Standart sapmalarda trigonometrik işlemler

Normal rasgele değişkenlerin toplanması, çıkarılması, çarpılması ve bölünmesi iyi tanımlanmıştır, ama trigonometrik işlemler ne olacak?

Örneğin, bize ben boyutlara sahip iki catheti ile (Bir dik açılı üçgenin olarak modellenmiş) üçgen bir kama açısı bulmaya çalışıyorum varsayalım ve hem normal dağılımlar olarak tanımlanan. $d_1$ $d_2$

Hem sezgi hem de simülasyon, sonuçta elde edilen dağılımın normal olduğunu, ortalama . Fakat ortaya çıkan açının dağılımını hesaplamanın bir yolu var mı? Cevabı nerede bulabileceğime dair referanslar? $\arctan\left(\frac{\text{mean}(d_1)}{\text{mean}(d_2)}\right)$

(Biraz bağlam için, mekanik parçaların istatistiksel toleransı üzerinde çalışıyorum. İlk dürtüüm, tüm süreci simüle etmek, son sonucun makul olup olmadığını kontrol etmek ve standart sapmayı hesaplamak olacaktır. Ama merak ediyorum daha temiz bir analitik yaklaşım olabilir.)

— Bossykena
kaynak

(A) d1 ve d2'nin yan uzunluklar olduğunu (açı değil); (b) aralarındaki açının doğru bir açı olduğunu varsayıyorsanız (aksi takdirde atanan formül şüphelidir); ve (c) bu dik üçgenin diğer açılarından birinin dağılımıyla ilgileniyor musunuz? Ayrıca, muhtemelen, her bir uzunluk dağılımının SD'si beklentisinden çok daha küçüktür, çünkü üçgenin olumsuz bir yan uzunluk için kayda değer bir olasılığı olmamalıdır :-).

— whuber

Kesin. Sorunu biraz daha açık hale getirmek için yeniden ifade ettim. Ve evet, SD boyutlara göre küçük olacaktır.

— Bossykena

Çarpma ve toplama için formülleri kullanarak Taylor genişletmeyi deneyebilirsiniz.

Hem (sınırlı istatistik uzmanlığımla söyleyebildiğim kadarıyla) hem de sezgisel ve sağlam olan mükemmel yanıtlarınız için teşekkürler.

— Bossykena

Yanıtlar:

Bu yorumda üçgen, beklentileri ve , standart sapmalar ve ve korelasyon ile dağılmış ve kenar uzunluklarının sağ . dağılımını arıyoruz . Bu amaçla, ve standartlaştırın, böylece $X$ $Y$ $\mu_x$ $\mu_y$ $\sigma_x$ $\sigma_y$ $\rho$ $\arctan(Y/X)$ $X$ $Y$

X = σ_{x} ξ + μ_{x}

$X = \sigma_x \xi + \mu_x$ ve

Y = σ_{y} η + μ_{y}

$Y = \sigma_y \eta + \mu_y$

ile ve korelasyon ile standart normal değişkenler . Let açısı ve rahatlık, yazma için olmak . Sonra $\xi$ $\eta$ $\rho$ $\theta$ $q = \tan(\theta)$

P [\arctan (Y / X) \leq θ] = P [Y \leq q X]

$\mathbb{P}[\arctan(Y/X) \le \theta] = \mathbb{P}[Y \le q X]$

= P [σ_{y} η + μ_{y} \leq q (σ_{x} ξ + μ_{x})

$=\mathbb{P}[\sigma_y \eta + \mu_y \le q \left( \sigma_x \xi + \mu_x \right)$

= P [σ_{y} η - q σ_{x} ξ \leq q μ_{x} - μ_{y}]

$=\mathbb{P}[\sigma_y \eta - q \sigma_x \xi \le q \mu_x - \mu_y]$

Normalin doğrusal bir kombinasyonu olan sol taraf normaldir, ortalama ve varyans . $\mu_y \sigma_y - q \mu_x \sigma_x$ $\sigma_y^2 + q^2 \sigma_x^2 - 2 q \rho \sigma_x \sigma_y$

