Gauss dağılımı, Beta Dağıtımının özel bir vakası mıdır?

ile $\alpha=\beta=4$ bir beta dağılımına bakarsanız, Gauss dağılımına çok benzer . Ama öyle mi? Beta (4,4) dağılımının Gauss olup olmadığını nasıl kanıtlayabilirsiniz?

normal-distribution beta-distribution

— user1068636
kaynak

Destekleri çok farklı.

— Deep North

@DeepNorth - Gauss dağılımlarının belirli bir tür Beta Dağıtım olmadığını düşünüyor musunuz?

— user1068636

Önermekten daha fazlası; destek farklıysa aynı dağıtım olamazlar.

— Glen_b

Hem simetrik hem de az ya da çok çan şeklindedir, ancak simetrik beta (4,4'te veya başka bir spesifik değerde olsun) aslında Gauss değildir. Tüm Gauss dağılımları açıkken yoğunluğa bakmadan bile söyleyebilirsiniz - beta dağılımları açık (0,1 $(-\infty,\infty)$

Karşılaştırmaya biraz daha yakından bakalım. Beta (4,4) 'ü ortalama 0 ve standart sapma 1 ( standartlaştırılmış beta ) olacak şekilde standardize edeceğiz ve yoğunluğun standart Gaussian ile nasıl karşılaştırıldığına bakacağız:

Standartlaştırılmış beta (4,4) -3 ile 3 arasındadır (standart Gaussian herhangi bir değer alabilir); ayrıca Gaussian'dan daha az zirve yapar ve ortalamanın her iki tarafında yaklaşık 1 veya daha fazla standart sapmaya sahiptir. Bu basıklık (27/11 olan Gaussian için 3'e karşı 2.45). $\approx$

Daha büyük parametre değerlerine sahip simetrik beta dağılımları Gaussian'a daha yakındır.

Parametre sonsuza yaklaştıkça, standart bir simetrik beta standart bir normal dağılıma yaklaşır ( burada örnek kanıt ).

$y=x$ $y=x$

$y=x$ $\alpha$ $\alpha$ $\alpha$

— Glen_b-Monica'yı eski durumuna döndür
kaynak

Tam olarak

varyans elde etmek için Beta rastgele değişkenini standartlaştırmanız gerekmez ; örneğin bir Student

rasgele değişkeni varyans

sahip değildir . Eğer etkili bir şekilde söylemek yerine

1

$1$

t

$t$

1

$1$

X_{α, α} \sim Beta (α, α)

$X_{\alpha,\alpha} \sim \text{Beta}(\alpha,\alpha)$

\frac{X_{α} - \frac{1}{2}}{\sqrt{1 / (4 (2 α + 1))}} \overset{d}{\to} N (0, 1)

$\frac{X_\alpha -\frac12}{\sqrt{1/(4(2\alpha+1))}}\xrightarrow{d}\ N(0,1)$

α

$\alpha$

+ 1

$+1$

\frac{X_{α} - \frac{1}{2}}{\sqrt{1 / (8 α)}} \overset{d}{\to} N (0, 1)

$\frac{X_\alpha -\frac12}{\sqrt{1/(8\alpha)}}\xrightarrow{d}\ N(0,1)$

α

$\alpha$