Bertrand'ın kutu paradoksunun Monte Carlo simülasyonu nasıl programlanır?

Mensa Uluslararası Facebook Sayfasına aşağıdaki sorun gönderildi:

$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$

Gönderinin kendisi 1000+ yorum aldı, ancak Bertrand'ın kutu paradoksu olduğunu ve cevabın 2 olduğunu bildiğim için orada tartışma hakkında ayrıntılara girmeyeceğim. . Beni burada ilgilendiren şey Monte Carlo yaklaşımını kullanarak bu soruna nasıl cevap veriyor? Bu sorunu çözmek için algoritma nasıl?$\frac23$

İşte benim girişimim:

1. 0 ile 1 arasında eşit dağılmış rasgele sayı üret .$N$$0$$1$
2. Kutunun olayı seçili 2 altın top (kutu 1) yarıdan az olsun.
3. $0.5$$S$
4. $$P(B2=G|B1=G)=\frac{S}{S+0.5(N-S)}$$

Yukarıdaki algoritmayı R'de uygulamak:

N <- 10000
S <- sum(runif(N)<0.5)
S/(S+0.5*(N-S))

$0.67$

Gibi @Henry , gerçekten çözüm bir Monte Carlo olduğunu hissetmiyorum. Elbette, dağıtımdan örnek alırsınız, ancak veri oluşturma sürecini taklit etmekle ilgisi yoktur. Birini teorik çözümün doğru olduğuna ikna etmek için Monte Carlo kullanmak istiyorsanız, veri oluşturma sürecini taklit eden bir çözüm kullanmanız gerekir. Aşağıdaki gibi bir şey olduğunu hayal ediyorum:

boxes <- list(
  c(0, 0),
  c(0, 1),
  c(1, 1)
)

count_successes = 0
count_valid_samples = 0

for (i in 1:5000) {
  sampled_box <- unlist(sample(boxes, 1)) # sample box
  sampled_balls <- sample(sampled_box)    # shuffle balls in the box

  if (sampled_balls[1] == 1) {            # if first ball is golden
    if (sampled_balls[2] == 1) {          # if second ball is golden
      count_successes = count_successes + 1
    }
    count_valid_samples = count_valid_samples + 1
  }
}
count_successes / count_valid_samples

veya "vectorized" kodunu kullanarak:

mean(replicate(5000, {       # repeat 5000 times, next calculate empirical probability
  x <- boxes[[sample(3, 1)]] # pick a box
  if (x[sample(2, 1)] == 1)  # pick a ball, check if it is golden
    return(sum(x) == 2)      # check if you have two golden balls in the box
  else
    return(NA)               # ignore if sampled ball is silver
  }), na.rm = TRUE)          # not count if silver

İlk topun zaten çizilmiş ve altın olduğu gerçeğini koşullandırdığınıza dikkat edin, bu nedenle yukarıdaki kod sadece iki kutu kullanabilir boxes <- list(c(0, 1), c(1, 1))ve onlardan örnek alabilir x <- boxes[[sample(2, 1)]], bu nedenle kod 1/3 yapmaz çünkü daha hızlı olurdu indirim yaptığımız boş koşular. Ancak sorun basit olduğundan ve kod hızlı çalıştığından, sonucun doğru olduğundan emin olmak için tüm veri oluşturma sürecini açıkça "taklit edebiliriz". Bunun yanında, her iki durumda da aynı sonuçları vereceği için bu adıma gerek yoktur.

S/(S+0.5*(N-S))Hesaplamanızın gerçekten simülasyon olmadığını hissediyorum

Böyle bir şey dene

N <- 10^6
ballsinboxes <- c("G","G", "G","S", "S","S")
selectedbox <- sample(c(1,2,3), N, replace=TRUE)
selectedball <- sample(c(1,2), N, replace=TRUE)
selectedcolour <- ballsinboxes[(selectedbox-1)*2 + selectedball ]
othercolour <- ballsinboxes[(selectedbox-1)*2 + 3 - selectedball ]
sum(selectedcolour == "G" & othercolour == "G") / sum(selectedcolour == "G")

Neden sadece vakaları listelemiyoruz?

Burada: G "altın", S "gümüş", sermaye ilk çıkarım içindir:

İyi oyun

İyi oyun

Gs

... diğer tüm durumlar bir ilk gümüş (S) ekstraksiyonunu faturalandırır ve koşullu (ilk ekstraksiyon G) karşılanmaz.

Böyle, P (g | G) = 2/3.