Simetrik dağılımın tanımı nedir?

Simetrik dağılımın tanımı nedir? Birisi bana rastgele bir değişkeninin $X$ , sadece $X$ ve $-X$ aynı dağılıma sahipse simetrik bir dağılımdan geldiğini söyledi . Ancak bu tanımın kısmen doğru olduğunu düşünüyorum. Çünkü karşı bir örnek $X\sim N(\mu,\sigma^{2})$ ve sunabilirim $\mu\neq0$ . Açıkçası, simetrik bir dağılımı var, ama $X$ ve $-X$ farklı dağılımı var! Haklı mıyım? Siz hiç bu soruyu düşündünüz mü? Simetrik dağılımın kesin tanımı nedir?

distributions definition symmetry

— titreme SI
kaynak

Bir "dağılım simetriktir" dediğinizde, hangi noktanın simetrik olduğunu belirtmeniz gerekir. Sunduğunuz normal dağılım durumunda, simetri

civarında verilir

μ

$\mu$ . Bu durumda

X - μ

$X-\mu$ ve

- (X - μ)

$-(X-\mu)$ aynı dağılıma sahiptir. Yoğunluk açısından bu şu şekilde ifade edilebilir:

f

$f$ ,

ise,

yaklaşık

simetriktir . BTW, bunlardan birinden memnun olduğunuzda cevapları kabul etmek iyi bir tavırdır.

μ

$\mu$

f (μ - x) = f (μ + x)

$f(\mu-x)=f(\mu+x)$

Evet, bu soruyu düşündük. Simetrik genellikle yaklaşık

simetrik anlamına gelir

0

$0$ ve diğer karşı örnekleri örneklemek için, dağılımların simetrik olduğu iddiası kümülatif olasılık dağılım fonksiyonu için doğru olan bir şey değildir . Sizin "counterexample" nokta hakkında simetriye sahiptir

μ \neq 0

$\mu \neq 0$ değil noktası hakkında,

0

$0$ .

— Dilip Sarwate

@Dilip Bir tanım, bir şeyi tanımlamanın bir yoluna bağlı olduğunda, ancak bu tanımın o şeyin kendine özgü bir özelliği olduğu gösterilebilirse, tanımı farklı bir açıklama biçimine uygulamak mantıklı değildir . Bu durumda, simetri bir dağıtımın özelliğidir , ancak bu dağıtımın tüm açıklamalarının (PDF ve CDF dahil) aynı şekilde "simetrik" olması gerektiği anlamına gelmez. PDF'nin simetrisini CDF'ye uygulayarak yorumunuz soruyu netleştirmek yerine karıştırır.

— whuber

shijing, @Procrastinator, herhangi bir cevap kabul etmeden birçok soru sorduğunuzu gözlemledi. Bu, bu sitenin nasıl çalıştığını bilmediğinizi gösterir. Okumak misiniz, herhangi bir yanlış anlaşılmayı için SSS'mizin ilgili kısmını yoluyla şekilde bütün ? Sadece birkaç dakika sürecek ve yönlendirmesini takip ederek sitemizin değerini artıracağız.

— whuber

@whuber CDF, sözcük dağıtımının aslında adda oluştuğu birkaç açıklamadan biridir ve simetri özelliğinin CDF için tutmadığını açıklamaya çalışıyordum.

— Dilip Sarwate

Kısaca: ve bazı gerçek sayı için aynı dağılıma sahip olduğunda simetriktir . $X$ $X$ $2a-X$ $a$ Ancak buna tam olarak haklı bir şekilde varmak, bazı kazma ve genellemeler gerektirir, çünkü birçok örtük soru ortaya çıkarır: neden bu "simetrik" tanımı? Başka tür simetriler olabilir mi? Bir dağılım ve onun simetrileri arasındaki ilişki nedir ve tersine, bir "simetri" ile bu simetriye sahip olabilecek dağılımlar arasındaki ilişki nedir?

Söz konusu simetriler gerçek çizginin yansımalarıdır. Hepsi formda

x \to 2 a - x

$x \to 2a-x$

bazı sabit . $a$

Diyelim ki en azından bir için bu simetriye sahip. Sonra simetri $X$ $a$

Pr [X \geq a] = Pr [2 a - X \geq a] = Pr [X \leq a]

$\Pr[X \ge a] = \Pr[2a-X \ge a] = \Pr[X \le a]$

gösteren bir olan medyan ait . Benzer şekilde, bir beklentisi varsa, hemen . Böylece biz genellikle aşağı sabitleyebilirsiniz kolaylıkla. Olmasa bile, (ve dolayısıyla simetrinin kendisi) hala benzersiz bir şekilde belirlenir (eğer varsa). $a$ $X$ $X$ $a = E[X]$ $a$ $a$

Bunu görmek için, herhangi bir simetri merkezi olsun . Daha sonra her iki simetriyi uygulayarak çevirisi altında değişmez olduğunu görüyoruz . Eğer , dağılımı, bir periyodik dağılımın toplam olasılığı ya ya da sonsuz olduğu için mümkün olmayan periyoduna sahip olmalıdır . Böylece $b$ $X$ $x \to x + 2(b-a)$ $b-a \ne 0$ $X$ $b-a$ $0$ , gösteren benzersizdir. $b-a=0$ $a$

Daha genel olarak, gerçek hatta sadakatle hareket eden bir grup olduğunda (ve tüm Borel alt kümelerinde genişleme yoluyla), dağılımının " ) " simetrik " olduğunu söyleyebiliriz. $G$ $X$ $G$

