Kriging ile ilgili karışıklık

Kriging ile ilgili bu wikipedia makalesini okuyordum . Bunu söylediği zaman kısmı anlamadım

Kriging değerlerini hesaplar tarafsız tahmincisi doğrusal iyi, ait öyle ki yansızlık koşulu ile minimize edilmiştir varyansını kriging. Derivasyonu ve ayrıca varyansın nasıl minimize edildiğini anlamadım. Herhangi bir öneri?$\hat Z (x_0)$$Z(x_0)$

Özellikle, tarafsızlık durumuna en aza indirgenen uygulamaların olduğu kısmı alamadım.

Bence olmalı

E [Z '(x) -Z (x)] yerine E [Z' (x0) -Z (x0)] değil. ', wiki makalesinde şapkaya eşdeğerdir. Ayrıca kriging hatasının nasıl elde edildiğini anlamadım

Varsayalım için bir vektör olan bilinmeyen ortalama bir çok değişkenli dağılımına sahip olduğu varsayılmaktadır ve bilinen varyans kovaryans matrisi . Biz gözlemlemek bu dağıtım ve dilek dan tahmin tarafsız bir doğrusal öngorücunun kullanarak bu bilgiden:$\left(Z_0, Z_1, \ldots, Z_n\right)$$(\mu, \mu, \ldots, \mu)$$\Sigma$$\left(z_1, z_2, \ldots, z_n\right)$ $z_0$

• Lineer öngörü formu almak gerekir anlamı katsayıları için belirlenecektir. Bu katsayılar en çok önceden bilinenlere bağlı olabilir: yani girdileri .$\hat{z_0} = \lambda_1 z_1 + \lambda_2 z_2 + \cdots + \lambda_n z_n$$\lambda_i$$\Sigma$

Bu öngörücü rastgele bir değişken olarak da kabul edilebilir .$\hat{Z_0} = \lambda_1 Z_1 + \lambda_2 Z_2 + \cdots + \lambda_n Z_n$

• Tarafsız , beklentisinin (bilinmeyen) ortalamasına eşit olduğu anlamına gelir .$\hat{Z_0}$$\mu$

Bir şeyleri yazmak, katsayılar hakkında bazı bilgiler verir:

$$\eqalign{ \mu &= E[\hat{Z_0}] = E[\lambda_1 Z_1 + \lambda_2 Z_2 + \cdots + \lambda_n Z_n] \\ &= \lambda_1 E[Z_1] + \lambda_2 E[Z_2] + \cdots + \lambda_n E[Z_n] \\ &= \lambda_1 \mu + \cdots + \lambda_n \mu \\ &= \left(\lambda_1 + \cdots + \lambda_n\right) \mu. \\ }$$

İkinci satır, beklenti doğrusallığından kaynaklanır ve geri kalanı basit cebirdir. Bu prosedürün değerine bakılmaksızın çalıştığı varsayıldığından , katsayıların birliği toplaması gerekir. vektör gösterimindeki katsayıları , bu düzgün bir şekilde yazılabilir .$\mu$$\lambda = (\lambda_i)'$$\mathbf{1}\lambda=1$

Bu tür tüm tarafsız lineer öngörücüler arasında, oda ortalama karesinde ölçülen gerçek değerden mümkün olduğunca az sapan bir tane ararız . Bu yine bir hesaplamadır. Uygulaması ikinci satırdaki özetlerden sorumlu olan kovaryansın bilinearitesine ve simetrisine dayanır:

$$\eqalign{ E[(\hat{Z_0} - Z_0)^2] &= E[(\lambda_1 Z_1 + \lambda_2 Z_2 + \cdots + \lambda_n Z_n - Z_0)^2] \\ &= \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \lambda_i \lambda_j \text{var}[Z_i, Z_j]-2\sum_{i=1}^n\lambda_i \text{var}[Z_i, Z_0] + \text{var}[Z_0, Z_0] \\ &= \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \lambda_i \lambda_j \Sigma_{i,j} - 2\sum_{i=1}^n\lambda_i\Sigma_{0,i} + \Sigma_{0,0}. }$$