Bu parametrelerin Normal cdf'sini göre ayırmak açının verir. İfade oldukça ürkütücüdür, ancak bunun önemli bir kısmı üsteldir $\theta$

\exp (- \frac{(μ_{y} (σ_{y} + 1) - μ_{x} (σ_{x} + 1) \tan (θ))^{2}}{2 (- 2 ρ σ_{x} σ_{y} \tan (θ) + σ_{x}^{2} + σ_{y}^{2} + \tan^{2} (θ))}),

$\exp \left(-\frac{\left(\mu _y \left(\sigma _y+1\right)-\mu _x \left(\sigma _x+1\right) \tan (\theta )\right){}^2}{2 \left(-2 \rho \sigma _x \sigma _y \tan (\theta )+\sigma _x^2+\sigma _y^2+\tan ^2(\theta )\right)}\right),$

hemen açısı olduğunu gösteren değil normalde dağıttı. Bununla birlikte, simülasyonlarınız gösterdiği ve sezgilerin gösterdiği gibi, yan uzunluklardaki varyasyonların uzunlukların kendilerine kıyasla küçük olması şartıyla, yaklaşık normal olmalıdır. Bu durumda, bir Saddlepoint yaklaşımı , kapalı formlu genel bir çözüm bulunmasa da , , , , ve gibi spesifik değerler için iyi sonuçlar . Yaklaşık standart sapma, ikinci türevi bulduktan hemen sonra ( $\mu_x$ $\mu_y$ $\sigma_x$ $\sigma_y$ $\rho$ $\theta$ ) (referansın (2.6) ve (3.1) denklemlerinde gösterildiği gibi). Bunu gerçekleştirmek için bir bilgisayar cebir sistemi (MatLab veya Mathematica gibi) öneririm!

— whuber
kaynak

Normalde dağılma şansı hiç olmadı. Bu bir açı! Yalnızca değerlerini alır .

[- π, π)

$[-\pi, \pi)$

— Robby McKilliam

X normal bir rv ise P (Y / X q) = P (Y qX) doğru değil - X de negatif olabilir .

\leq

$\le$

\leq

$\le$

— ronaf

@ronaf: beri aslında, ve fiziksel üçgenin kenar uzunlukları, biz gereken değil negatif olması !

X

$X$

Y

$Y$

X

$X$

— shabbychef

@ronaf: Doğru fikir bu. İmzalı yan uzunluklar kullanılıyorsa ve aynı zamanda açıyı gerçek bir değer (modulo değerinden ziyade ) olarak görürse, her iki durumda da normalite ile tutarsızlık yoktur. Eşitsizliğin muhtemelen yanlış olması hakkındaki görüşünüz mükemmel. Yanıt olarak yapabileceğim tek şey, denklemin varsayımlar altında mükemmel bir yaklaşım olduğunu iddia etmektir, çünkü X veya Y'nin negatif olma şansı ihmal edilebilir.

2 π

$2\pi$

— whuber

@YBE İfademdeki son "+" ifadesinin ait olmadığı anlaşılıyor - TeX işaretlemesini temizlerken kaymış olabilir. Referansım yok çünkü türevi kendim hesapladım.

— whuber

Dairesel istatistiklere ve özellikle de öngörülen normal dağılım adı verilen bir dairesel dağılıma bakıyorsunuz .

Bazı nedenlerden dolayı bu konuyu google için biraz zor olabilir, ancak dairesel istatistiklerle ilgili iki ana metin, Fisher tarafından Dairesel Verilerin İstatistiksel Analizi ve Mardia ve Jupp'un Yönlü İstatistikleridir .

Öngörülen normal dağılımın ayrıntılı bir analizi için Mardia ve Jupp. Dağıtım için kapalı form ifadeleri (hata fonksiyonu integraline kadar) vardır ve whuber'ın önerdiği gibi, `` varyans '' (burada dikkatli olun, bir daire üzerindeki rastgele bir değişken için varyans ne anlama gelir) normale benzer? !) küçüktür, yani dağılım bir noktada (veya yön veya açıda) oldukça konsantre olduğunda.

— Robby McKilliam
kaynak