Poisson dağılımı kararlı mı ve MGF için tersine çevirme formülleri var mı?

İlk olarak, Poisson dağılımının "kararlı" olup olmadığı hakkında bir sorum var. Çok naif (ve "kararlı" dağılımlar hakkında çok emin değilim), MGF'nin ürününü kullanarak Poisson dağıtılmış RV'lerin doğrusal bir kombinasyonunun dağıtımını yaptım. Parametre, bireysel RV'lerin parametrelerinin doğrusal kombinasyonuna eşit olan başka bir Poisson elde ediyorum. Bu yüzden Poisson'un "kararlı" olduğu sonucuna varıyorum. Neyi kaçırıyorum?

İkincisi, karakteristik fonksiyon için olduğu gibi MGF için inversiyon formülleri var mı?

distributions poisson-distribution mgf

— dürüst
kaynak

(Bağımsız) toplamlar altında kapalıdır , ancak keyfi doğrusal kombinasyonlar değildir. Çalışmanızı dahil ederseniz, sonuçta neden süreçte olduğunu göreceğinizden şüphelenirim; ve değilse, birisi bunu gösterebilir. Evet, karakteristik fonksiyonların tersi analogları vardır. Laplace dönüşümü ve Bromwich kontur entegrasyonu hakkında ne biliyorsunuz?

— kardinal

Tamam, çizim tahtasına geri döneceğim. İ-th Poisson MGF var: exp (lambda_i (exp (t) - 1)). Bu yüzden n Poisson MGF'lerin ürünü bana şunu veriyor: exp (sum (i, 0, n) alpha_i * lambda_i * (exp (t) - 1)) ve yeni lambda = sum (i, 0, n) alpha_i * lambda_i. Şimdi korkarım bariz bir hata yaptığım için aptal görüneceğim. - Genel olarak Laplace dönüşümü ve kontur entegrasyonunu biliyorum, ama Bromwish kontur entegrasyonunu bilmiyorum. - Genel olarak MGF'ler yerine CF'lerle çalışmayı tavsiye eder misiniz? Daha güçlü görünüyor.

— Frank

nedir ? Ayrıca, (a yapmak \ lambda "exp" doğru seyir çıkıp yapmak için \ exp kullanarak ve işe almak için dolar işaretleriyle matematik-LateX'i çevreleyen

\ toplamını

, vs.)

α_{i}

$\alpha_i$

λ

$\lambda$

\sum

$\sum$

— jbowman

Evet, LaTex'te çok iyi değilim, ama işte gidiyor. Yani, RV'lerin doğrusal kombinasyonum:

ve MGF'lerinin ürünü:

, eğer RV'ler

olarak dağıtılmışsa

\sum_{i = 0}^{n} α_{i} X_{i}

$\sum_{i=0}^{n}\alpha_{i} X_{i}$

\exp (\sum_{i = 0}^{n} α_{i} λ_{i} (\exp (t_{i}) - 1))

$\exp(\sum_{i=0}^{n}\alpha_{i} \lambda_{i} (\exp(t_{i}) - 1))$

P o i s s o n (λ_{i})

$Poisson(\lambda_{i})$ . Tüm RV'ler için aynı t kullanmıştım, ama

kullanmanız gerekiyor .

t_{i}

$t_{i}$

— Frank

Hata Bunun MGF

olan

a_{i} X_{i}

$a_iX_i$

e x p (λ_{i} (e x p (a_{i} t) - 1))

$exp(\lambda_i (exp(a_i t)-1))$

e x p (a_{i} λ_{i} (e x p (t) - 1))

$exp(a_i\lambda_i (exp(t)-1))$

— gui11aume

Yanıtlar:

Poisson rastgele değişkenlerinin doğrusal kombinasyonları

, oranı ile Poisson dağılımının moment üreten işlevi $\lambda$

m_{X} (t) = E e^{t X} = e^{λ (e^{t} - 1)} .

$m_X(t) = \mathbb E e^{t X} = e^{\lambda (e^t - 1)} \>.$

$X$ $Y$ $Z = a X + b Y$

m_{Z} (t) = E e^{t Z} = E e^{t (a X + b Y)} = E e^{t (a X)} E e^{t (b Y)} = m_{X} (a t) m_{Y} (b t) .