Bu nedenle katsayılar, (doğrusal) kısıtlama tabi olan bu ikinci dereceden formun en aza indirilmesiyle elde edilebilir . Bu, Lagrange çarpanları yöntemi kullanılarak, doğrusal bir denklem sistemi olan "Kriging denklemleri" kullanılarak kolayca çözülür .$\mathbf{1}\lambda=1$

Uygulamada, uzamsal stokastik bir süreçtir ("rastgele alan"). Bu, herhangi bir sabit (rastgele değil) konum kümesi için , bu konumlardaki değerlerinin vektörünün , bir çeşit çok değişkenli dağıtımla rastgele. Yazın ve yukandaki analizi uygulama varsayarak hiç işlemin araçları konumun aynı ve varsayarak bu proses değerlerinin kovaryans matrisinin konum kesin olarak bilinir.$Z$$\mathbf{x_0}, \ldots, \mathbf{x_n}$$Z$$\left(Z(\mathbf{x_0}), \ldots, Z(\mathbf{x_n})\right)$$Z_i = Z(\mathbf{x_i})$$n+1$$\mathbf{x_i}$$n+1$

Bunu yorumlayalım. Varsayımlar altında (sabit ortalama ve bilinen kovaryans dahil), katsayılar herhangi bir doğrusal kestirimci tarafından ulaşılabilecek minimum varyansı belirler. Bu varyansı ("OK", "normal kriging" içindir). Sadece matris bağlıdır . Biz olsaydı söyler defalarca numune den ve tahmin edilmesi bu katsayılar kullanmak kalan değerler her zaman değerleri, daha sonra$\sigma_{OK}^2$$\Sigma$$\left(Z_0, \ldots, Z_n\right)$$z_0$

1. Ortalama olarak tahminlerimiz doğru olurdu.

2. Tipik olarak, bizim tahminleri ilgili sapma olur gerçek değerlerinden .$z_0$$\sigma_{OK}$$z_0$

Bunun, bir verilerin dakik verilerden tahmin edilmesi gibi pratik durumlara uygulanabilmesi için daha çok şey söylenmesi gerekir: mekansal sürecin istatistiksel özelliklerinin bir konumdan diğerine ve bir gerçekleşmeden diğerine nasıl değiştiği hakkında ek varsayımlara ihtiyacımız var. , pratikte, genellikle yalnızca bir gerçekleştirme mümkün olacaktır). Ancak bu açıklama, "En İyi" Tarafsız Lineer Predictor ("BLUP") aramasının doğrudan bir lineer denklemler sistemine nasıl yol açtığını izlemek için yeterli olmalıdır.

---

Bu arada, genellikle uygulandığı gibi kriging, en küçük kareler tahmini ile tamamen aynı değildir, çünkü aynı verileri kullanarak bir ön prosedürde ("variografi" olarak bilinir) tahmin edilir . Bu varsayılan bu türev, varsayımlarına aykırıdır edildi bilinen (ve bir ziyade veri bağımsız). Böylece, başlangıçta, kriging'in içinde bazı kavramsal ve istatistiksel kusurlar vardır. Düşünceli uygulayıcılar her zaman bunun farkındaydı ve tutarsızlıkları haklı çıkarmak için çeşitli yaratıcı yollar buldular. (Having çok gerçekten yardımcı olur. Aktarabileceğiniz veri) Prosedürler şimdi mevcut eşzamanlı tahmin etmek için$\Sigma$$\Sigma$$\Sigma$ve bilinmeyen konumlardaki bir değer koleksiyonunun tahmin edilmesi. Bu başarıyı elde etmek için biraz daha güçlü varsayımlar (çok değişkenli normallik) gerektirirler.

Kriging, uzamsal veriler için en küçük kareler tahminidir. Bu şekilde, kare hatalarının toplamını en aza indiren doğrusal bir tarafsız tahmin edici sağlar. MSE = tahminci sapması tarafsız olduğu ve minimum olduğu için.