Büyük sayıların yasası ne zaman başarısız olur?

Soru basitçe başlıkta belirtilen şeydir: Büyük sayılar yasası ne zaman başarısız olur? Demek istediğim, hangi durumlarda bir olayın sıklığı teorik olasılığa meyilli olmayacaktır?

(Kolmogorov'un) iki teoremi vardır ve her ikisi de beklenen değerin sonlu olmasını gerektirir. Birincisi değişkenler IID olduğunda, ikincisi örnekleme bağımsız olduğunda ve varyansı tatmin olduğunda$X_n$

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{V(X_n)}{n^2} < \infty$$

Tüm değerinin beklenen 0 değerine sahip olduğunu , ancak varyanslarının olduğunu ve koşulun açıkça başarısız olduğunu varsayalım. O zaman ne olacak? Yine de tahmini bir ortalama hesaplayabilirsiniz, ancak daha derin ve daha derin örneklemede bu ortalama 0'a eğilimli olmaz. Siz örneklemeye devam ettikçe daha fazla sapma eğilimi gösterecektir.$X_n$$n^2$

Bir örnek verelim. Ki bu üniform böylece durumu üzerinde epically başarısız olur.$X_n$$U(-n2^n , n2^n)$

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{V(X_n)}{n^2} = \sum_{n=1}^\infty \frac{n^2 2^{2n+2}}{12}\frac{1}{n^2} = \frac{1}{3} \sum_{n=1}^\infty 4^n = \infty.$$

Bunu not ederek

$$\bar{X}_n = \frac{X_n}{n} + \frac{n-1}{n}\bar{X}_{n-1},$$

indüksiyonla, hesaplanan ortalama aralığının daima aralığında olduğunu görürüz . Aynı formül kullanılarak , aynı zamanda daha fazla şans her zaman olduğu görülmektedir olduğu Dışında kalan . Gerçekten, tek tip ve dışarıda olasılıkla . Öte yandan, olan endüksiyon ile, ve simetri ile bu olasılık ile pozitif olan$\bar{X}_n$$(-2^n, 2^n)$$n+1$$1/8$$\bar{X}_{n+1}$$(-2^n, 2^n)$$\frac{X_{n+1}}{n+1}$$U(-2^{n+1},2^{n+1})$$(-2^n, 2^n)$$1/4$$\frac{n}{n+1}\bar{X}_n$$(-2^n, 2^n)$$1/2$. Bu gözlemlerden hemen sonra in veya küçük olduğu ve her birinin 1 büyük bir olasılık olduğu . Olasılıktan beri büyükse , sonsuza giderken 0'a yakınsama olamaz .$\bar{X}_{n+1}$$2^n$$-2^n$$1/16$$|\bar{X}_{n+1}| > 2^n$$1/8$$n$

Şimdi, sorunuzu özellikle cevaplamak için olayını düşünün . İyi anladıysam, "aşağıdaki ifade hangi koşullarda yanlıştır?"$A$

$$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\sum_{k = 1}^{n} 1_A(X_k) = P(X \in A), \; [P]\;a.s.$$

burada göstergesi olay fonksiyonudur , yani ise ve , aksi ve eşit dağıtılmış (ve bu gibi dağıtılmış ).$1_A$$A$ $1_A(X_k) = 1$$X_k \in A$$0$$X_k$$X$

Yukarıdaki koşulun geçerli olacağını görüyoruz, çünkü bir gösterge fonksiyonunun varyansı, bir Bernouilli 0-1 değişkeninin maksimum varyansı olan 1/4 ile sınırlıdır. Yine de, yanlış gidebilecek şey, büyük sayıların güçlü yasasının, yani bağımsız örneklemenin ikinci varsayımıdır . Rastgele değişkenler bağımsız olarak örneklenmezse yakınsama sağlanamaz.$X_k$

Örneğin, tüm için = ise , değeri ne olursa olsun, oran 1 veya 0 olacaktır , bu nedenle yakınsama meydana gelmez ( elbette 0 veya 1 olasılığı yoksa). Bu sahte ve aşırı bir örnek. Teorik olasılığa yakınsamanın olmayacağı pratik durumların farkında değilim. Yine de, örnekleme bağımsız değilse potansiyel vardır.$X_k$$X_1$$k$$n$$A$