Moment üreten fonksiyon ile olasılık üreten fonksiyon arasındaki fark nedir?

13

"Olasılık üreten fonksiyon" ve "moment üreten fonksiyon" arasındaki iki terim arasında kafam karıştı. Bu terimler arasındaki farklar nelerdir?

— manashi
kaynak

23

Olasılık üretme fonksiyonu genellikle (negatif olmayan) tamsayı değerli rasgele değişkenler için kullanılır, ancak gerçekten sadece moment üreten fonksiyonun yeniden paketlenmesidir. Yani ikisi de aynı bilgileri içeriyor.

Let negatif olmayan bir rastgele değişken. Daha sonra (bkz. Https://en.wikipedia.org/wiki/Probability-generating_function ) olasılık oluşturma fonksiyonu olarak tanımlanır ve moment üretme fonksiyonu Şimdi tanımlayın, böylece . Sonra $X$

G (z) = E z^{X}

$\DeclareMathOperator{\P}{\mathbb{P}} \DeclareMathOperator{\E}{\mathbb{E}} G(z) = \E z^X$

M_{X} (t) = E e^{t X}

$M_X(t) = \E e^{t X}$

\log z = t

$\log z=t$

e^{t} = z

$e^t=z$

Sonuç olarak, ilişki basittir:

G (z) = E z^{X} = E (e^{t})^{X} = E e^{t X} = M_{X} (t) = M_{X} (\log z)

$G(z)=\E z^X = \E (e^t)^X = \E e^{t X} =M_X(t)=M_X(\log z)$

G (z) = M_{X} (\log z)

$G(z) = M_X(\log z)$

EDIT

$G(z) = M_X(\log z)$ $z$ verilmesi gerekir. Gönderinin bu formaliteler olmadan yeterince açık olduğunu düşündüm, ama evet, bazen çok resmi değilim. Ama başka bir nokta daha var: evet, olasılık üreten fonksiyon çoğunlukla adın geldiği olasılık kütlesi fonksiyonları için (negatif olmayan argüman) kullanılır. Ancak tanımda bunu kabul eden hiçbir şey yoktur, negatif olmayan herhangi bir rastgele değişken için de kullanılabilir! Örnek olarak, oran 1 ile üstel dağılımı alın, hesaplayabiliriz

G (z) = E z^{X} = \int_{0}^{\infty} z^{x} e^{- x} d x = \dots = \frac{1}{1 - \log z}

$G(z)=\E z^X=\int_0^\infty z^x e^{-x}\; dx=\dots=\frac1{1-\log z}$

— kjetil b halvorsen
kaynak

1

(+1) Rakip bir cevabım olsa da.

— Carl

(+1) Tekrar. Garip, sanırım düzenlersem tekrar oy verebilirim.

— Carl

10

Önce ikisini tanımlayalım, sonra farkı belirleyelim.

1) Olasılık teorisi ve istatistiklerinde, gerçek değerli bir rastgele değişkenin moment üreten fonksiyonu (mgf), olasılık dağılımının alternatif bir spesifikasyonudur.

2) Olasılık teorisinde, ayrı bir rasgele değişkenin olasılık üreten fonksiyonu (pgf), rasgele değişkenin olasılık kütle fonksiyonunun bir güç serisi temsilidir (üretici fonksiyonu).

$e^{\lambda(z - 1)}$

Edit

@Kjetilbhalvorsen'in belirttiği gibi, pgf yalnızca ayrık rasgele değişkenlerden ziyade negatif olmayanlara uygulanır. Bu nedenle, olasılık üretme fonksiyonundaki mevcut Wikipedia girişi bir ihmal hatasına sahiptir ve geliştirilmelidir.

— Carl
kaynak

1

Poisson dağılımının pgf ve mgf'si, yakından ilişkili olmasına rağmen (Kjetil Halvorsen tarafından yayınlanan cevapta açıklandığı gibi) kesinlikle "eşit" değildir.

— whuber

G (z) = M_{X} (\log z)

$G(z) = M_X(\log z)$

1

@whuber Bu örtük soruya cevap bulmak için cevabımdaki düzenlememi görün (birkaç dakika içinde yayınlanacak).

— kjetil b halvorsen