Manuel polinom genişlemesi ve R `poli` fonksiyonunu kullanmak için neden farklı tahminler alıyorum?

Manuel polinom genişlemesi ve R polyfonksiyonunu kullanmak için neden farklı tahminler alıyorum ?

set.seed(0)
x <- rnorm(10)
y <- runif(10)
plot(x,y,ylim=c(-0.5,1.5))
grid()

# xp is a grid variable for ploting
xp <- seq(-3,3,by=0.01)
x_exp <- data.frame(f1=x,f2=x^2)
fit <- lm(y~.-1,data=x_exp)
xp_exp <- data.frame(f1=xp,f2=xp^2)
yp <- predict(fit,xp_exp)
lines(xp,yp)

# using poly function
fit2 <- lm(y~ poly(x,degree=2) -1)
yp <- predict(fit2,data.frame(x=xp))
lines(xp,yp,col=2)

Girişimim:

• Kesişme ile ilgili bir sorun gibi görünüyor, modeli kesişme ile bağladığımda, yani -1modelde yok formula, iki çizgi aynı. Ama neden kesişmeden iki çizgi farklı?

• Başka bir "düzeltme" rawdik polinom yerine polinom genişlemesi kullanmaktır. Kodu değiştirirsek, fit2 = lm(y~ poly(x,degree=2, raw=T) -1)2 satırı aynı yapar. Ama neden?

Orijinal farkı doğru bir şekilde not ettiğiniz gibi, ilk durumda "ham" polinomları, ikinci durumda ise ortogonal polinomları kullanmanızdır. Daha sonra nedenle lmçağrı içine değiştirilmiş: fit3<-lm(y~ poly(x,degree=2, raw = TRUE) -1)biz arasına aynı sonuçları alacağı fitve fit3. Nedeni neden biz bu durumda aynı sonuçları almak için "önemsiz" dir; taktığımızla aynı modele uyuyoruz fit<-lm(y~.-1,data=x_exp), orada sürpriz yok.

İki modelin model matrislerinin aynı olup olmadığını kolayca kontrol edebilirsiniz all.equal( model.matrix(fit), model.matrix(fit3) , check.attributes= FALSE) # TRUE).

Daha ilginç olan, bir kesişim kullanırken neden aynı grafikleri elde edeceğinizdir. Dikkat edilmesi gereken ilk şey, bir modeli bir araya sokarak takarken

• Durumunda fit2basitçe dikey model tahminleri taşımak biz; eğrinin gerçek şekli aynıdır.

• Öte yandan, fitsonuçlarda bir kesişim dahil olmak üzere , dikey yerleştirme açısından sadece farklı bir çizgiye değil, genel olarak tamamen farklı bir şekle sahiptir.

Mevcut arsaya sadece aşağıdaki parçaları ekleyerek bunu kolayca görebiliriz.

fit_b<-lm(y~. ,data=x_exp)
yp=predict(fit_b,xp_exp)
lines(xp,yp, col='green', lwd = 2)

fit2_b<-lm(y~ poly(x,degree=2, raw = FALSE) )
yp=predict(fit2_b,data.frame(x=xp))
lines(xp,yp,col='blue')

Tamam ... Kesişim dahil uyumlar aynı iken kesişmesiz uyumlar neden farklıydı? Yakalama bir kez daha diklik durumundadır.

Durumunda fit_bkullanılan model matris gram matrisi, ortogonal olmayan elemanları ihtiva crossprod( model.matrix(fit_b) )çapraz uzaktır; fit2_belemanların dik olması durumunda ( crossprod( model.matrix(fit2_b) )etkili bir şekilde diyagonaldir).

Bu nedenle, fitbir kesişim içerecek şekilde genişlettiğimizde fit_b, Gram matris TX'in köşegen olmayan girişlerini değiştirdik ve sonuçta ortaya çıkan uyum, bir bütün olarak (farklı eğrilik, kesişim, vb.) tarafından sağlanan uygun ile . Durumunda olduğu gibi biz bir yolunu kesmek dahil etmek genişletmek zaman olsa biz sadece zaten biz sütunlara dik olan bir sütun eklemek, diklik ise dereceye 0 sabit polinomun karşı . Bu, takılan hattımızı kesişme noktasından dikey olarak hareket ettirmekle sonuçlanır. Bu nedenle araziler farklı.$X^TX$fitfit2fit2_b

İlginç soru , fit_bve öğelerinin neden fit2_baynı olduğudur; sonuçta model matrislerden alınır fit_bve yüz değerindefit2_b aynı değildir . Burada nihayetinde bunu hatırlamamız ve aynı bilgilere sahip olmamız gerekiyor . sadece lineer bir kombinasyon olduğu için ortaya çıkan uyumları aynı olacaktır. Takılan katsayıda gözlemlenen farklar, değerleri dikleştirmek için değerlerin doğrusal rekombinasyonunu yansıtır . (G. Grothendieck cevaba bakınız burada çok farklı örneğin.)fit_bfit2_bfit2_bfit_bfit_b