Bir integralin doğruluğu nasıl tahmin edilir?

Bilgisayar grafiklerinde son derece yaygın olan bir durum, bazı piksellerin renginin, bazı gerçek değerli fonksiyonların integraline eşit olmasıdır. Genellikle işlev analitik olarak çözmek için çok karmaşıktır, bu nedenle sayısal yaklaşımla bırakılmıştır. Ancak, işlevin hesaplanması da genellikle çok pahalıdır, bu nedenle kaç örnek hesaplayabileceğimiz konusunda büyük ölçüde kısıtlanmıştır. (Örneğin, sadece bir milyon numune alıp bu konuda bırakmaya karar veremezsiniz.)

Genel olarak, yapmak istediğiniz şey, tahmini integral "yeterince doğru" hale gelene kadar fonksiyonu rastgele seçilen noktalarda değerlendirmektir. Bu da beni asıl soruma getiriyor: İntegralin "doğruluğunu" nasıl tahmin edersiniz?

Daha spesifik olarak, bazı karmaşık, yavaş bilgisayar algoritması tarafından uygulanan . Tahmin etmek istiyoruz$f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$

İstediğimiz herhangi bir için hesaplayabiliriz , ancak pahalıdır. Bu yüzden rastgele birkaç seçmek ve için tahmin kabul edilebilir derecede doğru olduğunda durmak istiyoruz . Bunu yapmak için, elbette, mevcut tahminin gerçekte ne kadar doğru olduğunu bilmeliyiz.x x $f(x)$$x$$x$$k$

Bu tür bir problem için hangi istatistiksel araçların uygun olacağından bile emin değilim. Ama bana öyle geliyor ki hakkında kesinlikle hiçbir şey bilmiyorsak , sorun çözülemez. Örneğin, değerini bin kez hesaplarsanız ve her zaman sıfırsa, tahmini integraliniz sıfır olacaktır. Ancak, hakkında hiçbir şey bilmeden , örneklemiş olduğunuz noktalar dışında her yerde hala mümkündür , bu nedenle tahmininiz korkunç derecede yanlıştır!f ( x ) f f ( x ) = 1 , 000 , $f$$f(x)$$f$$f(x) = 1,000,000$

Belki de o zaman sorum, " integralimizin doğruluğunu tahmin etmeyi mümkün kılmak için hakkında ne bilmemiz gerekiyor$f$ ?" Örneğin, çoğu zaman olumsuz olmasının imkansız olduğunu biliyoruz, ki bu çok ilgili bir gerçek gibi görünüyor ...$f$

Düzenleme: Tamam, bu yüzden iyi yanıtlar bir sürü oluşturmuş gibi görünüyor. Her birine ayrı ayrı cevap vermek yerine, burada ek bir arka plan doldurmaya çalışacağım.

hakkında "hiçbir şey" bilmediğimizi söylediğimde , hesaplayabildiğimiz anlamına gelir , ama bunun hakkında başka bir şey bilmiyoruz. Daha fazla bilgiye sahip olmanın daha iyi algoritmalar kullanmamızı sağladığını umuyorum (ve yorumlar aynı fikirde görünüyor). ve / veya ilk türevi üzerindeki sınırları bilmek faydalı olacaktır.f f $f$$f$$f$$f$

Düşündüğüm sorunların çoğunda , sahne geometrisine ve söz konusu sahne içindeki konuma bağlı olarak değişir. Analitik olarak çözebileceğiniz hoş, düzenli bir cebir parçası değil. Tipik olarak , ışık yoğunluğunu temsil eder. Açıkçası ışık yoğunluğu asla negatif olamaz, ancak pozitif değerlerinin ne kadar büyük olabileceğine dair bir sınır yoktur. Ve son olarak, nesne kenarları genellikle keskin süreksizliklere neden olur ve genellikle bunların nerede olduğunu tahmin edemezsiniz.f $f$$f$$f$

Kısacası fiddly lanetlendi, bu yüzden ilk çağrı limanım daha fazla bilgi verilmeden onunla neler yapabileceğimizi sormaktı. Görünüşe göre, en azından bazı üst ve alt sınırlar olmadan, cevap "çok fazla bir cehennem değil" ... Bu yüzden, burada herhangi bir ilerleme sağlamak için bazı varsayımlar yapmaya başlamam gerekiyor gibi görünüyor.$f$

Ayrıca, "Monte Carlo" nun kaç kez ortaya çıktığı düşünüldüğünde, bu tür bir entegrasyon için teknik terim olduğunu tahmin ediyorum.

$^2$$^2$$^2$$^2$$^2$$^2$

$f$

Buna ek bir okuma elbette Niederreiter (1992) monografisi olacaktır.