn) $(Y_1,\ldots,Y_n)$

1/n! $1/n!$

(Y1,…,Yn) $(Y_1,\ldots,Y_n)$ , sonucu oluşturan . QED

exp {- \sum i = 1 n y i}

$\exp\left\{-\sum_{i=1}^n y_i \right\}$

Gerard Letac tarafından önerildi alternatif kontrol etmektir aynı dağılımına sahip (hafızasız özellik nedeniyle), anlaşılır.

(E (1), \dots, E (n))

$(E_{(1)},\ldots,E_{(n)})$

(E 1 n, E 1 n + E 2 n - 1, \dots, E 1 n + E 2 n - 1 + \dots + E n 1)

$\left(\frac{E_1}{n},\frac{E_1}{n}+\frac{E_2}{n-1},\ldots,\frac{E_1}{n}+\frac{E_2}{n-1}+\ldots+\frac{E_n}{1}\right)$

\sum k = 1 n (E k - E (1)) \sim \sum k = 1 n - 1 E k

$\sum_{k=1}^n(E_k-E_{(1)})\sim \sum_{k=1}^{n-1}E_k$

— Xi'an
kaynak

Bu cevap için teşekkürler! Gelecekte bu okuma herkes için bazı ayrıntıları doldurmak istiyorum: gözlemlenen değerlerdir ve kolay yolu görmek için bu , dönem yazmaktır . Yoğunluğu nedeniyle olan orantılı , ayrı yoğunluğu görmek için orantılı , dolayısıyla .

ei $e_i$

Ei $E_i$

∑ni=1e(i)=∑ni=1(n−i+1)(e(i)−e(i−1))=∑ni=1e(i) $\sum_{i=1}^{n}e_{(i)} = \sum_{i=1}^{n}(n-i+1)(e_{(i)} - e_{(i-1)}) = \sum_{i=1}^{n}e_{(i)}$

∑ni=1(n−i+1)(e(i)−e(i−1)) $\sum_{i=1}^{n}(n-i+1)(e_{(i)} - e_{(i-1)})$

(Y1,…,Yn) $(Y_1, \dots, Y_n)$

exp(−∑ni=1yi) $\exp\left(-\sum_{i=1}^{n}y_i \right)$

yi $y_i$

∏ni=1e−yi $\prod_{i=1}^{n}e^{-y_i}$

Y1,…,Yn∼iidExp(1) $Y_1, \dots, Y_n \overset{\text{iid}}{\sim} \text{Exp}(1)$

— Klarnetçi

Burada @jbowman tarafından yapılan yorumlarda önerilenleri ortaya koydum.

Sabit . Let bir izleyin ve düşünün . Sonra $a\geq 0$ $Y_i$ $\text{Exp(1)}$ $Z_i = Y_i-a$

Pr (Z i \leq z i ∣ Y i \geq a) = Pr (Y i - a \leq z i ∣ Y i \geq a)

$\Pr(Z_i\leq z_i \mid Y_i \geq a) = \Pr(Y_i-a\leq z_i \mid Y_i \geq a)$

⟹ Pr (Y i \leq z i + a ∣ Y i \geq a) = Pr ( Y i \leq z i + a , Y i \geq a ) 1 - Pr ( Y i \leq a )

$\implies \Pr(Y_i\leq z_i+a \mid Y_i \geq a) = \frac {\Pr(Y_i\leq z_i+a,Y_i \geq a)}{1-\Pr(Y_i\leq a)}$

⟹ Pr ( a \leq Y i \leq z i + a ) 1 - Pr ( Y i \leq a ) = 1 - e - z i - a - 1 + e - a e - a = 1 - e - z i

$\implies \frac {\Pr(a\leq Y_i\leq z_i+a)}{1-\Pr(Y_i\leq a)} = \frac {1-e^{-z_i-a}-1+e^{-a}}{e^{-a}}=1-e^{-z_i}$

nin dağıtım işlevidir . $\text{Exp(1)}$

Şunu açıklayalım: bir rv'nin aralığın alt sınırını (payda) aşması koşuluyla belirli bir aralıkta düşme olasılığı (son satırdaki pay), yalnızca aralığın uzunluğu ve bu aralığın gerçek hatta yerleştirildiği yerde değil. $\text{Exp(1)}$ Bu, Üstel dağılımın " hafızasızlık " özelliğinin, daha genel bir ortamda, zaman-yorumlardan arınmış bir enkarnasyonudur (ve genel olarak Üstel dağılım için geçerlidir)

Şimdi, kullanmak da biz zorla olmayan negatif olduğu, ve en önemlisi, elde edilen sonuç, tutan . Yani şunu söyleyebiliriz: $\{Y_i \geq a\}$ $Z_i$ $\forall a\in \mathbb R^+$

Eğer , daha sonra . $Y_i\sim \text{Exp(1)}$ $\forall Q\geq 0 : Z_i = Y_i-Q \geq 0$ $\implies$ $Z_i\sim \text{Exp(1)}$

Tüm negatif olmayan gerçek değerleri almakta özgür olan ve gerekli eşitsizliğin her zaman sahip olduğu (neredeyse kesin olarak) bir bulabilir miyiz ? Eğer yapabilirsek, koşullama argümanından vazgeçebiliriz. $Q\geq 0$

Ve gerçekten yapabiliriz. Bu ise en az dereceden istatistik , , . Yani biz elde ettik $Q=Y_{(1)}$ $\Pr(Y_i \geq Y_{(1)})=1$

Y i \sim Exp(1) ⟹ Y i - Y (1) \sim Exp(1)

$Y_i\sim \text{Exp(1)} \implies Y_i-Y_{(1)} \sim \text{Exp(1)}$

Bunun anlamı şudur ki

Pr (Y i - Y (1) \leq y i - y (1)) = Pr (Y i \leq y i)

$\Pr(Y_i-Y_{(1)} \leq y_i-y_{(1)}) = \Pr(Y_i \leq y_i)$

Olasılıksal yapısı, yani biz minimum sipariş istatistik çıkarma değişmeden kalır, bu, aşağıdaki rastgele değişkenler ve burada bağımsız aralarındaki olası bağlantıdan dolayı bağımsızdırlar, olasılık yapısı üzerinde bir etkiye sahip değildir. $Y_i$ $Z_i=Y_i-Y_{(1)}$ $Z_j=Y_j-Y_{(1)}$ $Y_i, Y_j$ $Y_{(1)}$

Daha sonra toplam içerir rastgele değişkenler (ve bir sıfır) IID ve böylece $\sum_{i=1}^{n}(Y_i - Y_{(1)})$ $n-1$ $\text{Exp(1)}$

\sum i = 1 n (Y i - Y (1)) \sim Gamma (n - 1, 1)

$\sum_{i=1}^{n}(Y_i - Y_{(1)}) \sim \text{Gamma}(n-1, 1)$

— Alecos Papadopoulos
kaynak