Pr [X \in E] = Pr [X \in E^{g}]

$\Pr[X \in E] = \Pr[X \in E^g]$

Tüm ölçülebilir kümeleri için elementlerin , görüntüsünü gösterir etkisi altında . $E$ $g \in G$ $E^g$ $E$ $g$

Bir örnek olarak, izin yine için bir grup olmak , ama şimdi eylem gerçek sayının karşılığını almak olsun (ve düzeltmek izin ). Standart lognormal dağılım bu gruba göre simetriktir. Bu örnek, koordinatların doğrusal olmayan bir yeniden ifadesinin yer aldığı bir yansıma simetrisinin bir örneği olarak anlaşılabilir. Bu, gerçek çizginin "yapısına" saygı duyan dönüşümlere odaklanmanızı önerir. Olasılık için gerekli olan yapı, her ikisi de iki nokta arasındaki (Öklid) mesafesi cinsinden tanımlanabilen Borel setleri ve Lebesgue ölçümü ile ilgili olmalıdır . $G$ $2$ $0$

Uzaklığı koruyan bir harita, tanımı gereği bir izometridir. Gerçek çizginin tüm izometrelerinin yansımalar tarafından üretildiği iyi bilinir (ve biraz dahil olsa da kolay). Bu nedenle, "simetrik" in bazı izometrilere göre simetrik anlamına geldiği anlaşıldığında , grup en fazla bir yansıma ile oluşturulmalıdır ve yansımanın ona göre herhangi bir simetrik dağılım ile benzersiz bir şekilde belirlendiğini gördük . Bu anlamda, önceki analiz kapsamlıdır ve "simetrik" dağılımların olağan terminolojisini haklı çıkarır.

Bu arada, izometri grupları altında değişmeyen çok sayıdaki dağılım örnekleri "küresel" dağılımlar dikkate alınarak verilmektedir. Bunlar tüm rotasyonlar altında değişmez (bazı sabit merkezlere göre). Bunlar tek boyutlu durumu genelleştirir: gerçek çizginin "dönüşleri" sadece yansımalardır.

Son olarak, standart bir yapının - grup üzerinde ortalama - bir sürü simetrik dağılım üretmenin bir yolunu verdiğini belirtmek gerekir. Gerçek hattının olması durumunda, izin bir nokta ile ilgili yansıma ile üretilebilir bu kimlik elemanı oluşur ki, ve bu yansıma, . Let be herhangi dağılımı. Dağılımını tanımla ayarıyla $G$ $a$ $e$ $g$ $X$ $Y$

{Pr}_{Y} [E] = \frac{1}{| G |} \sum_{g \in G} {Pr}_{X} [E^{g}] = ({Pr}_{X} [E] + {Pr}_{X} [E^{g}]) / 2

${\Pr}_Y[E] = \frac{1}{|G|}\sum_{g \in G} {\Pr}_X[E^g] = ({\Pr}_X[E] + {\Pr}_X[E^g])/2$

Tüm Borel kümeleri için . Bu açıkça simetriktir ve bir dağılım olarak kaldığını kontrol etmek kolaydır (tüm olasılıklar negatif değildir ve toplam olasılık ). $E$ $1$

Gamma

Grup ortalama sürecini gösteren simetrik bir Gama dağılımının ( merkezli) PDF'si altın olarak gösterilir. Orijinal Gamma mavidir ve yansıması kırmızıdır. $a=2$

— whuber
kaynak

(+1) Çok değişkenli ortamlarda simetri tanımının benzersiz olmadığını eklemek isterim . Bu kitapta simetrik çok değişkenli dağılımların 8 olası tanımı vardır.

@Procrastinator I'm curious about what you might mean by "not unique." AFAIK, anything justifying the name "symmetry" ultimately refers to a group action on a space. It would be interesting to see what different kinds of actions statisticians have found useful. Because that book is out of print and not available on the Web, could you give a quick example of two really different kinds of symmetry considered in that book?

— whuber

Your intuition is correct, this is related to statistical features: Central symmetry

X - μ \overset{d}{=} - (X - μ)

${\bf X}-\mu\stackrel{d}{=}-({\bf X}-\mu)$ ; Spherical symmetry

X - μ \overset{d}{=} O (X - μ)

$X-\mu\stackrel{d}{=}{\bf O}({\bf X}-\mu)$ for all orthogonal matrix

O

${\bf O}$ . I cannot recall the rest, but I will try to borrow the book on these days. In this link you can find some of them.

@Procrastinator Thanks. Note that the two examples you offer are both special cases of the general definition I have supplied: the central symmetry generates a two-element group of isometries and the spherical symmetries are also a subgroup of all isometries. The "elliptical symmetry" in the link is a spherical symmetry after an affine transformation, and so exemplifies the phenomenon I pointed to with the lognormal example. The "angular symmetries" again form a group of isometries. The "half-space symmetry" [sic] is not a symmetry, but allows for discrete departures therefrom: that's new.

— whuber

$X \to X'$ $P(X) = P(X')$ .

In the simple case of the first example you are referring to the reflection symmetry about the maximum. If the distribution were sinusoidal then you could have the condition $X \to X + \lambda$ , where $\lambda$ is the wavelength or period. Then $P(X) = P(X + \lambda)$ and would still fit a more general definition of symmetry.

— Michael Hoffman
kaynak