PCA ve asimptotik PCA arasındaki fark nedir?

1986 ve 1988'deki iki makalede , Connor ve Korajczyk, varlık getirilerini modellemeye yönelik bir yaklaşım önerdi. Bu zaman serileri, genellikle zaman dönemi gözlemlerinden daha fazla varlığa sahip olduğundan, varlık getirilerinin kesitsel kovaryanslarında bir PCA gerçekleştirmeyi teklif etmişlerdir. Bu yönteme Asimptotik Temel Bileşen Analizi diyorlar (izleyiciler PCA'nın asimptotik özelliklerini hemen düşündüğü için oldukça kafa karıştırıcı olan APCA).

Denklemleri çözdüm ve bu iki yaklaşım sayısal olarak eşdeğer görünüyor. Tabii ki asimptotikler farklıdır, çünkü yakınsama yerine için kanıtlanmıştır . Sorum şu: kimse APCA kullandı ve PCA ile karşılaştırdı mı? Somut farklılıklar var mı? Öyleyse hangileri?$N \rightarrow \infty$$T \rightarrow \infty$

Kesinlikle hiçbir fark yok.

Standart PCA ile C&K'nin önerdiği ve "asimptotik PCA" olarak adlandırdıkları arasında kesinlikle hiçbir fark yoktur. Ayrı bir isim vermek oldukça saçma.

PCA'nın kısa bir açıklaması. Satırlardaki örnekler ile merkezlenmiş veriler veri matrisinde saklanırsa , PCA kovaryans matrisinin 1 özvektörlerini arar.$\mathbf X$ve temel bileşenleri elde etmek için bu özvektörler üzerindeki verileri yansıtır. Eşdeğer olarak, bir Gram matrisini düşünebilirsiniz,$\frac{1}{N}\mathbf X^\top \mathbf X$$\frac{1}{N}\mathbf X \mathbf X^\top$

Bana göre C&K'nın önerdiği şey, ana bileşenleri hesaplamak için Gram matrisinin özvektörlerini hesaplamak. Vay canına. Bu PCA'ya "eşdeğer" değildir; o ise PCA.

Bu kargaşayı eklemek için, "asimptotik PCA" ismi, PCA ile değil, faktör analizi (FA) ile olan ilişkisine değiniyor! Orijinal C&K raporları ödeme altındadır, bu nedenle Google Kitaplar’da bulunan Tsay, Finansal Zaman Serileri Analizi’nden bir alıntı :

$k$$\to \infty$

$k \to \infty$

• EFA yerine PCA kullanmak için iyi bir neden var mı? Ayrıca, PCA faktör analizi için bir yedek olabilir mi?
• PCA ve FA hangi koşullar altında benzer sonuçlar verir?

Sonuç olarak, C&K standart PCA ("asimptotik FA" olarak da adlandırılabilir) için "asimptotik PCA" terimini kullanmaya karar verdi. Bu terimi asla kullanmamayı önerene kadar giderim.

Genellikle APCA çok fazla seri olduğunda ancak çok az sayıda örnek kullanıldığında kullanılır. APCA'yı PCA'dan daha iyi ya da daha kötü olarak tanımlamam. Bununla birlikte, aletler uygulanabilir olduğunda farklılık gösterir. Bu, kağıdın içgörüsüdür: daha uygunsa, boyutu çevirebilirsiniz! Bahsettiğiniz uygulamada, birçok varlık var, bu yüzden bir kovaryans matrisini hesaplamak için uzun zaman serilerine ihtiyacınız olacak, ama şimdi APCA'yı kullanabilirsiniz. Bununla birlikte, APCA'nın çok sık uygulandığını sanmıyorum, çünkü diğer teknikleri (faktör analizi gibi) kullanarak boyutluluğunu azaltmayı deneyebilirsiniz.