$m_Z(t) = \mathbb Ee^{tZ} = \mathbb E e^{t (a X + b Y)} = \mathbb E e^{t(aX)} \mathbb E e^{t (bY)} = m_X(at) m_Y(bt) \>.$

$X$ $\lambda_x$ $Y$ $\lambda_y$

m_{Z} (t) = \exp (λ_{x} (e^{a t} - 1)) \exp (λ_{y} (e^{b t} - 1)) = \exp (λ_{x} e^{a t} + λ_{y} e^{b t} - (λ_{x} + λ_{y})),

$m_Z(t) = \exp({\lambda_x (e^{at} - 1)}) \exp({\lambda_y (e^{bt} - 1)}) = \exp(\lambda_x e^{at} + \lambda_y e^{bt} - (\lambda_x + \lambda_y))\>,$

\exp (λ (e^{t} - 1))

$\exp(\lambda(e^t - 1))$

λ

$\lambda$

a = b = 1

$a = b = 1$

Moment üreten fonksiyonların ters çevrilmesi

$\mathcal L(s) = \mathbb E e^{-s T}$ $T$ $\mathcal L(s) = m_T(-s)$ $s$ $s \geq 0$

İnversiyon daha sonra Bromwich integrali veya Post inversiyon formülü ile gerçekleştirilebilir . İkincisinin olasılıklı bir yorumu, birkaç klasik olasılık metninde bir alıştırma olarak bulunabilir.

Doğrudan ilgili olmasa da, aşağıdaki notla da ilgilenebilirsiniz.

JH Curtiss (1942), Moment üreten fonksiyonlar teorisi üzerine bir not , Ann. Matematik. Stat. , cilt. 13, hayır. 4, s. 430-433.

İlişkili teori, karakteristik fonksiyonlar için daha yaygın olarak geliştirilmiştir, çünkü bunlar tamamen geneldir: Destek veya moment kısıtlaması olmayan tüm dağıtımlar için mevcutturlar .

— kardinal
kaynak

(+1) Ters çevirme formülü tamamen teorik mi yoksa bazen de kullanılıyor mu?

— gui11aume

@ gui11aume: Yerlerde kullanılır; ancak bir metinde yaygın olarak bulacağınız örnekler genellikle tam olarak ihtiyacınız olmayan örneklerdir. :)

— kardinal

Öyleyse, CF'lerle çalışmak MGF'lerden daha mı kolay? MGF'ler her zaman mevcut değildir, değil mi? Neden onlarla uğraşıyorsun?

— Frank

@Frank: Pedagojik olarak hesabı bilen, ancak karmaşık değişkenlerde çok az veya hiç arka planı olmayan öğrencilere tanıtmak daha kolaydır. Var olduklarında, CF'lerin özelliklerine tamamen benzerler. Olasılık teorisinin ve teorik istatistiklerin bazı bölümlerinde, örneğin büyük sapmalar ve üstel eğim gibi önemli roller oynarlar.

— kardinal

α

$\alpha$

$X$ $X/2$

MGF için inversiyon formüllerinin farkında değilim (ancak @cardinal gibi görünüyor).

— gui11aume
kaynak

(+1) Çünkü konunun kalbini hemen ön plana çıkaran basit açıklayıcı kanıtları ve karşı örnekleri seviyorum.

— kardinal

Terminoloji hakkında bir sorum var. İncelediğim istatistiklerde kararlı dağılımlar, kararlı yasa adı verilen bir yakınsama koşulunu karşılayan dağılım sınırları olanlardır. Bunlar sürekli normal olmayan dağılımlardır. Normalleştirilmiş bir ortalama Z'nin sınırları için bir dağılımdır, ancak merkezi dağılım teoremi, popülasyon dağılımının kuyruk davranışı nedeniyle Z'ye uygulanmaz. Aslında merkezi limit teoremi, belirli bir alfa parametresi = 2 ise kararlı yasalara ait olabilir.

— Michael R. Chernick

Burada istikrarlı olarak adlandırdığınız şey, bana daha çok bölünemez bir terim gibi görünen toplamlar altında daha yakın. Bunun için hangi terimler kararlı kullanılmaktadır? Olasılık ve istatistiklerde kullanılıyor mu?

— Michael R.Chernick

a X_{1} + b X_{2}

$aX_1 + bX_2$

c X + d

$cX + d$