Daha yüksek olan,

Bu yüzden bir olasılık testi yaptım ve bu soruya gerçekten cevap veremedim. Sadece böyle bir şey sordu:

" rastgele bir değişken olduğu düşünüldüğünde , , daha yüksek veya eşit olanı kanıtlamak için doğru eşitsizliği kullanın, veya .$X$$X$ $\geqslant$ $0$$E(X^2)^3$$E(X^3)^2$

Düşünebildiğim tek şey Jensen Eşitsizliği idi, ama burada nasıl uygulanacağını gerçekten bilmiyorum.

Bu aslında Jensen eşitsizliği ile kanıtlanabilir.

İpucu :$\alpha > 1$ işlev $x^{\alpha}$ dışbükey $\left[0, -\infty\right)$ (İşte varsayımı kullandığınız yer $X \ge 0$). Sonra Jensen eşitsizliği

Şimdi, değişkenleri karşılaştırılabilir bir şeye dönüştürün ve ilgili $\alpha$.

Lyapunov Eşitsizliği (Bkz: Casella ve Berger, İstatistiksel Çıkarım 4.7.6):

İçin $1 < r < s < \infty$:

İspat :

Jensens'in dışbükey eşitsizliği ile $\phi(x)$: $\phi(\mathbb{E}X) \leq \mathbb{E}[\phi(x)]$

Düşünmek $\phi(Y) = Y^t$, sonra $(\mathbb{E}[Y])^t \leq \mathbb{E}[Y^t]$ nerede $Y = |X|^r$

Vekil $t = \frac{s}{r}$: $(\mathbb{E}[|X|^r])^{\frac{s}{r}} \leq \mathbb{E}[|X|^{r\frac{s}{r}}]$ $\implies \mathbb{E}[|X|^r]^\frac{1}{r} \leq \mathbb{E}[|X|^s]^\frac{1}{s}$

Genel olarak $X >0$ bu şu anlama gelir:

$\mathbb{E}[X] \leq (\mathbb{E}[X^2])^\frac{1}{2} \leq (\mathbb{E}[X^3])^\frac{1}{3} \leq (\mathbb{E}[X^4])^\frac{1}{4} \leq \dots$

X'in [0,1] ve ardından E (X üzerinde eşit dağılımlı olduğunu varsayalım$^2$) = $\frac{1}{3}$ ve böylece E (X$^2$)$^3$ = $\frac{1}{27}$ ve E (X$^3$) =$\frac{1}{4}$ yani E (X$^3$)$^2$= $\frac{1}{16}$. Yani bu durumda E (X$^3$)$^2$ > E (X$^2$)$^3$. Bunu genelleyebilir veya bir karşı örnek bulabilir misiniz?