Merkezi olmayan üstel dağılımın beklenen günlük değeri

varsaymak $X$ merkezi olmayan konumla katlanarak dağıtılır $k$ ve oran $\lambda$ . O zaman nedir $E(\log(X))$ .

İçin biliyorum $k=0$ , cevap $-\log(\lambda) - \gamma$ nerede $\gamma$ Euler-Mascheroni sabitidir. Ne zaman $k > 0$ ?

mean expected-value integral

— Neil G
kaynak

Mathematica'ya entegre olmayı denediniz mi?

Sanırım

k > 0

$k > 0$ (yoğunluk şu şekilde yazıldığında:

λ \exp {- λ (x - k)}

$\lambda \exp\{-\lambda(x-k)\}$ ,) aksi takdirde

x < 0

$x < 0$ > 0 olasılıkla, için korkunç sonuçlar

E \log x

$\mathbb{E}\log x$ .

— jbowman

Bende var

E [\log (X)] = e^{k λ} Γ (0, k λ) + \log (k)

${\mathbb E}[\log(X)]=e^{k\lambda}\Gamma(0,k\lambda)+\log(k)$ . AssumptionsParametre alanını belirtmek için komutu kullanırsanız Mathematica daha hızlıdır .

Üst eksik gama fonksiyonu kapalı form olarak sayılıyor mu? (Benim için öyle değil.) Bu sadece bir integrali gösterimle gizliyor.

— kardinal

@NeilG Bu Mathematica kodudur Integrate[Log[x + k]*\[Lambda]*Exp[-\[Lambda]*x], {x, 0, \[Infinity]}, Assumptions -> k > 0 && \[Lambda] > 0]. Sadece kopyalayıp bir .nb dosyasına yapıştırabilirsiniz. Wolfram Alpha'nın kısıtlamalara izin verip vermediğinden emin değilim.

İstenen integral kaba kuvvet manipülasyonları ile boyun eğdirilebilir; burada, biraz daha olasılıklı bir lezzet ile alternatif bir türev vermeye çalışıyoruz.

İzin Vermek $X \sim \mathrm{Exp}(k,\lambda)$ location parametresi ile merkezi olmayan bir üstel rasgele değişken olabilir $k > 0$ ve rate parametresi $\lambda$ . Sonra $X = Z + k$ nerede $Z \sim \mathrm{Exp}(\lambda)$ .

Bunu not et $\log(X/k) \geq 0$ ve bu nedenle, negatif olmayan rastgele değişkenlerin beklentisini hesaplamak için standart bir gerçek kullanarak , Ancak, üzerinde itibaren ve böylece burada son eşitlik , .

E \log (X / k) = \int_{0}^{\infty} P (\log (X / k) > z) d z = \int_{0}^{\infty} P (Z > k (e^{z} - 1)) d z .

$\newcommand{\e}{\mathbb E}\newcommand{\rd}{\mathrm d}\renewcommand{\Pr}{\mathbb P} \e \log(X/k) = \int_0^\infty \Pr(\log(X/k) > z)\,\rd z = \int_0^\infty \Pr(Z > k(e^z - 1)) \,\rd z \>.$

P (Z > k (e^{z} - 1)) = \exp (- λ k (e^{z} - 1))

$\Pr(Z > k(e^z -1)) = \exp(-\lambda k(e^z - 1))$

z \geq 0

$z \geq 0$

Z \sim E x p (λ)

$Z \sim \mathrm{Exp}(\lambda)$

E \log (X / k) = e^{λ k} \int_{0}^{\infty} \exp (- λ k e^{z}) d z = e^{λ k} \int_{λ k}^{\infty} t^{- 1} e^{- t} d t,

$\e \log(X/k) = e^{\lambda k} \int_0^\infty \exp(-\lambda k e^z) \, \rd z = e^{\lambda k} \int_{\lambda k}^\infty t^{-1} e^{-t} \,\rd t \>,$

t = λ k e^{z}

$t = \lambda k e^z$

d z = d t / t

$\rd z = \rd t / t$

Son ekranın sağ boyutundaki integral tanım gereği ve bu yüzden @ Procrastinator'ın Mathematica hesaplaması tarafından soruya yapılan yorumlarda onaylandığı gibi . $\Gamma(0,\lambda k)$

E \log X = e^{λ k} Γ (0, λ k) + \log k,

$\e \log X = e^{\lambda k} \Gamma(0,\lambda k) + \log k \>,$

Not : eşdeğeri gösterim de genellikle . $\mathrm E_1(x)$ $\Gamma(0,x)$

— kardinal
kaynak

+1 @Michael Chernick Herkes tembel değil gibi görünüyor;).

Bu gerçekten harika. Sadece bunu uygulayan herkesin eksik gama işlevinin birçok uygulamasının ilk parametrenin kesinlikle pozitif olmasını kısıtladığını belirtmek isterim. Kimlik

Γ (0, z) = - Ei (- z)

$\Gamma(0, z) = -\operatorname{Ei}(-z)$ bu küçük problemi çözer.

— Neil G